Anais do 14O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XIV ENCITA / 2008
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 20 a 23, 2008.
Estudo dos Elementos Dinâmicos Envolvidos no Conceito de Fronteira de
Estabilidade Fraca no Problema de Três Corpos
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Alessandra Cristina Ferreira Porto
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – End.: Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias
CEP 12228-900, São José dos Campos , SP, Brasil
Bolsista PIBIC-CNPq
[email protected]
Priscilla Andressa de Sousa Silva
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – End.: Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias
CEP 12228-900, São José dos Campos , SP, Brasil
[email protected]
Maisa de Oliveira Terra
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – End.: Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias
CEP 12228-900, São José dos Campos , SP, Brasil
Orientadora
[email protected]
Resumo. O presente projeto de Iniciação Científica teve como objetivo principal estudar o problema restrito de três
corpos, vislumbrando compreender os elementos e conceitos envolvidos na definição de fronteira de estabilidade fraca
(WSB). O projeto teve como objetivo secundário recriar o algoritmo usado por García e Gómez (2007) e para plotar
a WSB para diferentes excentricidades e sinais de velocidades.
Inicialmente, através do MatLab, foram observados os diferentes tipos de órbitas que o corpo de massa infinitesimal
num sistema de três corpos poderia seguir, dependendo de suas condições iniciais. Com o auxílio do Mathematica,
visualizamos as regiões de Hill correspondentes às cinco constantes críticas de Jacobi do sistema Terra-Lua, o que
facilitou nossa compreensão de como poderiam ocorrer as transferências do terceiro corpo entre essas regiões.
Com o sucesso na recriação do algoritmo supracitado, confirmamos os resultados obtidos por García e Gómez (2007),
que se referem à variação da geometria da WSB em função da velocidade e da excentricidade iniciais.
Palavras chave: estabilidade, mecânica celeste, órbitas, transferência, problema de três corpos.
1. Introdução
O presente trabalho teve como objetivo principal estudar o problema restrito de três corpos (Szebehely, 1967;
Szebehely, 1993) que constitui um problema clássico e fundamental dentro do contexto de Mecânica Celeste,
vislumbrando compreender, de forma introdutória, os elementos e conceitos envolvidos na definição de fronteira de
estabilidade fraca.
O projeto visou estudar e explorar os aspectos fundamentais do problema físico e matemático envolvido, em
especial os aspectos não-lineares que podem ser explorados no problema de transferência de trajetórias. Em especial,
consideramos a recente proposta de E. Belbruno (2004), explorando a existência de possíveis órbitas de trânsito em
função da constante de movimento do sistema. O projeto teve interesse particular nos projetos de transferência de
trajetórias espaciais, em particular o sistema terra-lua-espaçonave.
2. O problema de dois corpos
A visão que temos atualmente do estudo da Mecânica Celeste e da Astronáutica deve-se em grande parte ao
estudo de Kepler e Newton, que enumeraram as leis do movimento planetário e as leis clássicas do movimento e da
gravitação universal, respectivamente.
Essa última lei pode ser enunciada do seguinte modo: dois corpos se atraem mutuamente com uma força
proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Quando
aplicada a dois corpos que se supõem pontuais, num sistema onde não existem outras forças que não a atração
gravitacional mútua, essa lei oferece uma solução completa para o problema.
O problema dos dois corpos sempre desempenhou um papel fundamental na Mecânica Celeste, pois é o único,
exceto alguns casos muito particulares do problema restrito de três corpos, ao qual podemos atribuir uma solução geral
e completa.
Para o estudo sobre o problema de dois corpos necessário a esse trabalho, utilizamos Fernandes (2006).
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3. O problema de três corpos
Quando físicos e matemáticos começaram a concentrar esforços na resolução de problemas de N corpos,
observou-se que, para N = 3 , o problema já é insolúvel no caso geral, mas que, introduzindo-se suposições especiais a
respeito do tipo de movimento e interação entre os corpos, pode-se encontrar soluções analíticas.
O que difere fundamentamente o problema de três corpos do de dois corpos é que, enquanto esse último é
integrável, aquele não é. O conceito de integrabilidade aqui citado refere-se à disponibilidade de soluções analíticas
gerais e válidas. Isso implica que, enquanto podemos prever o comportamento de um sistema de dois corpos para
quaisquer condições inciais, o mesmo não é válido para um sistema de três corpos.
A definição do problema geral de três corpos consiste em três corpos pontuais, ou esfericamente simétricos,
que atraem um aos outros gravitacionalmente; devemos determinar o movimento resultante sem restringir as condições
iniciais. Para essa formulação, não é possível encontrar integrais de movimento em número suficiente para resolver o
problema.
Dentre os vários casos especiais do caso geral do problema de três corpos, um tem importância prática
considerável: o caso em que o terceiro corpo tem massa muito menor que a dos outros dois – que se movem em órbitas
circulares ao redor do seu centro de massa – o que implica que o movimento dos dois corpos praticamente não será
afetado pelo terceiro, mas o terceiro terá seu movimento governado pela atração dos corpos maiores. Esse é o chamado
problema restrito planar de três corpos, o qual serve para descrever o sistema Terra - Lua- sonda/nave espacial, que é
um dos pontos de interesse desse artigo.
As equações do caso planar restrito podem ser obtidas a partir da equação geral do problema de N corpos, ou
seja, a partir de
ii
N
xk = ∑
j =1
j ≠k
Gm j rjk , onde
xk ∈
rjk2 rjk
3
i
é o vetor das coordenadas cartesianas da k-ésima partícula do sistema. Temos também v = x , sendo vk o vetor
k
k
velocidade da k-ésima partícula. vk ∈
3
Para obter as equações desejadas, basta fazer N=3 e x , v ∈
k
k
ii
x1 =
ii
x2 =
ii
x3 =
Gm
Gm2
( x2 - x1 ) + 3 3 ( x3 - x1 ), onde rij = xi − x j
r123
r13
2
. Teremos:
(1)
Gm
Gm1
( x1 - x2 ) + 3 3 ( x3 - x2 ) (2)
3
r12
r23
Gm1
Gm
( x1 - x3 ) + 3 2 ( x2 - x3 ) (3)
r133
r23
Esse sistema de seis equações diferenciais de segunda ordem pode ser reduzido para um sistema de quatro
equações diferenciais de segunda ordem, se lembrarmos que o centro de massa ρ está na origem do sistema de
referência, pois teremos:
3
ρ=
∑m x
k =1
k
k
(m1 + m2 + m3 )
3
= 0 ⇔ ∑ mk xk = 0 (4)
k =1
Podemos reescrever as equações em coordenadas jacobianas, dados q = x2 − x1 (5) e Q = x3 − β (6) , onde β
(m1 x1 + m2 x2 )
. Q e q são as coordenadas jacobianas.
é o centro de massa dos corpos primários (P1 e P2), isto é, β =
m1 + m2
Substituindo as Eqs. (4), (5) e (6) nas Eqs. (1), (2) e (3) e efetuando algumas adições, vem:
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m1
m2
⎡
⎤
Q−
q Q+
q⎥
⎢
G(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
⎥ (7)
−
q=−
q + Gm3 ⎢
3
q3
r
r133
⎢
⎥
23
⎢⎣
⎥⎦
m1
m2
G(m1 + m2 + m3 )
G(m1 + m2 + m3 )
ii
⎞
⎞
m2
m1
(m1 + m2 ) ⎛
(m1 + m2 ) ⎛
Q=−
q⎟ −
q⎟
⎜Q +
⎜Q +
3
r133
(
m
m
)
r
(
m
m
)
+
+
1
2
23
1
2
⎝
⎠
⎝
⎠
ii
(8)
Agora temos um sistema de quatro equações diferenciais de segunda ordem. A notação nas coordenadas
jacobianas é especialmente útil se lidarmos com o caso restrito do problema planar de três corpos em que o terceiro
corpo (P3) tem massa infinitesimal quando comparado aos outros, porque nesse caso teremos m3 → 0 e a Eq. (7)
ii
poderá ser escrita q = − G(m1 + m2 ) q (9) , que representa a equação para o problema de dois corpos, do movimento do
q3
corpo primário de menor massa ao redor do corpo de maior massa. A Eq. (8), nesse caso, representa o movimento do
terceiro corpo no campo gravitacional gerado pelos dois corpos primários, no referencial centrado no centro de massa
do sistema. A Eq. (9) pode, como já foi visto, ser explicitamente resolvida.
Como m3 → 0 , temos β = ρ = 0 , o que coloca o centro de massa dos corpos primários na origem do sistema.
Também podemos afirmar que, para a maioria dos problemas de nosso interesse, μ =
m2
( m1 + m2 )
1 . Podemos observar
que, por exemplo, para o caso de o P2 ser qualquer planeta do Sistema Solar e o P1 ser o Sol, isso é verdadeiro (para
Júpiter, μ = 0.001 e, para a Terra, μ = 0.000003 , por exemplo). Isso também é válido para a Lua e a Terra ( μ = 0.012 ).
Como, para o caso que estudamos, os dois corpos primários se movem em órbitas circulares, temos também,
parametrizando o movimento do P2 ao redor do centro de massa (localizado, de acordo com as suposições acima,
aproximadamente em P1), q1 (t ) = r12 cos t e q2 (t ) = r12 sin t .
Introduzindo as novas hipóteses acima na Eq. (8), podemos satisfatoriamente descrever o movimento do
terceiro corpo no caso restrito circular planar.
As equações diferenciais que descrevem o movimento de P3, agora em coordenadas girantes e unidades
adimensionais, centradas no centro de massa do sistema, são:
∂Ω
x1 − 2 x2 =
∂x1 (10) , onde
ii
i
∂Ω
x2 + 2 x1 =
∂x2
ii
i
Ω( x1 , x2 ) =
1 2
1− μ μ 1
( x1 + x2 2 ) +
+ + μ (1 − μ )
r1
r2 2
2
r12 = ( x1 + μ ) 2 + x2 2
r2 2 = ( x1 + μ − 1) 2 + x2 2
O sistema de Eqs. (17) admite uma integral de movimento, a energia Jacobiana do sistema:
i
i
i
i
J ( x1 , x2 , x1 , x2 ) = 2Ω( x1 , x2 ) − υ 2 (11), onde υ 2 = x12 + x2 2 .
A uma solução qualquer das Eqs. (10) está associado uma constante real C, tal que
.
.
J ( x1 , x2 , x1 , x2 ) = C .
Essa constante assume importância especial para nosso estudo nos chamados pontos lagrangeanos, onde
.
.
x1 = 0 e x2 = 0 .
Os pontos langrangeanos são pontos de equilíbrio no plano de movimento dos corpos onde as forças que agem
sobre o corpo de menor massa se equilibram. Para o caso do problema restrito em que os corpos primários se movem
em círculos, existem cinco pontos de equilíbrio ( Lk , k = 1,...,5) . Três desses pontos se localizam na reta que une os
corpos primários e dois deles em triângulos eqüiláteros que têm as primárias como vértices comuns.
Os valores da constante de Jacobi nesses pontos podem ser computados a partir da Eq. (11), em função de μ .
Para o problema Terra-Lua, temos:
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C1 ≈ 3,18416
C2 ≈ 3, 20034 , onde Ck é o valor da constante de Jacobi em Lk .
C3 ≈ 3,02415
C4 = C5 = 3
Uma vez que que o termo v 2 ≥ 0 , na Eq. (11), dado um valor da constante de Jacobi C, temos restrições no
espaço de coordenadas ( x1 , x2 ) às regiões acessíveis a partícula P3. Essas regiões acessíveis são chamadas Regiões de
Hill e são delimitadas pelas curvas de velocidade nula ou curvas de Hill. Essas curvas são obtidas a partir da Eq. (11),
fazendo-se v = 0 , para cada valor de C.
Os valores Ck para constante de Jacobi, apresentados acima, representam valores críticos que separam classes
2
distintas que podem ser definidas para as Regiões de Hill.
Resumidamente, o que podemos observar é que, quando C ≥ C2 , P3 pode se mover em torno de P1 ou P2, ou na
“região externa”, mas não pode transitar entre eles. Quando C <∼ C2 , surge uma região de transferência entre P1 e P2,
usualmente denominada gargalo, e P3 pode passar entre as duas regiões internas; quando C <∼ C1 , abre-se um novo
gargalo, próximo a L1 , entre a “região externa” e as regiões de P1 e P2; quando C <∼ C3 , gargalo semelhante surge próximo
a L3 . Quando C <∼ C4 = C5 , P3 pode se mover por todo o plano.
É importante compreender em linhas gerais os possíveis movimentos de P3 para entender o conceito de captura
e transferência.
A seguir mostramos as figuras, obtidas com o auxílio do software Mathematica, que mostram as regiões de Hill
para diferentes valores da constante de Jacobi. As regiões pretas são aquelas nas quais o corpo não pode se mover,
enquanto as brancas e cinzas representam as regiões acessíveis.
Figura 1 –
C ≥ C2
Figura 2 – C <∼ C2
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Figura 3 – C <∼ C1
Figura 4 – C <∼ C3
Figura 5 – C <∼ C4 = C5
3.1. Captura e transferência
O conceito de captura, na mecânica celeste, aplica-se a sistemas de N corpos, com N ≥ 3 . Para N = 3 , definimos
a captura do corpo P3 por P1 ou P2 como o “aprisionamento” desse corpo em órbitas ao redor, respectivamente, de P1 ou
P2, a partir de um estado inicial de “não-aprisionamento” ao redor do mesmo corpo. Esse aprisionamento pode ocorrer
de diferentes formas.
• Captura Total ou Permanente: esse tipo de captura ocorre quando, para t → ∞ , P3 está aprisionado,
enquanto que para t → −∞ , sua posição tende ao infinito em relação ao centro de massa do sistema
considerado (P1, P2, P3). Definição análoga existe para a captura permanente em t → −∞ , com a
posição de P3 tendendo ao infinito para t → ∞ . A existência desse tipo de captura, embora possível, é
muito improvável. Sitnikov foi o primeiro a provar sua existência, e depois dele provou-se que
órbitas parabólicas dividem o espaço de órbitas entre aquelas que escapam para o infinito e aquelas
que sofrem captura total.
Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008
•
•
Captura Temporária: Similar a definição de captura total, mas P3 escapa quando t → ±∞ .
Captura Analítica: Ambas as definições anteriores analisam apenas o aspecto “geométrico” da
captura, mas diz pouco sobre a dinâmica do movimento de P3. A definição de captura analítica é
como segue: P3 é analiticamente capturado por P2 num tempo t = t1 se a energia kepleriana de P3 em
relação a P2 for negativa ou nula. A energia kepleriana de P3 com relação a P2, em coordenadas
.
.
girantes centradas em P2, é dada por E2 ( X , X ) = 1 X − μ + 1 r2 2 − L , onde r2 = X e L = X 1 X 2 − X 2 X 1 .
2
2
.
r2
.
2
Já a transferência se refere ao processo que resulta na alteração do movimento de um corpo, no caso P3, em relação
a P1 ou P2. Há três casos principais de transferências a serem considerados: transferências entre órbitas de P3 em torno
de um mesmo corpo, entre uma órbita em torno de um corpo para uma órbita em torno de outro corpo, ou até mesmo
entre a condição de órbita em torno de um corpo para um ponto no espaço longe de outros corpos.
Para todas essas transferências, uma ou mais mudanças na energia do corpo são requeridas, e nos processos usuais
de transferência de, por exemplo, P3 orbitando em torno de P1 para orbitando em torno de P2, essa variação de energia é
grande, o que leva a um gasto substancial de combustível.
3.2. A fronteira de estabilidade fraca
A fronteira de estabilidade fraca (WSB, do inglês weak stability boundary), conforme a proposta de
Belbruno(2004), não tem uma definição matemática precisa. A definição que mais se aplica ao contexto do presente
trabalho refere-se ao conceito de estabilidade.
Essa definição refere-se a uma escolha especial de condições iniciais, explicada a seguir:
• P3 começa seu movimento no periapsis de uma elipse osculadora em torno de P2, num certo ponto de l (θ ) ,
sendo l (θ ) o segmento radial que parte de P2, fazendo um ângulo θ com o eixo x (que liga P1 a P2).
• A velocidade inicial de P3 é perpendicular a l (θ ) , e será chamada positiva ou negativa, dependendo do seu
sentido (velocidade positiva: sentido anti-horário).
• A energia kepleriana inicial de P3 com relação a P2 é negativa.
• O valor da excentricidade do movimento inicial de dois corpos é fixado ao longo de l (θ ) .
A definição diz: “O movimento de uma partícula P3 é dito estável em torno de P2 se, depois de deixar l (θ ) , P3
completa um ciclo em torno de P2 sem ir até P1, e retorna a l (θ ) num ponto onde sua energia Kepleriana em relação a P2
é negativa. O conjunto de pontos no espaço de fases que geram órbitas estáveis é a fronteira de estabilidade fraca.”
De acordo com a definição da WSB dada acima, a determinação das regiões estáveis em torno de P2 se dará
tomando as condições iniciais em l (θ ) e integrando-se o sistema de Eqs. (10) a partir delas. No sistema baricêntrico
girante, e sendo r2 a distância inicial de P3 a P2, essas condições são:
x = −1 + μ + r2 cos θ
y = r2 sin θ
.
x = r2 sin θ − v sin θ
y = − r2 cos θ + v cos θ
x = −1 + μ + r2 cos θ
y = r2 sin θ
.
y = − r2 cos θ − v cos θ
x = r2 sin θ + v sin θ
.
.
, para velocidades positivas, e
, para velocidades negativas.
O termo v , nesse caso, é a velocidade de P3 no periapsis de uma elipse osculadora, e vale v = μ (1 + e) , onde e é a
r2
excentricidade da elipse.
García e Goméz (2007) apresenta a WSB para diferentes valores de excentricidade, com velocidades positivas e
negativas, e relata que, para valores do ângulo θ e excentricidade fixados, existe um conjunto finito de pontos
r *i = 0, r *2 , r *4 ,..., r *2 n , tal que se r2 ∈ [r *1 , r *2 ] ∪ [r *3 , r *4 ] ∪ ... ∪ [r *2 n −1 , r *2 n ] , então o movimento é estável.
Ainda neste trabalho, pode-se ver que a geometria da WSB se torna mais complicada com o aumento da
excentricidade e que ela é bem diferente para velocidades positivas ou negativas.
De forma a cumprir o objetivo deste trabalho, geramos, a partir do algoritmo sugerido por Gómez e García (2007),
representações da WSB para diferentes valores de excentricidade e sinais de velocidade. Para fins de melhoria do
algoritmo, geramos algumas figuras-exemplo de órbitas com diferentes condições iniciais.
As figuras 6 e 7 apresentam diversas projeções de órbitas no plano x1-x2, respectivamente para valores de
excentricidade e = 0.0 e e = 0.9 e velocidades inicias positivas e negativas. Os primários são representados por estrelas
vermelhas e a reta de condições iniciais (no caso, θ = 0 ) é a reta que une os primários. As figuras 8 a 15 apresentam as
representações da WSB. As partes pretas das figuras são os pontos nas retas de condições iniciais que geram órbitas
estáveis (isto é, a WSB). Os pontos marrons, em quantidade quase imperceptível, são aqueles que correspondem à
Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008
colisão com um dos primários, ou seja, cujas trajetórias se aproximam de um dos primários com uma distância
escolhida convenientemente no algoritmo. Os pontos vermelhos são os pontos que originam órbitas instáveis pelo
critério da energia kepleriana e os azuis são os pontos que escaparam de P2 e foram para P1 ou para além dele. O eixo
horizontal representa ( x1 + 1 − μ ) e o vertical x2 . Note que essas figuras estão centradas no primário menor. A ligeira
diferença percebida entre essas figuras e as encontradas por García e Gómez (2007) deve-se em grande parte à ausência
de regularização em nossa integração, quando P3 se aproxima demais de qualquer primário.
Figura 6 – e = 0.0, v0 > 0
Figura 7 – e = 0.9, v0 < 0
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Figura 8 – e = 0.0, v0 < 0
Figura 9 – e = 0.3, v0 < 0
Figura 10 – e = 0.6, v0 < 0
Figura 11 – e = 0.9, v0 < 0
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Figura 12 – e = 0.0, v0 > 0
Figura 13 – e = 0.3, v0 > 0
Figura 14 – e = 0.6, v0 > 0
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Figura 15 – e = 0.9, v0 > 0
Podemos observar, nas figuras acima, que as regiões estáveis diminuem sensivelmente com o aumento da
excentricidade, independentemente do sentido da velocidade. Percebemos também que há grandes diferenças nas
regiões que definem as órbitas instáveis por ter a energia kepleriana positiva, para velocidades positivas e negativas.
O estudo da WSB e suas propriedades dinâmicas é muito importante, pois é nessa região onde existe a
possibilidade de ocorrerem transferências de órbitas com uso mínimo de combustível, por permitir que P3 chegue a P2
com sua energia kepleriana em relação a este negativa, o que implicaria num aumento de velocidade nulo no momento
da captura.
3. Agradecimentos
Agradeço a elaboração desse projeto aos professores do ITA Maisa de Oliveira Terra, por sua dedicada
orientação, e Sandro da Silva Fernandes, pelo excelente material fornecido (Fernandes, 2006).
Foram também essenciais para a conclusão desse trabalho o auxílio e a cooperação dos estudantes de
Doutorado do ITA Cleverson Marinho e Thiago Chagas.
Agradeço ainda ao próprio CNPq, que tornou esse trabalho possível com seu incentivo.
4. Referências
BELBRUNO, Edward, 2004, “Capture Dynamics and Chaotic Motions in Celestial Mechanics”, New Jersey: Princeton
University Press, 1st edition
FERNANDES, Sandro da Silva Fernandes, 2006, Apostila do Curso Introdução a Astronáutica, ITA/CTA, São José
dos Campos.
GARCÍA, F. e GÓMEZ, G., 2007, “A note on weak stability boundaries”, Celestial Mech. Dyn. Astr. 97 (2007),
pp.87-100.
SZEBEHELY, Victor G., 1993, “Adventures in Celestial Mechanics – A First Course in the Theory of Orbits”. Texas:
University of Texas Press, 3rd Printing.
SZEBEHELY, Victor G., 1967, “Theory of Orbits – The Restricted Problem of Three Bodies”. New York: Academic
Press Inc. 1st edition, 1967, pp 1-41.