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Questão 23
x
Um círculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = – , conforme mostra a figura abaixo.
2
y
C
x
x
a) Determine as coordenadas do ponto de tangência entre o círculo e a reta y = – .
2
b) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do círculo.
Resolução
Sendo r a reta de equação y = 2x;
x
s a reta de equação y= –
2
e A e B pontos de tangência,
do enunciado temos a figura:
y
r
C
2
s
A
2
2
B
_
45º
2
45º
O
x
( )
a
a) Como B pertence à reta s e está no 2o quadrante, ele é da forma a; – , com a ⬍ 0. Assim:
2
BO = 2
∴
公
∴
a2 +
∴
∴
Daí, –
a 2公5
.
=
2
5
(
Resposta: –
( )
a
(a – 0)2 + – – 0
2
a2
=4
2
16
a2 =
5
4公5
a=–
5
4公5 2公5
,
5
5
2
)
=2
←⎯→
b) Como AOBC é quadrado, OC é reta suporte da bissetriz do ângulo AÔB. Assim, todo ponto P(x, y) da reta
←⎯→
OC equidista das retas (r) 2x – y = 0 e (s) x + 2y = 0. Temos, portanto:
|2x – y|
|x + 2y|
dP, r = dP, s ∴
=
2
2
公2 + (–1) 公12 + 22
∴ |2x – y| = |x + 2y|
Há dois casos a considerar:
x
(1) 2x – y = x + 2y ∴ y =
3
(2) 2x – y = –x – 2y ∴ y = –3x
1
Como tgα = , 0º ⬍ α ⬍ 45º e 45º ⬍ α + 45º ⬍ 90º.
2
←⎯→
Daí, o coeficiente angular da reta OC é negativo, e sua equação reduzida é y = –3x.
Resposta: y = –3x