Professor:
Danilo
1. Resolva em :
Exponencial e Logaritmo
5. Calcule:
a) log 5 0,04
a) 23x + 1 = 128
2
b) 5x − 5x + 6 = 1
2
c) 5x − 5x + 6 = 0
d) 52x + 5 + 53 = 0
e) 52x + 5 − 53 = 0
x
1 x
f) 1
=
x
x
b) log2 +
3
2−
c) log144 2 3
3
d) log8 2 2
Respostas: a) −4
b) −1
c) 1
4
d) 1
2
Respostas: a) {2}
b) {2, 3}
c) ∅
6. Dê o domínio da função real de variável real
dada por:
d) ∅
e) {−1}
a) f(x) = log2(5 − x)
b) f(x) = logx − 17
c) f(x) = logx − 1(3 − x)
f) {1, 4}
2. Resolva em :
a) 52x = 4 ⋅ 5x + 5
b) 22x + 2 2 = 2 + 2 2x
c) 1 + 2x + 3x = 0
d) 7x + 1 = 8x
e) 2x + 1 = 23 − x + 6
Respostas: a) {1}
b) 1 , 1
2
c) ∅
Respostas: a) {x ∈ : x  5}
b) {x ∈ : x  1 e x ≠ 2}
c) {x ∈ : 1  x  3 e x ≠ 2}
7. Se k é um número inteiro e log(7 − 5k)(7k − 5) é um
número real, então k + log(7 − 5k)(7k − 5) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resposta: C
d) {1}
e) {2}
8. Sendo log2a = r, log2b = s e log2c = t, obtenha,
em função de r, s e t: log2
3. Resolva em :
a) 2 +
b) 2 +
3
3
x
x
⋅ 2–
⋅ 2–
3
3
x
x
=1
=4
Respostas: a) 
b) ∅
4. Resolva em : 4x + 9x = 2 ⋅ 6x
Resposta: { 0 }
1
Resposta: r + 2s – t
3
ab2
3
c
.
Professor:
Danilo
Exponencial e Logaritmo
(a + b)2
ab
em função de m = log52 e n = log53.
9. Sendo a2 + b2 = 70ab, calcule log5
14. Dado que log3913 = m, calcule log399.
Resposta: 2 (1 – m)
Resposta: 3m + 2n
15. Resolva em  a equação: xlog2x = 4x
10. (UNIRIO-RJ) Se x = log32, então 3x + 3 –x é igual a:
a)
9
7
b)
5
2
Resposta: S = 1 , 4
2
16. (UFRJ) Sendo x e y números reais, y ≠ 0, expresse
o logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e
log23.
x
Resposta: log23
y
c) 4
d) 6
e) 9
Resposta: B
17. Resolva em :
a) log(x + 2) + log(3 − x) = log(5x + 1)
11. (UFF-RJ) Sejam x, y e p números reais positivos
e p ≠ 1. Se logp(x + y) = m e logpx + logpy = n,
então, logp
x+y
é igual a:
xy
Resposta: 1
b) log x − log(x − 1) = log 2
Resposta: 2
c) log(x − 1) = log(2x + 3)
Resposta: ∅
a) mn
m
b)
n
c) m ⋅ n
d) m + n
e) m – n
d) logx25 = 2
Resposta: 5
18. Resolva em :
Resposta: E
a) (4 − logx) −1 + 2(2 + log x) −1 = 1
Resposta: 10, 100
12.
(UFF-RJ)
Pode-se afirmar que log18 é igual a:
a) log20 – log2
b) 3log6
c) log3 + log6
d)
log36
2
e) (log3) (log6)
Resposta: C
13.
(UNICAMP)
logn logn
n n
Calcule o valor da expressão
n , em que n é um número inteiro, n  2.
b) x3 = 100 ⋅ x log x
Resposta: 10, 100
c) x log x = 100x
Resposta: 1 , 100
10
19 .(UNESP) Seja x um número real tal que
1
xlogx[logx2(5x – 12)] = . Então:
2
a) 0  x  1
b) 1  x  2
c) 2  x  3
d) 3  x  4
e) x  4
Resposta: D (x = 3)
Resposta: –2
2
Professor:
Danilo
Exponencial e Logaritmo
20. (FGV-SP) Se a e b são soluções do sistema:
x + y = 27,5
logx – logy = 1
25. Resolva em :
a) log2 (log2 x)  log21
Resposta: {x ∈  / x  2}
, então a ⋅ b é:
b) log2 (log2 x)  0
Resposta: {x ∈  / 1  x  2}
a) 16,9
b) 22,5
c) 62,5
d) 19,6
e) n.d.a.
c) log2 (log3x)  1
Resposta: {x ∈  / 1  x  9}
d) log0,5(log2 x)  0
Resposta: {x ∈  / 1  x  2}
Resposta: C
201. (UERJ) Se log2x + log2x2 + log2x3 = 6, então x é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) –2
e) 1
Resposta: A
22. (UFSC) O valor de x que satisfaz a equação
log10(x + 5) + log10(x – 6) = 1 + log10(x – 4) é:
26.
(UNESP) Numa experiência para se obter cloreto de
sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente
uma certa quantidade de água do mar e expôs-se
o recipiente a uma fonte de calor para que a água
evaporasse lentamente. A experiência termina
quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:
k
Q(t) = log10 10
t+1
com k uma constante positiva e t em horas.
a) 5
b) 4
c) 1
d) 6
e) 10
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de
água no recipiente, determine a constante k.
Resposta: 1
Resposta: E
23. (UFRN) Se a equação x2 + 8x + 2loga = 0 possui
duas raízes reais e iguais, então a é igual a:
a) 10
b) 102
c) 104
d) 106
e) 108
Resposta: E
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
Resposta: 9 horas
27. (UNESP) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do
diâmetro do tronco, desde o instante em que as
árvores são plantadas até completarem 10 anos,
são dadas respectivamente pelas funções:
altura: H(t) = 1 + (0,8) ⋅ log2(t + 1)
diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) ⋅ 2
24. Resolva em :
a) 0,375 2x − 1  0,375x − 7
2
b) 2x − 1  1
2
c) 0,2x − 1  1
Respostas: a) {x ∈  / x  −6}
b) {x ∈  / x  −1 ou x  1}
t
7
com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em
centímetros, das árvores no momento em
que são plantadas.
Resposta: Altura: 1m, diâmetro: 10cm.
c) {x ∈  / −1  x  1}
b) A altura de uma árvore é 3,4m. Determine o
diâmetro aproximado do tronco dessa árvore,
em centímetros.
Resposta: 20cm.
3
Professor:
28.
Danilo
Exponencial e Logaritmo
A escala de pH, que mede a concentração de íons de hidrogênio em soluções, vai
de 0 (o grau mais ácido) até 14 (o grau mais
alcalino). Atualmente, a água dos oceanos
é meio alcalina, com pH de 8,1. Dependendo
da queima de combustíveis fósseis, o pH dos
oceanos pode cair para 7,9 em 2100. A função
f(x) = –log10(x) fornece o pH de uma solução
em função do número x de íons de hidrogênio
(H3O). Com base nessas informações, determine
a porcentagem estimada de aumento dos íons
de hidrogênio nos oceanos de hoje para 2100.
(Use a aproximação log10(1,3) = 0,1 ou, equivalentemente, 10(0,1) = 1,3).
(UNESP)
Resposta: 69%
Comentário: Ao contrário do que está no texto,
na fórmula f(x) = –logx, x não corresponde ao
número de íons de hidrogênio, mas sim à concentração desses íons, em mol/litro.
29.
8
expressa,
1 + 12 ⋅ 3–(0,1)t
em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a população, em milhões de habitantes,
de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um
esboço do gráfico dessa função, para 0  t  80,
é dado no gráfico:
(UNESP) A função p(t) = 9 +
População
(em milhões de hab.)
17
15
10
9
0
32
80
t (em anos)
(gráfico fora de escala)
a) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações
log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4)
Resposta: 1968
b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950. Com base no gráfico, para 0  t  80, admitindo que p(80) = 17,
dê o conjunto solução da inequação p(t)  15
e responda, justificando sua resposta, para
quais valores de k a equação p(t) = k tem soluções reais.
Resposta: 9,6 milhões, {t ∈  / 32  t  80} e
125
 k  17.
13
4