CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV
FGV – ADM – 11/dezembro/2011
MATEMÁTICA APLICADA
01. A Espaço Inteligente Empreendimentos Imobiliários fez o lançamento de um edifício, com conjuntos comerciais a R$ 1.800,00
o metro quadrado.
Um grupo de médicos comprou um conjunto comercial. Sua representação plana é dada abaixo.
^ ^ ^
^
a) As medidas, em graus, dos ângulos da representação plana: A
, B, C e D
são diretamente proporcionais aos números 10,
20, 15 e 15, respectivamente. Podemos afirmar que a representação plana dada é um trapézio retângulo?
b) Os médicos pagaram R$ 777.600,00 pelo conjunto comercial. Em que escala foi feita a representação plana? Uma escala,
por exemplo 1:1.000, expressa que 1 centímetro na representação plana corresponde a 1.000 centímetros na realidade.
Resolução:
^
^
^
^
a) Sejam (10k; 20k; 15k; 15k), k Î *+ as medidas dos ângulos A, B, C e D , respectivamente.
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, tem-se: 10k + 20k + 15k + 15k = 360° Û k = 6°
Assim: A = 60°, B = 120°, C = 90° e D = 90°: com isso, pode-se formar a seguinte figura:
^
^
^
^
C 4 cm B
30º
16 cm
D
16 cm
60º
E
4 cm
A
16 cm
16
= 1 (absurdo!)
16
Da figura, no triângulo retângulo ABE, tem-se: tg 60º =
Portanto, nas condições propostas, não existe tal representação plana para o loteamento.
b)
Não tem solução: vide item anterior.
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o
Cursinho
02. Uma pesquisa mostra como a transformação demográfica do
país, com o aumento da expectativa de vida, vai aumentar o
gasto público na área social em centenas de bilhões de reais.
Considere que os gráficos dos aumentos com aposentadoria
e pensões, educação e saúde sejam, aproximadamente, linhas
retas de 2010 a 2050.
a) Faça uma estimativa de qual será o gasto com
aposentadorias e pensões em 2050.
b) Calcule o gasto público com educação em 2050.
c) Considerando que os gráficos dos aumentos com
aposentadoria e pensões, educação e saúde continuem
crescendo mediante linhas retas, existirá algum
momento, depois de 2010, em que os gráficos se
interceptarão?
Resolução:
Obtendo as funções das retas:
Aposentadorias e Pensões A (x) = 0,17x + 2,2
Educação
E (x) = 0,1 x + 2
Saúde
S (x) = 0,09x + 1,8
a) Em 2050, temos x = 40
A (40) = 0,17 . (40) + 2,2 = 9, portanto 900 bilhões
Em 2050, o gasto com aposentadorias e pensões será de
900 bilhões de reais.
b) E (40) = 0,1 . (40) + 2 = 6, portanto 600 bilhões
Em 2050, o gasto público com educação será de
600 bilhões de reais.
c)
Como m A > mE > mS e nA > nE > nS, podemos concluir
que os gráficos não se interceptarão depois de 2010.
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que
Mais A prova
na
GV
03. Um médico atende diariamente, de segunda-feira a sextafeira, os postos de saúde de quatro pequenos povoados
próximos: A, B, C e D, indo de A a D e de volta a A. Em
determinado dia, ele decide sortear o percurso que vai seguir.
Qual é a probabilidade de ele ir e voltar pelo mesmo caminho
assinalado na figura?
Resolução:
Número de caminhos existentes:
há 4 caminhos distintos de A até B;
há 2 caminhos distintos de B para C;
há 5 caminhos distintos de C até D;
há 5 caminhos distintos de D para C;
há 2 caminhos distintos de C até B; e
há 4 caminhos distintos de B para A,
num total de 4 . 2 . 5 . 5 . 2 . 4 = 1600 possibilidades.
A probabilidade pedida é P =
A probabilidade de o médico ir e voltar pelo caminho assinalado
é de 0,0625%.
1
= 0,0625%
1600
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o
C ursinho
que
04.Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do
litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente estão
disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo.
a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no
hotel?
b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos,
como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar
no único restaurante da cidade. Quantos caminhos
diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao
restaurante? Elas caminham somente para o norte ou
para o leste. A figura indica um possível caminho.
Mais Aprova
na
GV
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 2
1 − i 1 


−i
1
05. É dada a matriz A = (aij)3x3 tal que A = 1 + i


i
0 
sendo i a unidade imaginária: i2 = –1.  1
a) Escreva a matriz B = (bij)3x3, substituindo os elementos
da matriz A pelos seus números complexos conjugados,
ou seja, bij é o complexo conjugado do elemento aij.
b) Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos
dos elementos b23 e b32 e o afixo do determinante da
matriz B.
Resolução:
a) A matriz B = (bij)3x3, em que cada bij é obtido pelo conjugado
de cada aij, é dada por:
 2
1 + i 1


1
i 
B = 1 − i


 1
−i 0
Resolução:
8

a)Há   = 56 maneiras de escolher 3 das 8 garotas para ocupar
3
um quarto triplo.
5
Há   = 10 maneiras de escolher outras 3 garotas
3
dentre as 8 – 3 = 5 garotas restantes para ocupar o outro
quarto triplo.
Como as 8 – 3 – 3 = 2 garotas que sobraram se alojarão
obrigatoriamente no quarto duplo, o número pedido é
56 . 10 = 560.
Elas podem alojar-se no hotel de 560 modos diferentes.
b) O caminho descrito no exemplo pode ser considerado
uma sequência de L´s (lestes) e N´s (nortes) dada por:
N L L N L L L N N L.
2 1+ i 1
2
2
2
b) det B = 1 − i
1
i = i + i – i + i – 1 + 2i =
1
−i 0
= 4i2 – 1 = – 4 – 1 = –5 = (–5,0)
Assim, o triângulo tem vértices:
b23 = (0,1); b32 = (0,–1) e det B = (–5,0)
O total de caminhos do hotel ao restaurante é o número
de permutações de uma sequência de 6 L´s e 4 N´s.
Logo, o número de caminhos é P10 =
6,4
10 !
= 210.
6!4!
Portanto, a área é dada por 1 .
2
A área do triângulo é 5.
0
1 1
1
0 −1 1 = . −10 = 5
2
−5 0 1
Elas podem escolher 210 caminhos diferentes para
ir do hotel ao restaurante.
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o
Cursinho
que
06. A figura mostra o gráfico da função
f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 81.
a) Resolva a equação 2x3 – 3x2 – 36x + 81 = 0.
b) Para que valores de x tem-se f (x) ≤ 0?
Resolução:
a) Do gráfico, temos que a função possui x = 3 como raiz dupla.
Assim:
2
–3
–36
81
3
2
3 –27 0
3
2
9
Obtendo a última raiz:
2x + 9 = 0 Þ x = - 2  9 
A solução da equação é dada pelo conjunto S = - 2 ; 3


9
b) Analisando o gráfico, temos que f(x) ≤ 0 para:
9
x ≤ - 2 ou x = 3.
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GV
a) Quantos exemplares a editora deverá distribuir para
análise, para vender cerca de 9.000 exemplares no
primeiro ano?
b) O diretor afirmou que, no primeiro ano, não
conseguirão vender mais de 15.000 exemplares,
qualquer que seja a quantidade de exemplares
entregues aos professores para análise. É correta a
sua afirmação? Justifique.
Resolução:
a) Fazendo f(x) = 9000, vem:
1000 . (15 – 24 . e–0,003 . x) = 9000 Þ e–0,003 . x = 1
4
Aplicando "logaritmo na base e" em ambos os lados, temos:
1
ln e–0,003 . x = ln 4 Þ – 0,003 . x . ln e = ln 1 – ln 22 Þ
0
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na
07. O diretor de uma editora estima que, se x exemplares de
um novo livro de Cálculo para o Ensino Superior forem
entregues aos professores para análise, as vendas do livro
no primeiro ano serão de aproximadamente
f(x) = 1000(15 – 24e –0,003x ) exemplares. Use a
aproximação ln 2 = 0,69 para responder às questões.
Mais A prova
– 0,003 . x = 0 – 2 . ln 2 Þ – 0,003 . x = –1,38
Portanto, x = 460
A editora deverá distribuir 460 exemplares.
b) A questão solicita os conceitos de "limite no infinito" e de
convergência assintótica. Para x muito "grande e positivo",
a expressão e–0,003 . x tende ao valor 0.
Ou seja, à medida que aumenta a quantidade de livros
distribuídos, as vendas convergem para o patamar de 15.000
unidades. Sem, entretanto, jamais chegar a essa cifra.
Portanto, a afirmativa do diretor é correta.
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o
C ursinho
que
08. a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal
aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes
dados: 352 =1225; 362 = 1296 ; 372 = 1369.
Mais Aprova
na
GV
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09. Um poço de petróleo que produz 100 barris de petróleo bruto
por mês se esgotará em 1 ano. Em cada mês, o preço se
mantém constante e é dado por f ( x ) = 69,8 + 0,2x dólares
por barril, em que x = 1representa o 1o mês, x = 2 o 2o mês,
e assim por diante. Qual será a receita total proporcionada
pelo poço, até se esgotar?
Resolução:
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em
cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes
medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. Ele conseguirá
fazer o cartaz? Por quê?
Resolução:
a) Aplicando a lei dos cossenos, temos:
x2 = 62 + 82 – 2 . 6 . 8 . cos 60°
1
x2 = 36 + 64 – 2/ . 6 . 8 .
2
x2 = 36 + 64 – 48 = 52
x2 = 52
portanto
Pelo enunciado, temos que a receita mensal será R(x) = 100 . f (x)
R(x) = 6980 + 20x

R(1) = 7000 

R(2) = 7020 

.R(3) = 7040  a sequência forma uma P.A.

.
.

R(12) = 7220 

Logo, a receita total será a soma da P.A.:
RT =
(7000 + 7220) . 12
2
= 85.320
A receita total proporcionada pelo poço será de 85.320 dólares.
x = 2 13 cm
Observando os dados, temos 3,62 = 12,96 @ 13.
Portanto, x @ 2 . 3,6 Þ x @ 7,2 cm
O perímetro do triângulo é aproximadamente
6 + 8 + 7,2 = 21,2 cm.
b) Sabemos que existe triângulo somente se o maior de seus
lados for menor que a soma dos outros dois.
Portanto, como 16 > 6 + 8, não existe triângulo.
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6
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CPV
o
Cursinho
10. Resolva este antigo problema chinês:
Mais A prova
na
GV
COMENTÁRIO DO CPV
Qual é a profundidade de uma lagoa com a forma de um
círculo, de área 49,6 pés quadrados, se um caniço que
cresce no centro e se estende 1 pé para fora da água atinge
exatamente a superfície, se puxado pela ponta para a margem
da lagoa, sem arrancá-lo?
Use a aproximação π = 3,1.
A equipe de Matemática do CPV Vestibulares elogia a proposta
equilibrada e abrangente das duas provas que compuseram o
exame da disciplina, na edição de Dezembro de 2011.
As questões apresentadas seguiram a tendência consolidada nos
semestres recentes e confirmaram nossas previsões ao longo do
curso: ênfase em Geometria Analítica, Funções, Porcentagem
e Matemática Financeira Elementar, mais aplicações de Teoria
das Probabilidades, Análise Combinatória, Logaritmos e
Exponenciais e Geometria Plana, além de algumas questões mais
abstratas sobre Polinômios e Números Complexos.
Avaliando a evolução das provas de Matemática da FGV-ADM
em perspectiva histórica, acreditamos que a proposta atual da
Banca é muito mais adequada que alguns anos atrás, no sentido
de privilegiar situações de dificuldade moderada, permitindo
maior discriminação dos desempenhos dos candidatos, sem
abrir mão completamente de algumas questões mais exigentes
e/ou específicas (caso das questões 2, 5, 7, 10, 11 e 15 da prova
objetiva e das questões 5 e 7 da prova discursiva).
Resolução:
R
1 pé
B
A
h
C
que
A área do círculo é 49,6 = pR2 Þ 49,6 = 3,1 R2 Þ R = 4 pés
4
A
B
h
h+1
C
No DABC, temos: (h + 1)2 = h2 + 42 Þ h =
A profundidade da lagoa é de 7,5 pés.
CPV
FGV11DEZADM
15
= 7,5 pés
2
Notamos também a consolidação da prática de cobrar questões
contextualizadas, não raro vinculadas a situações recorrentes em
Administração, na tentativa de captar candidatos com habilidades
de modelagem essenciais a um aluno de graduação nessa área.
Destacamos ainda o cuidado com os enunciados, bem escritos e
claros, e com os dados fornecidos em cada questão. A exceção
repousa sobre a Questão 1, que, apesar de apresentar uma
questão com estrutura clássica e aparentemente solúvel por meios
algébricos, dependia de uma construção plana geometricamente
impossível. Cremos que a Banca optará pela anulação da questão,
fato que não comprometerá, certamente, a excelente qualidade
geral da prova.