GEOMETRIA ANALITICA PLANA
AULA 04: DISTÂNCIAS, CIRCUNFERÊNCIA E PARÁBOLA
TÓPICO 01: DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA
Considere o ponto
e a reta cuja equação é
Como calcular a distância do ponto à reta ? Vejamos.
Denotaremos por
pertencente a , digamos,
.
esta distância. Seja
um ponto qualquer
, e, seja
, um vetor normal da reta.
Usaremos o seguinte raciocínio: a projeção do vetor
sobre o vetor
normal
, transladado para o ponto
, nos fornecerá a distância
procurada.Concorda ? Mais precisamente, o módulo dessa projeção é
.
Observe a figura a seguir.
Temos:
proj
,
e
. Assim
. Substituindo
nesta fórmula, obtemos:
Portanto, a distância do ponto
à reta
vale
Generalizando a situação colocada acima para um ponto
uma reta cuja equação é
raciocínio, teremos:
e
.
,
, e, seguindo o mesmo
Esta fórmula expressa a distância de P a r em função do ponto P, de
um ponto Q qualquer pertencente à reta r e de um vetor normal N de r.
Já esta outra expressa a distância de P a r em função das coordenadas
do ponto P e dos coeficientes da equação normal de r. Esta é a fórmula mais
empregada para se calcular a distância de um ponto a uma reta.
Vamos
prosseguir
Sendo
um
pouco
mais.
e
,
, decorre que
Desde
segue-se
que
que
EXERCITANDOS
“...Que a busca de um sonho não seja apenas uma utopia momentânea e sim uma
perseverança duradoura.”
Prof. Ms. Ailton Feitosa
Exercitando 50
Calcular a distância do ponto P à reta dada:
a) P = (– 3, – 1), 3x – 4y + 8 = 0;
b) P = (3, 2), 5x – 5y + 2 = 0;
c) P = (1, – 2), x/12 + y/5 = 1.
Exercitando 51
Calcule a distância entre as duas retas paralelas: 3x + 4y – 15 = 0 e
3x + 4y – 5 = 0.
Exercitando 52
Há dois pontos na reta y = 2 que distam 4 unidades da reta 12y = 5x
+ 2. Encontre a soma das abscissas desses pontos.
DICA
Se você esquecer as fórmulas dadas anteriormente, você pode
proceder da seguinte maneira para calcular a distância entre um ponto e
uma reta : determine a equação da reta perpendicular à reta passando
pelo ponto , em seguida, encontre o ponto de interseção dessa reta com a
reta e calcule a distância deste ponto ao ponto
. Esta é a distância
requerida.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Profº. José Ailton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual