Escola EB 2,3/S Vieira de Araújo
Matemática A
Docente: Victor Pereira
Discentes: Adriana Vieira, nº 1
Nuno Machado, nº13
11.ºA
Vieira do Minho
2009/2010
Índice
1.
Introdução............................................................................................................................. 3
2.
Fractais ................................................................................................................................. 4
3.
A Curva de Koch ................................................................................................................... 7
4.
A Curva do Floco de Neve .................................................................................................. 11
5.
Exemplos de Fractais ......................................................................................................... 16
6.
Conclusão ........................................................................................................................... 18
7.
Bibliografia .......................................................................................................................... 19
2
1.
Introdução
Os fractais surgiram na história da Matemática para preencher a lacuna
deixada pela Geometria Euclidiana. Tal como as mais diversas hipóteses científicas
colocadas no passado, conclui-se que a Geometria Clássica não era suficiente para
descrever o nosso mundo. Nas palavras de Benoît Mandelbrot, “nuvens não são
esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, cascas de
árvores não são suaves e nem o raio se propaga em linha recta.”1
É neste contexto de procura de uma sistema que se adapte à realidade, em vez
de esperar inocentemente o contrário, que surgem os fractais.
Conhecidos nos seus primórdios por anomalias matemáticas, os fractais
actualmente são utilizados, como muitos outros conceitos matemáticos, nas mais
variadas áreas científicas, dentro das quais a Biologia, a Física e a Cosmologia
(contudo, nomear apenas três é pouco, porque mesmo nas ciências sociais como a
Economia os fractais são utilizados).
Não se tratando apenas de meros instrumentos científicos, os fractais são
também conhecidos pela sua curiosa beleza, havendo mesmo um tipo de arte que
usa os fractais – a Arte Fractal.
É devido à sua importância e actualidade que se tratará dos fractais, de uma
forma simplificada, no decorrer deste trabalho, com especial destaque para a curva
de Koch.
O primeiro capítulo será dedicado aos fractais, no geral: será feita referência
àquilo que os fractais são, bem como às propriedades que os distinguem das
demais figuras geométricas.
No segundo capítulo far-se-á referência à curva de Koch; será estudada
também o seu comprimento, com base em sucessões.
A curva floco de neve, derivada da curva de Koch, será estudada no terceiro
capítulo: será estudado o seu perímetro e a sua área.
Finalmente, o último capítulo fará breve referência a dois outros fractais.
Finalizar-se-á este trabalho com uma conclusão sobre aquilo que foi feito, bem
como sobre o facto de os objectivos da realização deste trabalho terem sido, ou
não, concluídos.
1
MANDELBROT, Benoît B. – The Fractal Geometry of Nature
3
2. Fractais
Os fractais foram inventados pelo matemático Benoît Mandelbrot em 1975, a
partir do termo latino “fractus”, isto é, quebrado.
Uma definição exacta de “fractal” é difícil de encontrar, dada a própria
complexidade do fractal. Contudo é possível encontrar algumas características
comuns à maioria dos fractais.
Uma delas é a auto-semelhança, isto é, cada parte do fractal é uma réplica da
sua totalidade. Outra forma de o dizer é que quando o todo é uma ampliação
exacta da parte estamos perante um fractal. Com base nessa característica,
podem-se dividir os fractais em dois tipos: os geométricos e os aleatórios. Enquanto
que nos fractais geométricos o todo é uma ampliação exacta da parte, nos fractais
aleatórios o todo é apenas estatisticamente semelhante à parte. É relativamente
fácil encontrar-se fractais aleatórios na Natureza, observando-se, por exemplo, o
tronco, os ramos, os galhos, as folhas e as nervuras das folhas de uma árvore.
Essa característica dos fractais pode ser observada na seguinte imagem:
Fig. 1 – A auto-semelhança é uma característica dos fractais.
Uma outra característica importante dos fractais é a complexidade infinita. Em
termos mais latos, tal significa que é impossível representar na totalidade um
fractal, dado que existirão sempre pormenores cada vez mais pequenos.
Tecnicamente, a complexidade infinita deriva do facto de um fractal ser gerado por
uma sucessão recursiva, com um número infinito de iterações, isto é, um número
infinito de repetições de uma determinada acção. Por exemplo, na Árvore de
Pitágoras (fig. 2), a iteração é a apresentada na figura 3.
4
Fig. 2 – Árvore de Pitágoras
Fig. 3 – Iteração que dá origem à árvore de Pitágoras.
A dimensão dos fractais é também uma característica própria.
Enquanto na geometria euclidiana a dimensão toma sempre valores inteiros (0
para um ponto, 1 para um segmento de recta, 2 para um quadrado, 3 para um
cubo, por exemplo), na geometria fractal a dimensão pode ser um número
fraccionário.
No seguinte quadro podem-se ver alguns objectos com dimensões diferentes,
encontrando-se aqueles que têm dimensão inteira na coluna esquerda e os que
têm dimensão fraccionária na coluna direita.
Fig. 4 – Comparação entre dimensões inteiras e fraccionárias.
5
Os fractais actualmente são utilizados em grande escala, em diversas áreas,
desde a Física à Medicina. As suas características tornam-nos numa ferramenta de
trabalho imprescindível para conseguir descrever determinados fenómenos que a
geometria clássica não consegue descrever. Entre alguns desses fenómenos
encontram-se medições de linhas de costas de países, montanhas e nuvens, e
mesmo para estudar certos fenómenos que ocorrem no corpo humano. Um
exemplo disso é o intestino delgado, onde se encontram umas pregas – as válvulas
coniventes -, que por sua vez se dividem em vilosidades que ainda, por sua vez, se
dividem em microvilosidades. Fenómenos semelhantes a este são encontrados em
todo o mundo animal e vegetal. No mundo animal pode-se ainda dar o exemplo do
cérebro humano, que apresenta inúmeras pregas, resultado de um aumento do seu
tamanho num espaço restrito – o crânio. Já no mundo vegetal, pode-se dar o
exemplo das raízes das plantas, que apresentam pêlos mais finos, chamados de
pêlos radiculares que optimizam a absorção de nutrientes ao nível da raiz por
aumentar a área de contacto da mesma com o meio envolvente (à semelhança do
que acontece no intestino delgado).
No entanto o uso dos fractais é mais amplo ainda, sendo utilizado na detecção
de tumores, desenvolvimento de antenas, cabos de fibra óptica e estudo dos
mercados financeiros.
6
3. A Curva de Koch
A curva de Koch foi apresentada pela primeira vez pelo matemático sueco
Helge von Koch, em 1904.
Devido a algumas das suas propriedades, a curva de Koch é um fractal: esta
figura apresenta complexidade infinita, auto-semelhança e dimensão fraccionária.
Ao longo deste capítulo, as propriedades que conferem à curva de Koch a
designação de fractal serão analisadas, bem como o comprimento da curva de
Koch, e a sucessão que o caracteriza.
A curva de Koch (fig. 5) apresenta complexidade infinita pois é construída
através da repetição de uma determinada acção, representada na figura.
Fig. 5 – Curva de Koch.
Fig.6 – Iteração que dá origem à curva de Koch. Esta iteração é repetida em
cada terça parte mediana de um segmento de recta.
O facto de ter complexidade infinita leva a que esta figura possua autosemelhança. A auto-semelhança, como já foi dito, significa que uma parte do fractal
é igual ao fractal completo. Essa propriedade pode ser facilmente observável
através da ampliação de uma fracção da curva de Koch.
7
Fig. 7 – A ampliação de uma parte do fractal revela a auto-semelhança da curva
de Koch.
Finalmente, a dimensão da curva de Koch é fraccionária, encontrando-se na
dimensão intermédia entre uma recta e um plano.
Através da observação da curva de Koch, é possível constatar que esta se
assemelha com uma linha, mas é mais do que isso, uma vez que apresenta alguma
espessura; contudo, é menos do que um plano para ser considerado tal.
Consequentemente, a sua dimensão estará entre 1 – a dimensão de uma recta – e
2 – a dimensão de um plano.
Através de cálculos específicos, é possível calcular a dimensão da curva de
Koch, e obtendo-se o resultado aproximado de 1,26.
O comprimento total da curva de Koch pode ser determinado recorrendo ao
cálculo do limite da sucessão que a origina.
Pegue-se num segmento de recta, a partir da qual se irá desenvolver, através
da iteração já mencionada, a curva de Koch, e suponha-se que o seu comprimento
é ℓ. Inicialmente, esse segmento de recta irá ser dividido em três segmentos de
dimensão igual. Consequentemente, a dimensão de cada um desses fragmentos
ℓ
será 3.
Fig. 8 – Segmento de recta dividido em três segmentos de igual comprimento.
No segundo passo da construção da curva de Koch deve-se construir um
triângulo equilátero tomando como base o segmento de recta do meio, eliminandoo seguidamente. Após tal, obter-se-á a seguinte figura:
Fig. 9 – Construção do triângulo equilátero e posterior eliminação da base.
8
Como foi construído um triângulo equilátero, é necessariamente lógico que o
ℓ
comprimento dos dois novos segmentos de recta seja igual a 3.
Verifica-se desse modo que após cada processo recursivo se obtém 4
segmentos de recta com um terço do comprimento do segmento de recta anterior.
ℓ4
Pegando no exemplo, o comprimento da curva na figura 9 será de 3 .
Constata-se assim que o comprimento da curva de Koch pode ser definido
através de uma sucessão, mais propriamente uma progressão geométrica de razão
4
.
3
De modo a simplificar a escrita da sucessão, tomar-se-á ℓ como sendo igual a 1
e, assim, a sucessão poderá ser escrita da seguinte forma:
4
𝑈𝑛 = ( )𝑛−1
3
Poder-se-á verificar o comprimento da curva de Koch ao fim de n sucessões
recorrendo ao cálculo do seu limite.
O limite da sucessão apresentada pode ser observado de um modo intuitivo
através da observação da representação gráfica da sucessão, ou através do cálculo
analítico do seu limite. Em seguida ambos os métodos serão apresentados.
A representação gráfica da sucessão pode ser observada na figura seguinte:
4
Fig. 10 – Representação gráfica de parte da progressão geométrica de razão 3.
Através da simples observação da representação gráfica da sucessão, é
possível deduzir que após n passos, o comprimento da curva de Koch terá
tendência a aproximar-se do infinito.
No entanto, a observação de um gráfico por si só não é suficiente, pelo que é
requerido um cálculo do limite da sucessão.
É possível deduzir que a sucessão tende para o infinito através de um teorema
que diz que todas as progressões geométricas de razão superior a 1 e com termos
positivos é um infinitamente grande positivo. Ora, um infinitamente grande positivo
não é mais do que uma sucessão cujo limite é +∞.
9
4
A progressão geométrica tem razão ; 4/3 = 1, (3) e, portanto, superior a 1. A
3
progressão é crescente, e o seu primeiro termo é 1. Como obedece a todos os
parâmetros referidos no teorema, deduz-se que a sucessão é um infinitamente
grande positivo e que, portanto, ao fim de n ordens os termos tendem para +∞.
Logo, conclui-se que
4
lim ( )𝑛−1 = + ∞
𝑛→+∞ 3
Pode-se então finalizar que o comprimento da curva de Koch ao fim de n ordens
é infinito.
10
4. A Curva do Floco de Neve
A curva do floco de neve é uma outra curva feita com a curva de Koch. No
entanto, inicia-se a construção de um fractal com um triângulo equilátero. Os lados
do triângulo sofrerão o mesmo processo recursivo utilizado na construção da curva
de Koch.
Fig. 11 – A curva de floco de neve. É facilmente verificável que a curva de floco
de neve é construída a partir de três curvas de Koch.
Do mesmo modo que se calculou o limite do comprimento da curva de Koch, é
também possível calcular, neste caso, o perímetro da curva de Koch, bem como a
sua área.
O cálculo do perímetro é igual ao cálculo do comprimento da curva de Koch.
Supondo que se inicia a curva de floco de neve com um triângulo equilátero de
1
perímetro três, no final da primeira iteração obter-se-ia 12 lados, cada um com 3 de
comprimento.
De modo a determinar o perímetro da figura no final dessa iteração, ter-se-ia
que calcular
12 ×
1
=4
3
11
No final da segunda iteração, obter-se-ia 48 lados, cada qual com um
1
comprimento igual a 9.
Neste caso, o perímetro seria:
48 ×
1 16
=
≈ 5, (3)
9
3
É possível determinar a razão desta progressão calculando o quociente entre o
termo 𝑛 + 1 e o termo 𝑛.
Pegando nos cálculos anteriores, constata-se que
16
𝑛+1
16 4
= 3 =
=
𝑛
4
12 3
Confirma-se então que a sucessão que permite calcular o perímetro da figura
geométrica é a mesma que a sucessão que permite calcular o comprimento da
curva de Koch ao fim de 𝑛 vezes. Como tal, o perímetro da curva floco de neve
tende para +∞.
Ao passo que não há qualquer área relacionada com a curva de Koch, é
possível encontrar uma expressão que permita identificar para que valor tende a
área da curva floco de neve.
Inicialmente, a figura que se tem é um triângulo. Suponha-se novamente o
triângulo equilátero de lado 1.
Recorrendo ao teorema de Pitágoras, tem-se que a sua altura é
1
3
ℎ2 = 12 − ( )2 ⇔ ℎ =
2
2
Conhecendo a altura do triângulo, bem como o comprimento da sua base, temse que a sua área A pode ser calculada da seguinte forma:
3
1×( 2 )
3
𝐴=
⇔𝐴=
2
4
Para calcular a área da figura após uma iteração, isto é, após a imagem se
assemelhar com o representado na figura 12
Fig. 12 – “Segundo passo” da construção da curva floco de neve.
12
é necessário ter em consideração que à área do triângulo inicial se deve somar
a área de três novos triângulos.
1
Sabe-se que os três novos triângulos são equiláteros e têm de lado 3, pelo que é
possível calcular a sua altura para, finalmente, calcular a sua área.
h
1
3
Fig. 13 – Representação de um dos triângulos obtidos após iteração.
Através do Teorema de Pitágoras pode-se calcular a altura h do triângulo:
1
1
ℎ 2 = ( )2 − ( )2 ⇔ ℎ =
3
6
1
12
⇔ℎ=
12
12
Uma vez mais, conhecendo a altura e a base do triângulo, é possível calcular a
sua área.
1
12
× 12
12
3
𝐴=
⇔𝐴=
2
72
Atente-se agora na área do triângulo maior – à qual se irá chamar A1 – e à área
de uma dos triângulos mais pequenos – A2.
Calculando-se a razão entre as áreas, obtém-se que a área dos triângulos mais
1
pequenos é igual a 9 da área do triângulo maior que o precede; isto é
𝐴2 =
1
× 𝐴1
9
3
12
Através do exemplo anterior, em que A1 = 4 e A2 = 72 , pode-se calcular a razão
através da seguinte equação, onde r representará a razão:
12
𝑟=
3
72
⇔𝑟=
4
4 12
72 3
⇔𝑟=
8 3
72 3
⇔𝑟=
8
1
⇔𝑟=
72
9
13
Conhecendo esta propriedade – o facto de os novos triângulos serem um nono
daqueles que os precedem – permite construir uma sucessão das áreas da curva
floco de neve, sendo a sucessão a seguinte:
1
1
𝑈𝑛 = 𝑥 + 3 × 4𝑛 −1 × ( )𝑛 𝑥 ⇔ 𝑈𝑛 = 𝑥(1 + 3 × 4𝑛 −1 × ( )𝑛 )
9
9
Nesta sucessão, o x indica a área do triângulo com que se inicia a construção
da curva; o 3 × 4n-1 representa o número de triângulos formados em cada iteração,
sendo o 3 constante uma vez que na curva floco de neve existem sempre três
curvas de Koch, às quais são sempre acrescentados quatro triângulos por cada
1
processo recursivo, como já foi anteriormente referido e o (9)𝑛 𝑥 representa a área
desses triângulos, que serão sempre 1 9 dos triângulos que lhes precedem e,
portanto, terão de área 1 9 elevado a tantas vezes quantas as iterações feitas do
triângulo original.
No entanto, como se torna complicado trabalhar com a expressão acima
escrita, é possível simplificá-la:
1
1
1
𝑈𝑛 = 𝑥(1 + 3 × 4𝑛−1 × ( )𝑛 ) ⇔ 𝑈𝑛 = 𝑥(1 + 3 × 4𝑛 × × ( )𝑛 ) ⇔
9
4
9
1
4 𝑛
⇔ 𝑈𝑛 = 𝑥(1 + × ( ) )
3
9
Sendo a sucessão anterior a sucessão das áreas dos polígonos, tem-se que,
para calcular o valor para o qual tende a área dos polígonos, se deve calcular o
limite da soma de todos os termos da sucessão.
4
Considere-se que a sucessão é uma progressão geométrica de razão 9, à qual
se soma 1 e se multiplica pelo valor da área do triângulo inicial. Nesse caso, a
soma de todos os termos da sucessão será:
4 𝑛
4
1 − (9)𝑛
1 1 − (9)
𝑆𝑛 = 𝑥 1 + ×
⇔ 𝑆𝑛 = 𝑥 1 + 3 ×
4
3
5
1−9
lim𝑛→∞ 𝑥 1 + 3 ×
4
1−( )𝑛
9
5
⇔
lim𝑛→∞ 𝑥 × lim𝑛→∞ 1 + lim𝑛→∞ 3 ×
⇔ lim 𝑥 ×
𝑛 →∞
4
lim 𝑛 →∞ 1−lim 𝑛 →∞ ( )𝑛
9
lim 𝑛 →∞ 5
⇔ lim𝑛→∞ 𝑥 × 1 + 3 ×
1−0
5
8
5
14
Sabe-se que x é uma constante, uma vez que representa a área do triângulo a
partir do qual se iniciou a sucessão e que, consequentemente, o seu limite será
igual à constante.
Pegando agora no exemplo com que se iniciou este capítulo – o triângulo
3
equilátero com uma unidade de lado -, tem-se que x = 4 .
Assim, a área para a qual tende uma curva floco de neve que se inicia com um
triângulo de lado 1 é
8
3 8 3 2 3
×
=
=
5 4
20
5
A partir dos cálculos utilizados para o cálculo da área da curva floco de neve
com estas medidas específicas, é possível calcular a área para a qual tende
qualquer curva floco de neve.
Finalmente, conclui-se que, apesar do perímetro da curva floco de neve ser
infinito, que esta delimita uma área finita.
15
5. Exemplos de Fractais
Existem diversos fractais, sendo alguns deles conhecidos principalmente pela
sua beleza e outros pela sua utilidade. Neste capítulo serão apresentados alguns
dos fractais mais conhecidos, bem como as suas propriedades mais básicas, de
um modo sintético.
O triângulo de Sierpinski
O triângulo de Sierpisnki é um fractal construído a partir de um triângulo. O
processo da sua construção consiste em retirar um triângulo equilátero do centro
de cada triângulo que se forma. É possível observar um triângulo de Sierpinski,
bem como o processo que o origina, nas imagens seguintes:
Fig. 13 – Triângulo de Sierpinski.
Fig. 14 – Processo de construção do triângulo de Sierpinski.
Este fractal apresenta as características de ser formado por um número infinito
de pequenos triângulos e de ocupar uma área que tende para zero.
16
O Fractal de Cantor
O fractal de Cantor é um fractal cujo processo de formação consiste na
eliminação sucessiva de um terço central de um segmento de recta.
Fig. 15 – Fractal de Cantor.
Este fractal apresenta um comprimento que, no seu limite, tende para zero,
mas tem também a característica de apresentar, no limite, uma quantidade infinita
de pequenos segmentos de recta, dado que estes nunca são completamente
removidos e são duplicados.
17
6. Conclusão
Este trabalho foi introduzido com algumas informações sobre os fractais,
relativamente à sua descoberta, desenvolvimento da geometria fractal e da sua
utilidade para a Ciência. Este capítulo foi, provavelmente, o mais importante de
todo este trabalho, uma vez que, sem utilizações de termos técnicos ou cálculos, se
conseguiu, de um modo sintético, falar de uma área ainda pouco conhecida do
público em geral da Matemática. Além do mais, a utilização dos fractais foi
elucidada de um modo simples, mostrando como estes podem ser relacionados
com tanta coisa, ainda que tal não pareça a quem olhe para um fractal pela
primeira vez.
Nos dois seguintes capítulos falou-se do tema central deste trabalho – a curva
de Koch e a curva de floco de neve, feita a partir da anterior -, bem como algumas
das suas propriedades.
Finalmente, referiu-se a existência de mais dois fractais, bem como duas das
suas propriedades, ainda que de um modo sintético.
Espera-se, assim, ter conseguido atingir o objectivo deste trabalho: mostrar a
importância desta área da Matemática, bem como explicar os processos recursivos
que permitem o estudo da curva de Koch e curva de floco de neve.
18
7. Bibliografia
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[2] – Faculdade de Ciências de Lisboa – Fractais, esses conjuntos estranhos e
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http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico1.php
[3] – Faculdade de Ciências de Lisboa – Geometria a Várias Dimensões.
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[4] – Rodrigo Siqueira e Grupo Fractarte – Geometria a Várias Dimensões.
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[5] – Rodrigo Siqueira e Grupo Fractarte – Janelas Para o Infinito Exposição de
Fractais. Modificado em: Segunda-feira, 18 de Abril de 2005. Acedido em: Sábado,
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[5] – Faculdade de Ciências de Lisboa – A curva de Koch e a curva do floco de
neve. Modificado em: Segunda-feira, 24 de Maio de 2010. Acedido em: Segundafeira, 24 de Maio de 2010, em:
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[6] – Faculdade de Ciências de Lisboa – Prisma. Modificado em: Terça-feira, 10 de
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[7] – Sketchpad El Geométra – Koch01. Modificado em: Segunda-feira, 10 de
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19
[8] – Faculdade de Ciências de Lisboa – Autosem. Modificado em: Segunda-feira,
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[10] – Jose – Koch5. Modificado em: Terça-feira, 23 de Agosto de 2005. Acedido
em: Segunda-feira, 24 de Maio de 2010, em:
http://www.ime.usp.br/~jose/mac122/ep2/dados/koch5.jpeg
[11] – Inunes – Modela20. Modificado em: Terça-feira, 24 de Outubro de 2006.
Acedido em: Segunda-feira, 24 de Maio de 2010, em:
http://w3.ualg.pt/~lnunes/Pessoal/Disciplinas/imagens_modela%C3%A7%C3%A3
o/Modela20.jpg
[11] – Universidade Federal Fluminense – Sierpinski. Modificado em: Domingo, 22
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http://www.uff.br/cdme/pascal/pascal-html/html_img/fig_sierpinski.jpg
[11] – Haaguaemmat – Forma_triangulo_Sierpinski. Modificado em: Quinta-feira,
29 de Setembro de 2005. Acedido em: Sábado-feira, 29 de Maio de 2010, em:
http://haaguaemmat.blogs.sapo.pt/arquivo/Forma_triangulo_Sierpinski.JPG
[12] – Cordelia – FormaCantor. Modificado em: Quarta-feira, 2 de Março de 2005.
Acedido em: Sábado-feira, 29 de Maio de 2010, em:
http://cordelia.mclean.org/~lowen/cantor.gif
20