Unidade 3 – Estudo do plano
3. Estudo do plano
3.1 Equação geral do plano
Seja A(xo, yo, zo) um ponto pertencente a um plano  e ⃗ = (a, b, c) um vetor não nulo,
ortogonal ao plano.
⃗
P
A

Observe que se P(x, y, z)   então temos ⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.
Assim segue que: (a,b,c).(x – xo, y – yo, z – zo) = 0, ou seja,
a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0
Equação geral do plano
Observações:
1. O vetor ⃗ = (a, b, c) é chamado vetor normal ao plano.
2. O vetor normal ao plano não é único.
3. Note que para escrevermos a equação geral de um plano basta conhecermos um ponto fixo e
seu vetor normal.
Exercícios
1. Escreva a equação geral do plano  que passa pelo ponto A(2, - 1, 3) e possui o vetor ⃗ = (3, 2, -4)
como vetor normal.
2. Verifique se os pontos P(4, -4, 3) e Q(1, 0, 2) pertencem ao plano de equação 3x + 2y – 4z + 8 = 0.
3. Escreva a equação geral do plano  que passa pelo ponto A(3, 1, -4) e é paralelo ao plano 1 de
equação 2x – 3y + z – 6 = 0.
1
Unidade 3 – Estudo do plano
4. Determinar a equação geral do plano  que passa pelo ponto A(2, 1, -2) e é perpendicular à reta r de
 x  4  3t

equações  y  1  2t , t  R.
 zt

5. Determine os pontos de intersecção do plano : 3x + 2y + z – 6 = 0 com os eixos coordenados.
6. Escreva a equação geral do plano  que passa pelo ponto A(0, 0, 3) e possui o vetor ⃗ como vetor
normal.
3.2 Determinação de um plano
Vimos que um plano fica bem determinado quando conhecemos um de seus pontos e seu vetor
normal. Veremos agora, outras formas para se determinar um plano .
a) Um ponto e dois vetores não paralelos (não colineares)
⃗
.A
Nesse caso ⃗ = ⃗
⃗
.
b) Três pontos distintos e não colineares (não alinhados)
⃗
A
B
C
Nesse caso ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
2
Unidade 3 – Estudo do plano
c) Duas retas concorrentes
⃗
r
s
Nesse caso ⃗ = ⃗
, onde ⃗ e
são os vetores diretores das retas r e s, respectivamente.
d) Duas retas paralelas e distintas
⃗
r
A
⃗
B
s
Nesse caso ⃗ = ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ,
e) Uma reta r e um ponto B  r
⃗
A
⃗
r
B
Nesse caso, basta considerar ⃗ = ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
Exercício
 x   1  2t
 y  2x  1

Determinar a equação geral do plano que contém as retas r : 
e s :  y  4t , t  R.
 z  3 x  2
 z  3  6t

3