CURSO DE MATEMÁTICA ELEMENTAR AULAS 5 e 6 – POLINÔMIOS ALUNO(A): ____________________________________________________ PROFESSOR: FIDELIS ZANETTI DE CASTRO DATA: ___/___/_______ 1. (MACK/SP-2005) Um polinômio p(x ) tem resto A , quando dividido por (x − A) , e resto B , quando dividido por (x − B ) , sendo A e B números reais. Se o polinômio p(x ) é divisível por (x − A )(x − B ) , então: a) A = B = 0 b) A = B = 1 c) A = 1 e B = –1 d) A = 0 e B = 1 e) A = 1 e B = 0 2. (PUC/PR-2004) Sejam a, b e c três números reais não nulos. O polinômio p(x ) = x 3 − ax 2 + bx − c pode ser fatorado como (x − a )(x − b )(x − c ) . O valor de p(2) será: A) – 3 B) 0 C) 4 3. (PUC/RS-2004) A divisão do polinômio D) 7 E) 9 p (x ) = x 5 − 2 x 4 − x + m por q (x ) = x − 1 é exata. O valor de m é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 4. (UFJF/MG-2005) O resto da divisão do polinômio p(x ) = 3 x 2 − 17 x + 27 por q (x ) = x − 4 é: a) 4. b) 7. c) 2x. 5. (PUC/RS-2004) A divisão do polinômio d) 5. e) 5x – 20. p(x ) = x 5 − 2 x 4 − x + m q (x ) = x − 1 é exata. O valor de m é: A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 por 6. (ITA/SP-2003) Dividindo-se o polinômio P (x ) = x 5 + ax 4 + bx 2 + cx + 1 por (x − 1) , obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P (x ) por (x + 1) , obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P (x ) é divisível por (x − 2) , calcule o valor de a + b + c. 7. (UFPB/PB–1994) Determine os valores de A, B e C para que os polinômios P (x ) = Ax 3 + (2A − 5 )x 2 + C e Q(x ) = (4 − B )x 3 + Bx 2 + 1 sejam idênticos. 8. (UFPB/PB–1997) Qual o valor de m − n de modo que o polinômio p( x ) = x 3 + 2m x 2 − nx − 1 seja divisível por ( x − 1) e ( x − 2 ) ? 9. (UFPB/PB–1999) Determine as relações entre a, b, c, d e e para que o polinômio do segundo grau p( x ) = a x 2 + b x + c seja o quadrado do polinômio do primeiro grau q( x ) = d x + e 10. (UFPB/PB–1995) Se P (x ) e Q (x ) são polinômios de grau 4 e S (x ) = P (x ) + Q (x ) , então S (x ) : A) pode ter grau 2. tem grau 4 B) pode ter grau 5. C) pode ter grau 6. D) E) tem grau 8. 11. (UFPA/PA–1997) O polinômio P (x ) = x 4 − ax 2 + bx é divisível por x + 3 , e o resto de sua divisão por x − 1 é a abscissa do ponto médio do segmento MN, onde M (− 9,3 ) e N (− 15,−4 ) . Encontre os valores de a e b. 12. (UFMT/MT-2002) Considere os polinômios A( x ) , de grau m , e B( x ) , de grau n , com m ≥ n , ambos de coeficientes reais, e, julgue os itens. (0) O grau do polinômio S( x ) = A( x ) + B( x ) é m + n . (1) O polinômio P ( x ) = A( x ) ⋅ B( x ) é de grau m ⋅ n . (2) Se Q( x ) é o quociente da divisão A( x ) ÷ B( x ) , com B( x ) ≠ 0 , então Q( x ) é um polinômio de grau m − n . 13. (IBMEC/SP – 2005) Considere o polinômio p(x ) = − x 3 − 4 x + 5 x 2 + 20 . A) Fatore a expressão ax + bx + ay + by . B) Determine as três raízes de p(x ) . 14. (FATEC/SP–2003) Uma das raízes da equação x 3 + 3 x 2 + 2 x − 120 = 0 é um número inteiro positivo menor do que 5. Outra das raízes é a) b) 71 13 71 13 c) − 7i 13 d) − 7 − 71 2 e) − 7 − i 71 2 15. (UFPA/PA-2000) Encontre as raízes da equação x 3 − 15 x 2 + 74 x − 120 = 0 , sabendo que as mesmas estão em progressão aritmética 16. Resolver a equação x4 - 5x2 - 10x - 6 = 0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3. 17. Sabendo-se que 1 é a raiz da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0, determinar a e as demais raízes da equação. 18. Resolver a equação x3 - 3x2 - x + 3 = 0, sabendo-se que a soma de duas raízes é zero. 19. (ITA/SP–2001) O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4 x 4 − 20 x 3 + ax 2 − 25 x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é: a) 36 b) 41 c) 26 d) –27 e) –20