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1. (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x).
O número de elementos do conjunto solução da equação f(x) = 1, resolvida em ° é igual a
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
2. (Unicamp 2014) O módulo do número complexo z = i2014 − i1987 é igual a
a) 2.
b) 0.
c) 3.
d) 1.
3. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura
abaixo.
O valor de f(g(1)) − g(f(1)) é igual a
a) 0.
b) – 1.
c) 2.
d) 1.
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4. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor
mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x2 − 12x e o custo mensal da produção é
dado por C(x) = 5x 2 − 40x − 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a
a) 4 lotes.
b) 5 lotes.
c) 6 lotes.
d) 7 lotes.
e) 8 lotes.
5. (Espcex (Aman) 2015) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de
R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 − x)
unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600.
Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que
corresponde ao lucro máximo.
a) 150
b) 250
c) 350
d) 450
e) 550
6. (Udesc 2014) A soma das raízes distintas da equação x 2 − 5x + 6 = x − 3 é:
a) 10
b) 7
c) 0
d) 3
e) 4
7. (Upf 2014) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os
gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x 2 e g(x) = x.
Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 160, o número real c
é:
a) 2
b) 1,5
c) 2
d) 1
e) 0,5
8. (Ucs 2014) O salário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor
total, em reais, das vendas que ele efetuar durante o mês.
Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela
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expressão
a) 750 + 2,5x.
b) 750 + 0,25x.
c) 750,25x.
d) 750 ⋅ (0,25x ).
e) 750 + 0,025x.
9. (Pucpr 2015) Seja a uma função afim f(x), cuja forma é f(x) = ax + b, com a e b números
reais. Se f(−3) = 3 e f(3) = −1, os valores de a e b, são respectivamente:
a) 2 e 9
b) 1 e −4
1
3
c)
e
3
5
d) 2 e −7
2
e) − e 1
3
10. (Ufrgs 2013) Se
é o gráfico da função f definida por y = f ( x ), então, das alternativas abaixo, a que pode
representar o gráfico da função z, definida por z = f ( x ) , é
a)
b)
c)
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d)
e)
2
11. (Ita 2011) O produto das raízes reais da equação |x – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a
a) –5.
b) –1.
c) 1.
d) 2.
e) 5.
12. (Ufrgs 2015) Dadas as funções f e g, definidas respectivamente por f(x) = x 2 − 4x + 3 e
g(x) = −x2 − 4x − 3 e representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a
distância entre seus vértices é
a) 4.
b) 5.
c)
5.
d) 10.
e) 2 5.
13. (Udesc 2015) Se f(x) = x − 2 e g(x) = x + 1 são funções reais, então o conjunto solução da
f(x) ⋅ g(x) − 3g(x) + 6
≤ f −1(x) é:
(f og)(x)
3
⎧
⎫
a) S = ⎨ x ∈ ° | x ≤ ou x ≥ 1⎬
5
⎩
⎭
3
⎧
⎫
b) S = ⎨ x ∈ ° | x ≤ ou x > 1⎬
5
⎩
⎭
3
⎧
⎫
c) S = ⎨ x ∈ ° | ≤ x < 1⎬
5
⎩
⎭
3⎫
⎧
d) S = ⎨ x ∈ ° | x ≤ ⎬
5⎭
⎩
e) S = {x ∈ ° | x > 1}
inequação
14. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
x −1
é {x ∈ ° ; x ≥ 1}.
x+3
02) O único valor inteiro que pertence à solução da inequação x 2 − 4x + 3 < 0 é 2.
04) O conjunto solução da equação modular | 3 − 2x |=| x − 2 | é S = {1}.
01) O domínio da função f dada por f(x) =
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⎧− x, se x < 0
⎪⎪
08) A função R(x) = ⎨ x2 , se 0 ≤ x ≤ 1 é crescente em todo o seu domínio.
⎪1, se x > 1
⎪⎩
16) Se uma função f : ° → ° é simultaneamente par e ímpar, então f(1) = 0.
32) Os gráficos das funções f : ° → ° e g : ° → ° , dadas respectivamente por f(x) = x 2 e
g(x) = 2x , para todo x real, se intersectam em exatamente um único ponto.
64)
x2 = x para todo x real.
15. (Uepg 2014) Considerando as funções f(x) e g(x), tais que f(x) =
x+3
e
4
5x
, assinale o que for correto.
4x + 4
01) O domínio de g(x) é {x ∈ ° | x ≠ −1}.
3
02) g−1(0) = .
2
1
04) g(1) = − .
2
1
08) g(f(5)) = .
3
16) O domínio de f(x) é {x ∈ ° | x ≠ −3}.
f(g(x)) =
16. (Fgv 2012) O número de soluções inteiras da inequação
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) i nf i ni t o
17. (Mackenzie 2013) A função f(x) =
9 − x2
x2 + x − 2
a) S = {x ∈ ° / −3 < x ≤ −2 ou 1 ≤ x < 3}
2x + 6
≥ 0 é:
14 − 2x
tem como domínio o conjunto solução
b) S = {x ∈ ° / −3 ≤ x < −2 ou 1 < x ≤ 3}
c) S = {x ∈ ° / −3 ≤ x < −2 ou 1 ≤ x ≤ 3}
d) S = {x ∈ ° / −2 < x ≤ −1 ou 1 ≤ x ≤ 3}
e) S = {x ∈ ° / −2 ≤ x < −1 ou 1 < x ≤ 3}
18. (Mackenzie 2013) Sejam as funções f e g de ° em ° , definidas por f(x) = x2 − 4x + 10 e
g(x) = −5x + 20. O valor de
(f(4))2 − g(f(4))
é
f(0) − g(f(0))
13
4
13
b)
2
11
c)
4
a)
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11
2
e) 11
d)
19. (Ufrgs 2015) Considere os gráficos das funções f, g e h, definidas por f(x)=2,
g(x)=x2 − 5x + 6 e h(x) = x2 − 11x + 30, representadas no mesmo sistema de coordenadas
cartesianas.
O número de pontos distintos em que o gráfico de f intercepta os gráficos de g e h é
a)
b)
c)
d)
e)
1.
2.
3.
4.
5.
20. (Ufrgs 2013) Dada a função f, definida por f ( x ) = x2 + 9 − 6x, o número de valores de x
que satisfazem a igualdade f ( x ) = −f ( x ) é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
De acordo com o gráfico, temos 5 pontos de Intersecção entre as funções f(x) e y = 1.
Portanto, a equação dada possui 5 raízes.
Resposta da questão 2:
[A]
Como i4 = (i2 )2 = ( −1)2 = 1, vem
z = i2014 − i1987
= i4⋅503 + 2 − i4⋅496 +3
= (i4 )503 ⋅ i2 − (i4 )496 ⋅ i3
= −1 + i.
Portanto,
| z | = | −1 + i | = ( −1)2 + 12 = 2.
Resposta da questão 3:
[D]
Do gráfico, sabemos que g(1) = 0 e f(1) = −1. Logo, como f(0) = 1 e g(−1) = 0, obtemos
f(g(1)) − g(f(1)) = f(0) − g( −1)
= 1− 0
= 1.
Resposta da questão 4:
[D]
Seja L(x) o lucro obtido, então:
2
L(x) = V(x) – C(x) = – 2x + 28x + 40
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O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por:
xV = −
b
28
=−
=7
2⋅a
2 ⋅ ( −2)
Resposta da questão 5:
[A]
O lucro L(x) será dado por (600 − x) ⋅ (300 − x). As raízes da função são 300 e 600, o valor de x
para que o lucro seja máximo é a média aritmética das raízes, portanto
xv = (300 + 600) : 2 = 450. Logo, o número de peças para que o lucro seja máximo, é:
600 − 450 = 150.
Resposta da questão 6:
[E]
Fatorando, obtemos
x2 − 5x + 6 = | x − 3 | ⇔ (x− 2) ⋅ (x− 3) = | x − 3 | .
Se x ≥ 3, então | x − 3 | = x− 3. Assim,
(x− 2) ⋅ (x− 3) = x − 3 ⇔ (x − 3)2 = 0 ⇔ x = 3.
Se x < 3, então | x − 3 | = −(x− 3). Daí,
(x− 2) ⋅ (x− 3) = −(x − 3) ⇔ (x− 3) ⋅ (x − 1) ⇔ x = 1 ou x = 3.
Mas x = 3 não convém, pois x < 3.
Por conseguinte, a soma das raízes distintas da equação é 1 + 3 = 4.
Resposta da questão 7:
[C]
Temos f(c) = c 2 e f(3c) = 9c 2 , com c > 0. Logo, sendo g a função identidade, vem c 2 = g(c 2 )
e 9c 2 = g(9c 2 ).
Portanto, se a área do trapézio T vale 160, então
1
⋅ (9c 2 + c 2 ) ⋅ (9c 2 − c 2 ) = 160 ⇔ 40c 4 = 160
2
⇒ c = 2.
Resposta da questão 8:
[E]
Desde que 2,5% = 0,025, segue-se que o resultado é 750 + 0,025x.
Resposta da questão 9:
[E]
⎧f( −3) = 3
⎧−3 ⋅ a + b = 3
2
⇒⎨
⇒a=− eb = 1
⎨
3
⎩ f(3) = −1 ⎩ 3 ⋅ a + b = −1
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Resposta da questão 10:
[D]
Refletindo-se a porção do gráfico de f que está abaixo do eixo das abscissas, em relação a
esse mesmo eixo, obtemos o gráfico da função z.
Resposta da questão 11:
[A]
2
2
x – 3X + 2 = 2x – 3 ⇔ x – 5x + 5 = 0, temos o produto das raízes igual a 5.
2
2
x – 3x + 2 = -2x + 3 ⇔ x + x - 1 = 0, temos o produto das raízes igual a -1.
Logo, o produto total das raízes é -1.5 = -5
Resposta da questão 12:
[E]
Vértice da função f.
b
−4
xV = −
=−
=2
2a
2 ⋅1
Δ
4
yv = −
=−
= −1
4a
4 ⋅1
Vf = (2, −1)
Vértice da função g.
b
−4
xV = −
=−
= −2
2a
2 ⋅ ( −1)
Δ
4
=−
= +1
4a
4 ⋅ ( −1)
Vg = ( −2, +1)
yv = −
Portanto, a distância d entre os vértices será dada por:
d=
( −2 − 2)2 + (1− ( −1))
2
= 20 = 2 ⋅ 5
Resposta da questão 13:
[B]
Tem-se que f(g(x)) = x + 1 − 2 = x − 1 e f −1(x) = x + 2. Logo, segue que
(x − 2) ⋅ (x + 1) − 3 ⋅ (x + 1) + 6
x 2 − 4x + 1
≤ x+2⇔
− (x + 2) ≤ 0
x −1
x −1
3
x−
5 ≥0
⇔
x −1
3
⇔ x ≤ ou x > 1.
5
{
Portanto, temos S = x ∈ ° | x ≤
}
3
ou x > 1 .
5
Resposta da questão 14:
02 + 16 = 18.
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[01] Incorreto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o
seu domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que a proposição seja:
O maior subconjunto dos números reais para o qual a função f, dada por f(x) =
está definida é {x ∈ ° ; x ≥ 1}.
x −1
,
x+3
Desse modo,
x −1
≥ 0 ⇔ x < −3 ou x ≥ 1
x+3
e, portanto, o maior subconjunto dos números reais para o qual a função f está definida é
{x ∈ ° ; x < −3 ou x ≥ 1}.
[02] Correto. Tem-se
x2 − 4x + 3 < 0 ⇔ (x − 1) ⋅ (x − 3) < 0
⇔ 1 < x < 3.
Portanto, a única solução inteira da inequação x 2 − 4x + 3 < 0 é x = 2.
[04] Incorreto. Sabendo que | a | = | b | ⇒ a = ±b, vem
| 3 − 2x | = | x − 2 | ⇒ 3 − 2x = ±(x − 2)
5
⇒ x = 1 ou x = .
3
⎧ 5⎫
Por conseguinte, S = ⎨1, ⎬ .
⎩ 3⎭
[08] Incorreto. A função f é decrescente para x < 0.
[16] Correto. Se f é simultaneamente par e ímpar, então f(−x) = f(x) e f(−x) = −f(x), para
todo x real. Daí, segue-se que f(x) = f(− x) = 0 para todo x real.
[32] Incorreto. Como f(2) = g(2) = 4, segue-se que o ponto (2, 4) é comum aos gráficos de f
1⎡
⎤
e de g. Além disso, há pelo menos mais um ponto de interseção no intervalo ⎥ −1, − ⎢ .
2
⎦
⎣
Com efeito, note que f é decrescente e g é crescente para x ∈ ] − ∞, 0[. Logo, sendo
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
f(−1) > g(−1) e f ⎜ − ⎟ < g ⎜ − ⎟ , segue que os gráficos de f e de g apresentam pelo
2
⎝
⎠
⎝ 2⎠
1⎡
⎤
menos um ponto de interseção no intervalo ⎥ −1, − ⎢ (esboce os gráficos para concluir
2
⎦
⎣
que existe um único ponto nesse intervalo).
[64] Incorreto. Suponhamos por absurdo que
x 2 = x, para todo x real. Nesse caso,
teríamos x = x2 = (−x)2 = −x, o que obviamente vale apenas para x = 0. Na verdade,
x2 = | x |, para todo x real.
Resposta da questão 15:
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01 + 02 + 04 + 08 = 15.
Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio, o
contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f : A ⊂ ° → ° e g : B ⊂ ° → ° .
Desde que f(x) =
f(g(x)) =
5x
x+3
e f(g(x)) =
, temos
4x + 4
4
g(x) + 3
5x
g(x) + 3
⇔
=
4
4x + 4
4
2x − 3
⇔ g(x) =
.
x +1
[01] Correto. Supondo que se queira determinar o maior subconjunto B dos números reais
para o qual g está definida, é fácil ver que B = {x ∈ ° | x ≠ −1}.
[02] Correto. Calculando a inversa de g, obtemos
y=
2x − 3
⇔ yx + y = 2x − 3
x +1
⇔ yx − 2x = − y − 3
⇔x=
ou seja, g−1(x) =
y+3
,
2−y
x+3
3
. Desse modo, encontramos facilmente g−1(0) = .
2
2−x
[04] Correto. Com efeito, pois g(1) =
2 ⋅ 1− 3
1
=− .
1+ 1
2
[08] Correto. De fato, temos g(f(5)) = g(2) =
2⋅2 − 3 1
= .
2 +1
3
[16] Incorreto. Supondo que se queira determinar o maior subconjunto A dos números reais
para o qual f está definida, é fácil ver que A = ° .
Resposta da questão 16:
[C]
Fazendo o estudo do sinal, temos:
Logo, a solução da equação será dada por S = {x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 7} com os seguintes números
inteiros:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dez no total.
Resposta da questão 17:
[B]
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O domínio da função será a solução da seguinte inequação
9 − x2
x2 + x − 2
≥ 0.
9 − x2 = 0 ⇒ x = 3 ou x = −3
de x2 + x − 2 = 0 ⇒ x = −2 ou x = 1
Estudando o sinal de
9 − x2
x2 + x − 2
, temos:
Resolvendo a inequação, temos:
S = {x ∈ ° / −3 ≤ x < −2 ou 1 < x ≤ 3}
Resposta da questão 18:
[A]
f ( 4 ) = 42 − 4 ⋅ 4 + 10 = 10
g ( f ( 4 ) ) = g (10 ) = −5 ⋅ 10 + 20 = −30
f ( 0 ) = 02 − 4 ⋅ 0 + 10 = 10
g ( f ( 0 ) ) = b (10 ) = −30
Logo,
(f(4))2 − g(f(4)) 102 − ( −30) 130 13
=
=
= .
f(0) − g(f(0))
10 − ( −30)
40
4
Resposta da questão 19:
[C]
Pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g.
f(x) = 2
⎧⎪
⇒ x2 − 5x + 6 = 2 ⇒ x2 − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 4
⎨
2
⎪⎩g(x) = x − 5x + 6
Portanto, os pontos são A(1, 2) e B(4, 2).
Pontos de intersecção dos gráficos das funções f e h.
f(x) = 2
⎪⎧
⇒ x2 − 11x + 30 = 2 ⇒ x2 − 11x + 28 = 0 ⇒ x = 7 ou x = 4
⎨
2
⎪⎩h(x) = x − 11x + 30
Portanto, os pontos são C(7, 2) e B(4, 2).
Temos então três pontos de encontro do gráfico de f com os gráficos de g e h.
A(1, 2), B(4, 2) e C(7, 2).
Resposta da questão 20:
[B]
Temos
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f(x) = − f(x) ⇔ 2 ⋅ f(x) = 0
⇔ 2 ⋅ (x − 3)2 = 0
⇔ x = 3.
Portanto, x = 3 é o único valor de x para o qual se tem f(x) = − f(x).
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