Introdução à Álgebra Linear
1o Lista de Exercı́cios
1) Encontre a solução geral dos sistemas com 5 incógnitas dados abaixo:

+x3 −x4
=0

 x2
a) −x2 −4x3 +2x4 +x5 = 0


3x2 +6x3 −4x4 −2x5 = 0


x2 +2x3 +3x4 +x5 = 8
b) x2 +3x3
+x5 = 7


x2
+2x4 +x5 = 3
2) Considere o sistema abaixo:

+z
=1

 x +2y
x +3y
+z
=1


2
3x +7y +(a − 1)z = a + 1
i) Para quais valores de a, o sistema possui solução única?
ii) Para quais valores de a, o sistema possui infinitas soluções?
iii) Para quais valores de a, o sistema não possui solução?
3) Considere o sistema:


x +2y +z = 1
x +5y +3z = 3


x +3y +az = a
i) Para quais valores de a, o sistema possui solução única?
ii) Para quais valores de a, o sistema possui infinitas soluções?
iii) Para quais valores de a, o sistema não possui solução?
1
4) a) Determine o valor de a, para que o sistema:


4x +y −2z = 0
2x +ay −2z = 0


2x −4y +2z = 0
tenha infinitas soluções.
b) Para esse valor de a, obtenha todas as soluções.
5) Encontre os coeficientes a, b, c e d da função polinomial
p(x) = ax3 + bx2 + cx + d
cujo gráfico passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P4 = (3, −11) e P5 =
(4, −14).
6) Seja A a matriz


1 1 0 0


2 0 0 0


1 0 1 2


0 0 2 0
a) Calcule o determinante de A
b) O sistema AX = 0̄ possui solução única?
7) a) Verifique que a matriz A abaixo é invertı́vel. Em caso de resposta afirmativa, calcule A−1 .

1

−1
1
 
1
 
b) Resolva o sistema AX =  2 
−1
8) Verifique se a matriz A abaixo

1

1
A=
2

1
−1
2
1
1


−2
0

0

1 0 2

1 −1 4

0 −1 1
0
2
0
possui inversa, e caso exista, encontre-a.
9) Verifique que a matriz


−1 −4 2 −2


1

2
1
3

A=
1
0 4 4


0 −2 3 1
não é invertı́vel e escreva a solução do sistema homogêneo associado a A.
10) a) Calcule o determinante da matriz A

2

1

A=
0

0
2 0 1 1


1 1 1 1

0 2 1 1


0 0 1 0
0 0 0 4 1
b) O sistema AX = 0̄ possui solução única? Justifique.
11) a) Calcule o determinante da matriz

1 2 0

2 1 0
A=
0 0 3

0 0 1

0

0

2

1
b) Considere o produto matricial abaixo



∗ ∗ ∗ 1 0 −2



∗ ∗ ∗ 2 0 −1
∗ ∗ ∗ 1 0 2
Existe alguma linha ou coluna nula no produto dessas matrizes?
12) Mostre que para qualquer valor de a ∈ R, a seguinte matriz é invertı́vel

0
1

A =  −3
0


−1 
3a − 4 0 a + 1
5
3
13) Sejam Li , i = 1, 2, 3, 4 as linhas da matriz A. Suponha que a matriz


2 10 9 11


0 −1 2 3 

B=
0 0 1 15


0 0 0 2
tenha sido obtida de A, aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares:
a) Troca da linha L2 com a linha L3
b) Substituição da linha L3 por L3 + 7L1
1
c) Substituição da linha L4 por L4 .
3
Dessa forma, calcule det(A).
14) Seja

1

1
A=
1

4

0 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 4
Ache A−1 e det A.
15) Seja A uma matriz 6 × 6 tal que AAT =
√
2In . Ache os valores de a para os
4
quais det(aA ) = 2.
16) Seja A =
√
2B 2 C −1 , onde:

1 10 4

0 2 0
B=
2 5 0

3 −3 6


0
0

0

1

4

−1 1
C=
3 7

0
2
e
5
0


0

2 0

0 11 −1
4
Calcule o determinante da transposta de A.
17) Para uma matriz quadrada A, sabe-se que det(A) = 2 e que a inversa é tal
que:

1
2

A−1 =  0
−1
−10
4
2
2


a
−1
Calcule o valor desta constante a ∈ R.
18) Nos itens abaixo, responda VERDADEIRO ou FALSO, justificando sua
resposta:
i) (AT B −1 C)T = A(B T )−1 C T
ii) Se P e P AP −1 são matrizes invertı́veis, então A também é.
iii) Se duas matrizes comutam, então suas inversas também comutam.
iv) Se B = AAT A−1 , então det(A) = det(B).
v) det(A + B) = det(A) + det(B)
vi) det[(A + B)2 ] = [det(A + B)]2 , para quaisquer matrizes A e B, n × n.
vii) Um sistema homogêneo com 3 equações e 5 incógnitas possui um número
infinito de soluções.
viii) Se AB é invertı́vel, então A e B são invertı́veis.
ix) Se B = AT A, então B é simétrica, ou seja, B = B T .
x) Se A é invertı́vel e AB = AC, então B = C.
xi) Se det(A2 ) = 1, então det(A) = 1.
xii) Se X1 e X2 são soluções do sistema AX = B, então
solução.
5
1
2
X1 + X2 é outra
3
3