Estatística
6 - Distribuição de
Probabilidade de
Variáveis Aleatórias
Discretas
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
e-mail: [email protected]
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
Principais Distribuições de Probabilidades
• Distribuição Equiprovável
• Distribuição de Bernoulli
• Distribuição Binomial
• Distribuição Geométrica
• Distribuição de Pascal
• Distribuição Hipergeométrica
• Distribuição Multinomial
• Distribuição de Poisson
Distribuição Equiprovável
Todos os possíveis valores da
Variável Aleatória tem a mesma
Probabilidade de ocorrer
n valores
1
P X  xi  
n
Para valores equi-espaçados (a diferença entre
os valores é constante e igual a h), tem-se:
x1  x n
E( X) 
2
h (n  1)
 ( X) 
12
2
2
2
Exemplo 1(valores equi-espaçados):
x  1,2,3
1 3
 2
E( X ) 
2
Exemplo 2 (valores não equi-espaçados):
x  1,2,5
1 5
 3
E( X ) 
2
Distribuição de Bernoulli
“sucesso”
Experimento
“fracasso”
Seja X: variável aleatória com possíveis resultados:
X = 1 se o resultado for um sucesso
X = 0 se o resultado for um fracasso
p: probabilidade de ocorrer sucesso
q: probabilidade de não ocorrer sucesso (fracasso)
P(X) = q = 1-p para x = 0;
p
para x = 1;
0
para x  0 ou x  1
E(X) = p
2(X) = p.q
Distribuição Binomial
Condições do experimento:
(1) ter um número n , fixo de repetições
independentes
(2) cada repetição tem Distribuição Bernoulli:
“sucesso”
“fracasso”
ou
(3) Probabilidade p de sucesso é constante
Seja
X: variável aleatória Binomial
n: número de repetições
k: número de sucessos; k=0,1,...,n
P(X=k): probabilidade de k “sucessos” em
n repetições
Onde:
 n  k n k
P( X  k )    p q
 k
E (x) = n.p
n
n!
 
 k  k!n  k !
 
2 (x) = n.p.q
Distribuição Binomial
Um vendedor visita sempre 5 casas por dia, no intuito de vender
um determinado produto. Sabendo-se que a probabilidade de uma
dona de casa comprar tal produto é de 20% e que o lucro por
produto vendido é de 12 reais, pergunta-se:
a) Qual o lucro esperado ao final de um dia?
p=0,20: probabilidade de vender o produto (sucesso)
q=0,80: probabilidade de não vender o produto (fracasso)
x
0
0,8 5
= 0,32768
1
5  0,21  0,8 4
= 0,4096
2
10  0,2 2  0,8 3
= 0,2048
3
10  0,2  0,8
= 0,0512
4
5  0,2 4  0,81
5
P(x)
3
0, 2
5
2
= 0,0064
= 0,00032
Pr(VVVVN )  0,2  0,2  0,2  0,2  0,8  0,00128
Pr(VVVNV )  0,2  0,2  0,2  0,8  0,2  0,00128
Pr(VVNVV )  0,2  0,2  0,8  0,2  0,2  0,00128
Pr(VNVVV )  0,2  0,8  0,2  0,2  0,2  0,00128
Pr(NVVVV )  0,8  0,2  0,2  0,2  0,2  0,00128
Portanto:
Pr(X  4)  5  0,00128 0,0064
Distribuição Binomial
Um vendedor visita sempre 5 casas por dia, no intuito de vender
um determinado produto. Sabendo-se que a probabilidade de uma
dona de casa comprar tal produto é de 20% e que o lucro por
produto vendido é de 12 reais, pergunta-se:
a) Qual o lucro esperado ao final de um dia?
p=0,20: probabilidade de vender o produto (sucesso)
q=0,80: probabilidade de não vender o produto (fracasso)
x
0
0,8
1
5  0,21  0,8 4
2
10  0,2 2  0,8 3
= 0,2048
3
10  0,2  0,8
= 0,0512
4
5  0,2 4  0,81
5
P(x)
5
= 0,32768
3
0, 2
= 0,4096
2
5
= 0,0064
= 0,00032
x
0
1
2
3
4
5
Lucro
0
12
24
36
48
60
 n  k n k
P( X  k )    p q
 k
 5
P( X  4)     0,24  0,854   5  0,24  0,8  0,0064
 4
E( L)  0  0,32768 12 0,4096 24 0,2048   60 0,00032 12
E (x) = n.p=5.0,2=1
E (L) = 1.12=12
P(X=k)=DISTR.BINOM(k;n;p;FALSO)
Distribuição Geométrica
Repetição de um experimento com distribuição
de Bernoulli (sucesso ou fracasso) até obtenção
do primeiro sucesso.
Condições do experimento:
• repetições independentes
• mesma probabilidade de sucesso p
k 1
P( X  k)  p  q ,k  1,2,3...

E( X)   xi  PXi    k  p  q
k 1
k 1
i
2
1

p
 1
q
k 1
 X   xi  EX  Pxi     k    p  q  2
p
p
i
k 1 
2
2

P(X=k+1) = DIST.BIN.NEG(k;1;p)
Distribuição Geométrica
Um vendedor visita um número grande de casas, no intuito de
vender um determinado produto. Sabendo-se que a probabilidade
de uma dona de casa comprar tal produto é de 20%, pergunta-se:
b) Qual a probabilidade do vendedor vender o primeiro produto
na terceira casa visitada?
p=0,20: probabilidade de vender o produto (sucesso)
q=0,80: probabilidade de não vender o produto (fracasso)
k 1
P( X  k)  p  q ,k  1,2,3...
P( X  3)  0,2  0,831  0,128
c) Sabendo que nas duas primeiras casas o vendedor não
vendeu nenhum produto, qual a probabilidade dele vender na
terceira casa visitada?
P( X  3 X  2) 
P( X  3  X  2) P( X  3)

P( X  2)
P( X  2)


P( X  2)  1  P( X  1)  P( X  2)  1  0,2  0,80  0,2  0,81  0,64
Portanto:
P( X  3 X  2) 
Propriedade:
0,128
 0,2
0,64
P( X  1)  0,2  0,80  0,2
P( X  s  t X  s)  P( X  t )
Distribuição de Pascal
Repetição de um experimento com distribuição
de Bernoulli (sucesso ou fracasso) até obtenção
do r-ésimo sucesso.
Condições do experimento:
• provas independentes
• mesma probabilidade de sucesso p
r-ésimo sucesso ocorre na k-ésima tentativa
k-1 tentativas anteriores houve r-1 sucessos
Daí
 k  1 r 1 k 1r 1
 p  q
P( X  k )  p  
r 1 


 k  1 r k r
 p  q
P( X  k )  
r 1 


Para: k  r, r  1, r  2, ...
r
E( X) 
p
r q
 ( X)  2
p
2
Distribuição de Pascal
Um vendedor visita um número grande de casas, no intuito de
vender um determinado produto. Sabendo-se que a probabilidade
de uma dona de casa comprar tal produto é de 20%, pergunta-se:
d) Qual a probabilidade do vendedor vender dois produtos,
coincidindo do segundo produto ser vendido justamente na
quinta casa visitada?
p=0,20: probabilidade de vender o produto (sucesso)
q=0,80: probabilidade de não vender o produto (fracasso)
 k  1 r k r
 p  q
P( X  k )  
r 1 


 5  1
  0,22  0,852   0,08192
P( X  5)  
 2  1
P(X= k+r) = DIST.BIN.NEG(k;r;p)