CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV
FGV ADM – 14/dez/2014
MATEMÁTICA APLICADA
01. Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma
de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x + 4,
y = –x + 4 e y = –x, sendo que as unidades estão em
quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em
cada ponto (x, y) do parque é dada pela expressão
3 . (0,75x + y3) quilômetros.
4
a) Demonstre que o quadrilátero do parque é um
quadrado.
b) Qual é a altitude do centro do parque, ponto de
encontro das diagonais, em relação ao nível do mar?
Resolução:
a) Considere a repreasentação gráfica das retas
y = x (r)
y = x + 4 (s)
y = – x + 4 (t)
y = – x (u)
C (0,4)
M (0,2)
B (2,2)
2
a)Expresse V em termos de x e y.
b) Quais são o maior e o menor valor, em reais, do metro
quadrado no município?
-2
2
Observando que no quadrilátero da figura as diagonais são
perpendiculares e congruentes, portanto, o quadrilátero é
quadrado.
b) Considerando o ponto M (0, 2), temos:
3
. (0,75 . 0 + 8) =
4
CPV
FGVADMDEZ2014
(
x2 + y2
100
(
3
.8=2
4
3 cm
(
V . 10
x2 + y2
=–
45
100
–
V.2
=e
9
)
100
x2 + y2
100
Þ
x2 + y2
)
ln
)
9 –
V=
e
2
Þ
(
V.2
x2 + y2
=–
9
100
)
(x2 + y2)
100
(t)
(u)
(r)
a) Temos que 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 5
ln V = ln 45 – ln 10 –
Se necessário, use as aproximações: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1.
Observe que o número e é igual a 2,718... e que y = ln x se e
somente se ey = x, com x > 0.
ln
A (0,0)
(s)-4
)
x2 + y2
,
100
sendo V expresso em milhares de reais.
ln V – ln 45 + ln 10 = –
D (-2,2)
(
ln V = ln 45 – ln 10 –
Resolução:
r // s e t // u
r t e s u
4
02. Certo município pode ser representado em um mapa como
uma malha retangular, 0 £ x £ 5 e 0 £ y £ 5 com uma
cidade na origem. Uma construtora estimou que o valor do
metro quadrado no ponto (x, y) do mapa, x e y números
naturais, é dado pela relação:
b) x = 0 e y = 0 Þ
Vmáx =
Vmáx
9 0
e = 4500 reais por m2
2
x=5 e y=5 Þ
Vmin
9 –1/2
e
2
9
1
ln Vmin = ln
–
2
2
Vmin =
Þ
ln Vmin = 2,2 – 0,7 – 0,5
Vmin = e1 = 2,718 = 2718 reais por m2
1
2
FGV-ADM 14/12/2014
CPV
o
Cursinho
03. Atenda ao que se pede:
a) Determine o produto das raízes da equação cúbica
x3+ 64 = 0 que não são números reais.
b) Para resolver uma equação cúbica expressa na forma
x3 + 3ax = 2b, o matemático francês François Viète
a
(1540-1603) substituiu a variável x por x =
– y
y
e obteve a equação: y6 + 2by3 – a3 = 0. Obteve os
valores de y e depois, os de x. Use esse método para
determinar uma raiz da seguinte equação (considere x
e y números reais e positivos): x3 + 3x . 3 5 = 4.
Mais Aprova
que
na
GV
04. A figura mostra o gráfico da função
f (x) = 2x3 – x2 – 20x + 28.
a) Se julgar conveniente, utilize-o para resolver a
2x3 – x2 – 20x + 28
inequação:
> 0.
(x2 + x + 1)3
b) Resolva a inequação: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28.
Resolução:
a)x3 + 64 = 0
fatorando temos que (x + 4) (x2 – 4x + 16) = 0
portanto, a raiz real é – 4,
logo x2 – 4x + 16 = 0 contém as raízes imaginárias.
c
O produto das raízes imaginárias é dado por
= 16.
a
Resposta: o produto das raízes imaginárias é 16.
b) Segundo François Vièle a equação x3 + 3ax = 2b resolve
a
substituindo x =
– y,
y
obtendo a equação y6 + 2by3 – a3 = 0.
Assim, a equação x3 + 3x 3 5 = 4
pode ser resolvida fazendo a = 3 5 e b = 2,
resultando na equação
Resolução:
a) De acordo com o gráfico dado, 2 é uma raiz dupla de f(x), a
outra raiz pode ser obtida por Biot-Ruffini.
2x + 7 = 0 Þ x = –
Como x2 + x + 1 > 0 para todo x Î , devemos ter:
2x3 – x2 – 20x + 28 > 0 Û (x – 2)2 (2x + 7) > 0 isto é
f(x) > 0.
Pelo gráfico:
3
y6 – 4y3 – ( 3 5 ) = 0, isto é, y6 – 4y3 – 5 = 0.
Substituindo y3 = t temos t2 – 4t – 5 = 0
cujas raíses são: t = – 5 (não convém)
t = 1
Se t = 1 então y3 = 1 Þ y = 1 (real positivo)
Como x =
3
5
– 1 temos x = 3 5 – 1
1
7
2
–
]
[
7
S = – 2 , + ¥ – { 2 }.
b) Temos: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28 Û x (2x2 – x – 20) > 0.
1 ± 161
As raízes de 2x2 – x – 20 = 0 são x =
4
Estudo de sinal:
–
S =
FGVADMDEZ2014
–
+
1–
CPV
7
.
2
+
0
161
]
161
1+
4
4
1–
161
4
,0
[
È
]
1+
161
4
[
,+¥ .
CPV
o
Cursinho
que
05. Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro
regular. A área de uma face do dado é igual a 9 3 cm2.
a) Qual é a soma das medidas das arestas de um dado?
b) As faces do dado são numeradas de 1 a 4. Lançamos
dois desses dados. Qual é a probabilidade, expressa
em porcentagem, da soma dos números das faces
visíveis ser um múltiplo de 5?
Resolução:
a) Devemos ter:
a2
3
= 9 3 Þ a = 6 que é a medida
4
4.3
de uma aresta do tetraedo. O tetraedo possui
arestas,
2
então a soma de todas elas é igual a 6 . 6 = 36 cm.
b) O número de elementos do espaço amostral é
N (E) = 4 . 4 = 16.
Os resultados possíveis cuja soma dos números das faces é
múltiplo de 5 são:
dado 1
dado 2
soma
(1, 2, 3)
(2, 3, 4)
15
(2, 3, 4)
(1, 2, 3)
15
(1, 2, 4)
(1, 3, 4)
15
(1, 3, 4)
(1, 2, 4)
15
Portanto: P =
4
= 25%
16
06.Uma padaria entrega mensalmente certo tipo de pão,
cobrando R$ 1,50 pelo pacote simples, que contém 1
unidade, e R$ 2,50 pelo pacote duplo, que contém 2
unidades.
— Na primeira semana, ela entrega a um restaurante
100 pacotes simples e 40 pacotes duplos.
— Na segunda semana, 200 pacotes simples e 80 pacotes
duplos.
— Na terceira semana, 200 pacotes simples e 60 pacotes
duplos.
— Na quarta semana, 300 pacotes simples e 80 pacotes
duplos.
a) Escreva um produto de matrizes que expresse o
total de pães entregues pela padaria mensalmente
ao restaurante e o valor total, em reais, recebido
mensalmente pela padaria.
Mais A prova
na
GV
3
FGV-ADM 14/12/2014
b) Usando a matriz produto do item A, calcule o total de
pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor
total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.
Resolução:
a)Seja P a matriz produto pedida. Do enunciado, P é do tipo
(pij)2x4, sendo:
número de pãesp11 p12 p13 p14
valor total em reais
p21 p22 p23 p24
=P
Seja Q a matriz que indica a quantidade de pacotes de pães
vendidos no mês. Q é do tipo (qij)2x4, sendo:
1a semana
2a semana
3a semana
4a semana
pacote 100 200 200 300
simples = Q
pacote duplo
40
80
60
80
Seja R a matriz que indica a quantidade de pães por pacote e
o preço de cada pacote, tal que R seja do tipo (rij)2x2, com
1
2
R = , temos o produto de matrizes:
1,502,50
R . Q = P
1 2100200200300
.
1,50 2,50
40 80 60 80
número de pães
180
360
320
460
valor total em reais
250
500
450
650
=P
=P
b) Usando o resultado do item A, o total de pães entregues
mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido
mensalmente pela padaria pode ser obtido, respectivamente,
pela soma dos elementos da 1a e da 2a linhas da matriz
produto. Temos:
●
●
total de pães = 180 + 360 + 320 + 460 = 1320
valor total (em reais) = 250 + 500 + 450 + 650 = 1850
A matriz produto deve ter esta forma:
Número de pães ––––
Valor total em reais – – – –
As colunas representam a primeira, segunda, terceira e
quarta semanas, respectivamente.
FGVADMDEZ2014
CPV
4
FGV-ADM 14/12/2014
CPV
o
Cursinho
07. a) Braille é um sistema de leitura para cegos inventado
pelo francês Louis Braille no ano de 1827, em Paris. Os
caracteres são indicados por pontos de alto-relevo que
podem representar letras, pontuações, números, sinais
matemáticos, notas musicais. Cada célula Braille
possui 6 pontos, arrumados num padrão três linhas
por duas colunas. Observe como são representadas,
por exemplo, as letras A e B.
Mais Aprova
que
na
08. Atenda ao que se pede.
a) Considerando que uma geração corresponde a 25
anos, determine o número de ancestrais (pais, avós,
bisavós, etc.) que determinada pessoa pode ter em um
período de 300 anos.
b) A figura mostra os quatro primeiros termos da
sequência dos números piramidais de base quadrada.
Determine o quinto, o sexto e o sétimo termos da
sequência.
Considere que quando não há pontos de alto-relevo,
não há representação de nenhum caractere:
Resolução:
25 anos
a)
25 anos
Pai
Quantos caracteres podem ser representados no
sistema Braille?
b) Nove cobaias numeradas de 1 a 9 são distribuídas
igualmente em três grupos: um grupo de controle e dois
grupos experimentais. De quantos modos diferentes as
cobaias podem ser distribuídas nos grupos, se os três
grupos têm tratamentos diferenciados?
Resolução:
a) Considerando que pelo menos um ponto precisa de altorelevo, temos:
Resposta: Podem ser representados no sistema Braille
63 caracteres.
b) Escolhendo as pessoas dentro dos grupos, temos:
1o Grupo
C9,3
.
84
2o Grupo
3o Grupo
C6,3
.
C3,3
.
20
.
1
= 1680
Resposta: As cobaias podem ser distribuídas nos grupos
de 1680 modos diferentes.
CPV
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Mãe
Pai
...
Mãe
...
Pai
...
Mãe
...
Montando uma sequência de ancestrais, temos (2, 4, 8, ...)
P.G. de razão 2 e a1 = 2.
O total de ancestrais em 300 anos é dado por
S 300 = S12 =
1 ponto 2 pontos 3 pontos 4 pontos 5 pontos 6 pontos
C
+ C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 =
6,1
26 – 1 = 63
GV
25
a1 (qn – 1)
q–1
=
2 (212 – 1)
= 8190
2–1
b) 1o termo = 1
2o termo = 1 + 4 = 12 + 22 = 5
3o termo = 1 + 4 + 9 = 12 + 22 + 32 = 14
4o termo = 1 + 4 + 9 + 16 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30
Assim,
5o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
6o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91
7o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140
CPV
o
Cursinho
que
09. Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e
1+ 5
do menor lado é
é chamado retângulo de ouro.
2
Mais A prova
na
GV
10. Considere um triângulo ABC de área 12 cm2, cujos lados
medem AC = 8 cm e BC = 6 cm.
^
a) Calcule a medida do ângulo C. Faça um esboço de
todos os triângulos possíveis.
b) Calcule a soma dos quadrados das possíveis medidas
do lado AB.
Resolução:
5
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C
Do retângulo de ouro da figura, retiramos um quadrado de
lado 2a.
α
8
6
A
x
B
Resolução:
1
1
^
. AC . BC . sen C Þ 12 =
. 8 . 6 sen α
2
2
1
Þ sen α =
Þ α = 30º ou α = 150º
2
A partir do desenho, temos:
(1 +
Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de
ouro.
a)AABC =
Assim, os possíveis triângulos são:
C
5) a
30º
2a
2a
8
C
6
8
(
2a
5 – 1) a
A
Assim, a razão é dada por:
2a
=
2
=
1+ 5
2
(
Logo, o retângulo resultante é um retângulo de ouro.
5 – 1) a
5–1
x
figura 1
B
b) Na figura 1, temos:
Na figura 2, temos:
A
150º
6
x
figura 2
B
x21 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 30º
x22 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 150º
Assim, x21 + x22 = 64 + 36 – 96 cos 30º + 64 + 36 – 96 cos 150º
e como cos 150º = – cos 30º, temos:
x21 + x22 = 100 + 100 = 200
COMENTÁRIO
do
CPV
A prova de Matemática Aplicada da FGV de 2015 foi uma
prova abrangente no seu conteúdo, dentro da proposta de
selecionar os melhores alunos. Fica claro a preocupação da
banca em beneficiar o aluno conceitual e bem preparado.
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CPV