01.
Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(–2, 3, –2) e tem a
→
→
→
direção do vetor v = 3 i + 2 k .
Solução:
→
As componentes do vetor v são:
a = 3

b = 0 .
c = 2

Tendo em vista que b = 0, a reta se acha num plano paralelo ao plano xOz e suas
equações simétricas são:
02.
y = 3

x + 2 z + 2 .
 3 = 2
 x = −1 + 2t
 y = mx − 3

Calcular o valor de m para que as retas r : 
e s : y = 3 − t
sejam
 z = −2 x
 z = 5t

ortogonais.
Solução:
→
→
Os vetores u = (1, m,−2) e v = (2,−1,5) são vetores diretores de r e s,
respectivamente. A condição de ortogonalidade permite escrever:
→ →
u.v = 0
ou
(1, m, –2).(2, –1, 5) = 0
2 – m – 10 = 0
– m = 10 – 2
m=–8
03.
Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2, 1, – 2) e é
 x = −4 + 3t

perpendicular à reta r :  y = 1 + 2t .
z = t

Solução:
Um vetor normal a este plano é o próprio vetor diretor (3, 2, 1) desta reta. Então, a
equação do plano π, de acordo com a fórmula: a.(x – x1) + b.(y – y1) + c.(z – z1) = 0 ou
ainda pela fórmula ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0, temos:
3.(x – 2) + 2.(y – 1) + 1.(z + 2) = 0
3x + 2y + z – 6 = 0.
Observação:
Para obter pontos de um plano, basta atribuir valores arbitrários a duas das
variáveis e calcular a outra na equação dada. Assim, por exemplo, se na equação anterior
fizermos x = 1 e y = – 2, teremos:
3.(1) + 2.(– 2) + z – 6 = 0
3–4+z–6=0
z=7
e, portanto, o ponto A(1, – 2, 7) pertence a este plano. Se nesta mesma equação
3x + 2y + z – 6 = 0 fizermos:
x = 0 e y = 0, vem z = 6
x = 0 e z = 0, vem y = 3
y = 0 e z = 0, vem x = 2.
Obtemos, assim, os pontos A1(0, 0, 6) e A2(0, 3, 0) e A3(2, 0, 0) nos quais o plano
intercepta os eixos coordenados.
04.
Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2, 1, – 1),
B(0, – 1, 1) e C(1, 2, 1).
Solução:
Os vetores-base do plano são AB = (−2,−2,2) e AC = (−1,1,2) e, portanto, um vetor
normal do plano é:
→
→
→
→
i
j
k
n = ABx AC = − 2 − 2 2 = (−6,2,−4)
−1
1
2
Então, a equação geral do
a.(x – x1) + b.(y – y1) + c.(z – z1) = 0
plano,
de
acordo
com
a
fórmula:
– 6.(x – 2) + 2.(y – 1) – 4.(z + 1) = 0
– 6x + 2y – 4z + 12 – 2 – 4 = 0
– 6x + 2y – 4z + 6 = 0
ou, multiplicando ambos os membros da equação por −
1
:
2
3x – y + 2z – 3 = 0.
Observação:
Na determinação da equação deste plano foi utilizado o ponto A. A equação seria a
mesma se usasse o ponto B ou o ponto C.
05.
O ponto P(m,1,n), pertence à reta que passa por A(3, – 1,4) e B(4, – 3, – 1).
Determine P.
Solução:
•
•
•
•
uuur
uuur
Tomando o vetor AB , temos AB = B – A = (1, – 2, – 5);
uuur
uuur
Com o vetor AB escrevemos uma reta t. AB = t.(1, – 2, – 5), onde t varia em R ;
uuur
Como P(m, 1, n) pertence à reta, então o vetor AP = P – A = (m – 3, 1 + 1, n – 4);
uuur uuur
uuur
uuur
Como AP // AB , então AP = t. AB , então teremos :
m − 3 = 1.t 


1 + 1 = −2.t  – 2.t = 2 → t = – 1
n − 4 = −5.t 


m – 3 = 1.(– 1) → m = 2
n – 4 = – 5.(– 1) → n = 9. Logo P(2, 1, 9)
06.
Determine o valor de m para que seja 30o o ângulo entre os planos:
Π 1 : x + my + 2z – 7 = 0 e Π 2 : 4x + 5y + 3z + 2 = 0.
Solução:
ur
uur
Sendo v1 = (1, m, 2) e v2 = (4, 5, 3) os vetores normais aos planos Π 1 e Π 2 ,
ur uur
| v1 , v2 |
π
respectivamente, e seja cos θ = uur uur , com 0 ≤ θ < (Definição 6.25, aula 6),
2
|v1||v2 |
então:
cos 30o =
| (1,m,2),(4,5,3)
|(1,m,2)||(4,5,3)|
3
|4+5m+6|
=
2
5+m 2 . 50
3
|10+5m|
=
2
250+50m 2
750 + 150m² = 20 + 10m
( 750 + 150m² ) 2 = (20 + 10m) 2
750 + 150m² = 400 + 400m + 100m²
50m² – 400m + 350 = 0 (÷10)
5m² – 40m + 35 = 0.
Usaremos Báskhara para encontrar o valor de m:
∆ = (40)² – 4.5.35 = 1600 – 700 = 900
∆ = 30
m’ = m’’ =
−b ± ∆
40 ± 30
=
2.a
2.5
m’ = 1 e m’’ = 7
07.
Sabendo
pontos
Solução:
que
o
ponto
e
pertence
, calcular
e
à
.
reta
que
passa
pelos
Sabendo que os pontos A, B e P pertencem à reta, podemos dessa formar
encontrar um vetor diretor dessa reta usando os pontos A e B.
Assim
.
Nosso objetivo é encontrar os valores do ponto P.
Lembrando das equações simétricas da reta (Aula 5 do livro texto (5.1)), temos
que:
, assim substituindo os valores na equação encontraremos
o desejado.
e pegando os pontos
e
e pegando os pontos
Daí temos os valores de
08.
, teremos:
e
e
, teremos:
.
Escrever uma equação do plano que contém o ponto (1,1,1) e é perpendicular
ao vetor (2,-1,8).
Solução:
Dada uma equação do plano qualquer
, como o ponto (1, 1, 1)
pertence ao plano e o vetor (2,-1,8) é perpendicular ao plano, daí podemos substituir os
valores na equação e encontrar o valor de
:
, prosseguindo vem que
.
plano é
09.
Determine
. Dessa forma a equação do
uma
equação
e
vetorial
da
reta
verifique
r
definida
se
pelos
os
pontos
pontos
pertencem à r.
Solução:
Seja
pontos, temos:
e utilizando a definição de equação da reta definida por dois
Assim,
Para
Logo, C pertence à reta r.
Para
, vem
Logo, D não pertence à reta r.
10.
Determine o valor de n para que seja de
o ângulo entre as retas
.
Solução:
1º nós iremos encontrar os vetores
que são:
Assim, utilizando a definição 5.1, temos:
Assim, vem
elevando ambos os membros ao quadrado, vem
.
11.
Sejam
. Mostre que as retas
AB e CD são concorrentes e encontre uma equação para o plano que as
contém.
Solução:
Reta AB
Sejam
,
e tomando o ponto
Reta CD
Sejam
C
,
e tomando o ponto
Igualando as retas r e s para encontrar os valores de t e h, vem
De (II), temos
Assim, substituindo (III) em (I), vem
Portanto, o ponto de interseção é
e
.
Logo,
.
Então,
Isto é,
12.
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A = (1,1,2) e B = (2,1,0).
Solução:
Inicialmente, escolhemos um dos pontos. Escolhendo o ponto A = (1,-1,2) e
formando o vetor AB = B – A = (1,2,-2) = u .
As equações paramétricas são:
(x, y, z) = (1, – 1, 2) + t.(1, 2, – 2)
(x, y, z) = (1, – 1, 2) + (t, 2t, – 2t)
(x, y, z) = (t +1, 2t – 1, – 2t + 2)
x=t+1
y = 2t – 1
z = – 2t + 2
13.
Determine o valor de m para que seja de 300 o ângulo entre os planos
π1: x + my + 2z – 7 = 0 e π 2 : 4x + 5y + 3z + 2 = 0.
Solução:
Sendo os vetores n1 = (1, m, 2) e n2 = (4, 5, 3) ortogonais, então θ é o ângulo
formado por estes vetores.
 nn
θ = arc cos  1 2
 n n
 1 2





4 + 5m + 6
θ = arc cos 
 2
2
2
2
2
2
 1 +m +2 . 4 +5 +3




 5m + 10 

θ = arc cos 


2
 m + 5. 50 
 5m + 10 

300 = arc cos 


2
 50m + 25 0 
 5m + 10 

 = 3


2
2
 50m + 25 0 
20 + 10m =
150m 2 + 750
400 + 400m + 100m2 = 150m2 + 750
50m2 – 400m + 350 = 0
m2 – 8m + 7 = 0
m = 7 ou m =1
14.
Ache as equações vetoriais e paramétricas da reta
condições dadas:
a) Passa pelos pontos
b) Passa pelo ponto
e
.
cujo vetor diretor seja
c) Que passa pela origem e é perpendicular à reta
e
que satisfaz as
que passa pelos pontos
Solução:
Por definição ( ver pág 76 do livro texto) a
e tem direção do vetor
reta
que passa pelo ponto
tem equação vetorial
descrita por
e equações paramétricas descritas por:
a) Equação vetorial:
O vetor diretor
Equações paramétricas:
b) Mamão com açúcar
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
é perpendicular à reta
c) Se reta
são ortogonais.
O vetor direcional da reta
ortogonal pode ser o vetor
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
então seus respectivos vetores direcionais
é
e
cujo um vetor