Seminários de Ensino
de Matemática
Faculdade de Educação - USP
6 abril 2010
Geometria, Desenho
Geométrico e Arte – que
confusão é essa!
Prof. Luiz Márcio P. Imenes
[email protected]
Sumário
1.
2.
3.
4.
5.
Breve histórico e cenário atual
Sobre Geometria
Sobre Desenho Geométrico
Sobre Arte
Tentando organizar as idéias (e a prática)
1. Breve histórico e cenário atual
Até fins dos anos 60, desenho era disciplina escolar
obrigatória.
No antigo ginásio (6º ao 9º anos do atual ensino
fundamental), as aulas de desenho incluíam
construções geométricas.
• No curso colegial (atual ensino médio), parte dos
alunos estudava geometria descritiva e
perspectiva.
• A geometria era estudada nas aulas de
matemática.
• Nessa época, como regra, não havia uma disciplina
de arte.
• No início dos anos 70, desenho deixou de ser
disciplina obrigatória. Simultaneamente, ocorreu
progressivo abandono da geometria.
• Desde os anos 90, busca-se trazer de volta a
geometria. Em um bom número de escolas de
ensino fundamental, para garantir que ela
chegue aos alunos, usa-se o artifício de
especificar, no horário das aulas, uma ou duas
delas para geometria. Um professor ensina
matemática; outro, geometria. (Tal designação
parece sugerir que geometria não é parte da
matemática!)
• Em alguns casos, essa geometria é designada
como desenho geométrico (às vezes, ministrado
por professor de arte).
• Há escolas em que um professor de matemática
ensina aritmética, álgebra, geometria etc. e elas
oferecem, ainda, aulas de desenho geométrico.
• Há casos em que a geometria é trabalhada pelo
professor de matemática mas certos tópicos, como
simetria, vistas e perspectiva ficam por conta do
professor de arte.
• Relato: o caso do aluno que sugeriu simplificar a
construção da bissetriz.
• Tal cenário, um tanto confuso, parece fruto de
concepções equivocadas sobre geometria, desenho
geométrico e arte.
• Para justificar essa afirmação é preciso alguma
caracterização, ainda que simplificadora, desses
campos.
2. Sobre Geometria
• Na escola básica, a aritmética costuma ser entendida
como um campo da matemática dedicado aos
números e às operações enquanto o campo da
geometria ocupa-se do estudo das formas.
• Os PCN, bem como outros documentos publicados a
partir de fins do século passado (Standards – NCTM,
1989; Estrutura da avaliação – PISA, 2006), propõem
a designação espaço e forma no lugar de geometria.
Eles incluem o estudo de representações espaciais
sobre o plano (vistas, corte, perspectiva),
deslocamentos, itinerários; dão atenção à percepção
do espaço, à localização espacial (leitura de mapas e
plantas) etc.
• Tal orientação parece contemplar idéia de H.
Freudenthal. Referindo-se à geometria, afirma
que ela permite à criança “compreender o
espaço em que vive, respira e se move; o
espaço que a criança deve aprender a
conhecer, explorar e conquistar, de modo a
poder aí viver, respirar e mover-se melhor”.
(Citado por Eduardo Veloso, em Geometria –
Temas actuais, Instituto de Inovação
Educacional, Lisboa, 1998, p. 15)
• Durante muitas décadas, ensinou-se geometria
tendo como referência básica Os elementos, de
Euclides. Já há algum tempo, no ensino
fundamental, considera-se essa abordagem
inadequada.
• As orientações atuais para o trabalho com
geometria recomendam forte conexão com
outros campos da matemática, com situações
cotidianas, com outras disciplinas (arte, biologia,
geografia etc.)
• São recomendadas abordagens experimentais
acompanhadas, sempre que conveniente, de
justificativas teóricas; também são sugeridas
sequências dedutivas localizadas.
• Abordagens experimentais levam a diferentes
tipos de construções que usam recursos
variados: dobraduras; construções com palitos,
com canudos de tomar suco; construções em
malhas geométricas (quadriculadas,
triangulares); uso de embalagens; construções
com barbante; com instrumentos de desenho
(esquadro, transferidor, régua, compasso,
pantógrafo, escala etc.); com programas de
geometria dinâmica; com tesoura, cartolina e
cola etc.
3. Sobre Desenho Geométrico
• “A ciência grega tinha raízes numa curiosidade
altamente intelectual que é frequentemente
contrastada com o utilitarismo imediatista do
pensamento pré-helênico. ... Conta-nos Plutarco que,
enquanto Anaxágoras esteve preso ocupou-se com
uma tentativa de quadrar o círculo. Aqui temos a
primeira menção de um problema que iria fascinar os
matemáticos por mais de 2 000 anos. Não há outros
detalhes quanto à natureza do problema ou às regras
que o condicionam. Mais tarde ficou entendido que o
quadrado procurado de área exatamente igual à do
círculo, deveria ser construído só com régua e
compasso.” (C. B. Boyer, História da Matemática,
Edusp/Edgard Blucher, 1974, p. 48)
• Deve-se acrescentar que “a régua só poderia
ser utilizada para traçar retas e nunca como
instrumento de medição” (régua sem escala).
(Roberto Ramalho, Construções geométricas
com régua e compasso, UFPE/CECINE, 1984,
p. 2)
• Outros dois problemas famosos, o da
duplicação do cubo e o da trissecção do ângulo,
estavam condicionados às mesmas regras.
• O desenho geométrico é um campo da
matemática com raízes na Grécia Antiga que
bem pode ser caracterizado como “jogo de
natureza intelectual”.
• No desenho geométrico original, “à grega”, a
resolução de problemas tem duas etapas:
 construir o que se pede;
 justificar a construção, isto é, demonstrar que
o objeto construído, de fato, atende às
exigências do problema.
• A construção deve respeitar “as regras do jogo”.
• A justificativa se faz com base nos resultados
(teoremas) da geometria plana.
• Ora, se no desenho geométrico a justificativa da
construção baseia-se nos resultados da geometria
plana, entende-se que esta precede aquele. Ou seja,
o desenho geométrico supõe conhecida a geometria
plana.
• Em nossas escolas, o que tem sido praticado com o
nome de desenho geométrico, em geral, não respeita
as regras do jogo. Além disso, as construções não
costumam ser acompanhadas de justificativas.
Apresentam-se receitas.
• Portanto, o que se pratica não é o desenho
geométrico em seu sentido original.
• Para o aluno, tais receitas carecem de sentido.
Ele percebe que há maneira mais sensata para
se encontrar o ponto médio de um segmento de
reta (usando a escala da régua); ou para traçar
a bissetriz de um ângulo, ou para se dividir a
circunferência em 5 partes iguais (usando
transferidor).
4. Sobre Arte
• O volume 6 dos Parâmetros Curriculares Nacionais
relativos às séries iniciais do ensino fundamental é
dedicado à disciplina de Arte. Na p. 15, lê-se:
“A educação em arte propicia o desenvolvimento do
pensamento artístico, que caracteriza um modo
particular de dar sentido às experiências das pessoas:
por meio dele, o aluno amplia a sensibilidade, a
percepção, a reflexão e a imaginação. (...)
A segunda parte (do documento) busca circunscrever as
artes no ensino fundamental, destacando quatro
linguagens: Artes Visuais, Dança, Música e Teatro.”
• Arte é arte! Trata-se de disciplina com vida
própria, que, é claro, deve ser abordada em
conexão com todas as demais.
• Suas conexões com geometria ou desenho
geométrico não podem servir para confundi-la
com esses campos.
• Um professor de matemática não tem formação
para ensinar arte, nem um professor de arte tem
formação para ensinar geometria ou desenho
geométrico.
5. Tentando organizar as idéias (e a prática)
• A disciplina de arte, com vida própria, precisa
ser valorizada pela escola e pela sociedade.
• A geometria (pensada como espaço e forma)
deve ser entendida como campo da matemática
e tratada em conexão com outros campos da
matemática e com outras disciplinas, entre as
quais destaca-se arte.
• O trabalho com geometria deve envolver
diversos tipos de construções, em que são
usados instrumentos, recursos e materiais
variados, sem limitação.
• Tal trabalho construtivo não pode ser confundido
com o desenho geométrico “à grega”.
• A beleza e o desafio do jogo intelectual que é o
desenho geométrico reside em suas poucas e
rígidas regras. O trabalho construtivo que se
propõe dentro da geometria é o oposto disso:
nele, não há regras limitadoras.
• Eventualmente, podem-se propor problemas de
construção onde só vale usar régua (sem
escala) e compasso; ou só régua e esquadro.
• Bem, e o desenho geométrico “à grega”, onde
fica?
Uma sugestão: no curso de licenciatura em
matemática.
 Uma indagação: na escola básica, para todos
os alunos, ele seria prioritário hoje?