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MATEMÁTICA – XIX
FUNÇÕES
GEOMETRIA PLANA
1. (G1 - ifce 2011) – Seja A  1, 2, ..., n e f : A  A uma função dada por
k  1 se 1  k  n  1
.
f k   
k n
 1 se
Denotando por f m a composta f ... f (m vezes), f n1 é igual
a) a f.
b) à função identidade.
c) à inversa de f.
d) à função constante igual a 1.
e) a f n .
2. (Uerj 2011) – Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções
dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira
dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda dianteira.
O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso.
Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda
traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos
de rotação.
N
A razão 1 é igual a:
N2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
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3. (Uel 2011) – Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares,
conforme a figura a seguir:
Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas
raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir
da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m.
Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à
frente do atleta da raia mais interna?
Dado: π = 3, 14
a) 10,00 m
b) 25,12 m
c) 32,46 m
d) 50,24 m
e) 100,48 m
4. (Uesc 2011) – No processo inicial de criação de um logotipo para uma empresa, um
designer esboçou várias composições de formas geométricas, na tentativa de encontrar algo
simples e representativo. Em uma dessas composições, um círculo de raio r  6cm foi
sobreposto a um triângulo equilátero de lado L  18cm , de acordo com a figura.
Sabendo-se que as duas figuras têm centros no mesmo ponto, pode-se afirmar que o
perímetro do logotipo é, em cm, igual a
a) 6  6  π 
b) 6  9  π 
c) 6  6  π 
d) 9  3  2π 
e) 9  2  3π 
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Sem perda de generalidade, façamos A  {1, 2, 3}. Desse modo, f(1)  2, f(2)  3 e f(3)  1. Por
outro lado, f n1  f 2  f(f(k)). Daí, f(f(1))  3, f(f(2))  1 e f(f(3))  2. Portanto, f 2 é a inversa de
f.
Resposta da questão 2:
[A]
Sejam OP  R1 e OQ  R2 , respectivamente, os raios das trajetórias das rodas traseira e
dianteira.
Do triângulo OPQ obtemos
R
sen30  1  R2  2R1.
R2
Logo, as distâncias percorridas pelas rodas traseira e dianteira para executar uma volta
completa são dadas por
S1  2R1
e
S2  2R2  4R1.
Sejam r1 e r2 , respectivamente, os raios das rodas traseira e dianteira da bicicleta.
Do enunciado, sabemos que r2  2r1. Assim, os comprimentos das rodas são iguais a
C1  2r1 e C2  2r2  4r1.
Portanto, a razão pedida é:
S1
2R1
N1
C1
2r1


 1.
4R1
N2 S2
C2
4r1
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Resposta da questão 3:
[E]
Comprimento da pista maior = 2.3,14.36,70 + 2.84,76 = 450,24 m
450,24 – 400 = 50,24 m
Resposta da questão 4:
[C]
Considere a figura.
Como MBNO é losango, segue que o perímetro pedido é dado por

6  MB  3   OM  6  (6  ).
3
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