1a Lista de Exercı́cios - Nivelamento/aula1 - MEP
Prof. Luiz Leduino de Salles Neto
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agosto de 2013
1) Considere
 as matrizes:

3 0
A =  −1 2 
1 1
4 −1
B=
0
2
1 4 2
C=
3 1 5


1 5 2
D =  −1 0 1 
3 2 4


6 1 3
E =  −1 1 2 
4 1 3
Calcule (quando possı́vel):
a) D+E
b) D-E
c) 5A
d) 4E-2D
e) -3(D+3E)
f) tr(D-3E)
g) tr(A)
h) 2At + C
i) (D − E)t
j) (2E − 3Dt )t
1
l) A(BC)
m) tr(DDt )
n) (4B)C+2B
o) (−AC)t + 5Dt
p) tr(4E t − D)
q) B t (CC t − At A)
2) Em cada item encontre uma matriz [aij ] de tamanho 6 × 6 que satisfaz a condição dada.
a) aij = 0 se i 6= j;
b) aij = ij−1
1
se |i − j| < 2,
c) aij =
−1 se |i − j| ≥ 1.
3) Para que valores de λ o sistema de equações abaixo tem soluções não triviais:
(λ − 3)x + y = 0
x + (λ − 3)y = 0
4)Resolva o seguinte sistema linear homogêneo pelo mtodo de Eliminao de Gauss: [1,5]
2x − y − 3z = 0
−x + 2y − 3z = 0
x + y + 4z = 0
5) Seja A uma matriz n × n tal que A4 = 0. Mostre que (I − A)−1 = I + A + A2 + A3 .
6) O sistema abaixo não tem solução para quais valores de a? Exatamente uma solução? Infinitas
soluções?
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
7) Encontre todos os valores de a, b e c para os quais A é simétrica:
2


2 a − 2b + c 2a + b + c

5
a+c
A= 3
0
−2
7
8) A marca de cerveja Lua deve comear a circular na prxima semana no Brasil, distribuda pela
empresa Vnus. Suponha que todo ms 10% do total de consumidores de uma das cervejas da
AMPLA passaro a beber Lua; que 20% dos que bebem Atchin passaro a beber Lua; que 30%
dos que bebem Diamante passaro a beber Lua, e que o restante continua bebendo a mesma
cerveja. Relacione, atravs de multiplicao matricial, o vetor do nmero de consumidores de cada
uma das empresas no ms i com o vetor do nmero de consumidores de cada uma das empresas
no ms i + 1. Considere as empresas Vnus, AMPLA, Atchin e Diamante.
9) D exemplos de matrizes A para as quais o nmero de solues do sistema Ax = b :
a) Infinito para qualquer b.
b) Um para todo b.
[Questes de 10 a 11] Seja M2 o espao vetorial das matrizes 2 × 2 com as operaes usuais de adio
e multiplicao por escalar. Determine se as afirmaes abaixo so Verdadeiras (V) ou Falsas (F).
Justifique sua resposta.
10) O conjunto de todas as matrizes 2 × 2 simtricas subespao vetorial de M2.
11) O conjunto de todas as matrizes 2 × 2 anti-simtricas subespao vetorial de M2.
12) O conjunto dos vetores de R5 cujas trs primeiras coordenadas so iguais formam um subespao
vetorial de R5 ?
13) Quais dos seguintes so combinaes lineares de u = (0, −2, 2) e v = (1, 3, −1):
a) v = (2, 2, 2);
b) v = (3, 1, 5);
c) v = (0, 0, 0).
14) Determine se os vetores geram R3 :
a) v1 = (2, −1, 3), v2 = (4, 1, 2) e v3 = (8, −1, 8);
b) v1 = (3, 1, 4), v2 = (2, −3, 5), v3 = (5, −2, 9) e v4 = (1, 4, −1).
15) Sejam f = cos2 (x) e g = sen2 (x). Quais dos seguintes esto no espao gerado por f e g?
3
a) cos(2x);
b) 3 + x2 ;
c) 1;
d) sen(x);
e) 0.
16) Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R3 so linearmente dependentes:
a) (4, −1, 2), (−4, 10, 2);
b) (−3, 0, 4), (5, 1, 2), (1, 1, 3);
c) (8, −1, 3), (4, 0, 1).
17) Quais dos seguintes conjuntos de vetores em P2 so linearmente dependentes:
a) 2 − x + 4x2 , 3 + 6x + 2x2 , 2 + 10x − 4x2 ;
b) 6 − x2 , 1 + x + 4x2 .
4