Matemática
1
a)
Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5.
Uma bolinha é sorteada, tem observado seu
número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma
segunda bolinha é sorteada e tem observado seu
número. Qual a probabilidade de que a soma dos
números sorteados seja superior a 7?
b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n.
Sorteando-se duas bolinhas sucessivamente com
reposição, e observando-se os números do 1º e do
2º sorteio, quantos resultados são possíveis? Qual
seria a resposta se não houvesse reposição?
Resolução
a) O espaço amostral do experimento é dado pela
tabela abaixo:
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
Os primeiros valores dos pares ordenados (a;b) da
tabela referem-se ao número da primeira bolinha
sorteada e os segundos valores ao número da
segunda bolinha.
Dos 25 casos possíveis tem-se soma superior a 7
em 6 deles, isto é, (3,5), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4) e
(5,5).
6
A probabilidade pedida é p = ––––
25
b) Sorteando-se duas bolinhas sucessivamente com
reposição, e observando-se os números do 1º e do
2º sorteio, são possíveis n . n = n2 resultados.
Se não houvesse reposição seriam possíveis
n . (n – 1) resultados.
6
Respostas: a) p = ––––
25
b) n2; n(n – 1)
2
Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na
única empresa ali existente. Seus salários (em moeda
local) têm a seguinte distribuição de freqüências:
Salários
Freqüência
$ 50,00
30
$ 100,00
60
$ 150,00
10
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas?
b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão
dos salários?
Resolução
a) A média dos salários das 100 pessoas que tra-
balham nesta empresa, em moeda local, é:
50,00 x 30 + 100,00 x 60 + 150,00 x 10
x– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 90,00
30 + 60 + 10
b) Os salários, as freqüências, os desvios e os quadrados dos desvios estão apresentados na tabela
abaixo:
Salários Freqüências Desvios Quadrados dos Desvios
50,00
30
– 40,00
1 600,00
100,00
60
10,00
100,00
150,00
10
60,00
3 600,00
A variância (média dos quadrados dos desvios) dos
salários é:
1600,00x30 + 100,00x60 + 3600,00x10
–––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 900,00
30 + 60 + 10
O desvio padrão (raiz quadrada da variância) dos
salários é, em moeda local, igual a
Ï·········
900,00 = 30,00
Respostas: a) 90,00 (moeda local)
b) Variância: 900,00 (moeda local)2
Desvio Padrão: 30,00 (moeda local)
3
Um banco capta dinheiro de aplicadores, pagando a
eles uma taxa anual de juros igual a i. O prazo das aplicações é de 1 ano.
O dinheiro captado é emprestado a empresas, por 1
ano, à taxa de 20% ao ano.
Sabe-se que o dinheiro captado é dado por C = 5000 .
i unidades monetárias.
Desprezando-se outros custos:
a) Qual o lucro do banco, se a taxa i for igual a 5% ao
ano?
b) Qual a taxa i que dá ao banco o máximo lucro?
Resolução
O lucro do banco, em função da taxa i e em unidades
monetárias, é dado por
L(i) = 5000i . 20% – 5000i . i ⇔ L(i) = – 5000 i2 + 1000i
a) Para uma taxa i = 5% o lucro do banco é
L(5%) = – 5000 . (5%)2 + 1000 . 5% =
= 37,5 unidades monetárias.
b) O gráfico de L em função de i é do tipo
O lucro é máximo para i = 10%
Respostas: a) 37,5 unidades monetárias
b) 10%
4
a)
Esboce o gráfico da função f(x) = x2 – 3|x| + 2.
b) Qual o domínio da função f(x) =
x–1
––––––––––––
.
2
2x – 3x + 1
Resolução
a) f(x) = x 2 – 3 |x| + 2 = |x| 2 – 3 |x| + 2
b) f(x) =
=
x–1
=
––––––––––––
2x2 – 3x + 1
(x – 1)
––––––––––––– =
(x – 1) (2x – 1)
1
––––––– e x ≠ 1
2x – 1
1
f está definida para ∀x ∈ R, tal que –––––– ≥ 0 e x ≠ 1
2x – 1
O domínio de f é {x ∈ R | x > 1/2 e x ≠ 1}
Respostas: a) Gráfico
b) {x ∈ R | x > 1/2 e x ≠ 1}
5
a)
Represente os pontos (x,y) do plano cartesiano
que satisfazem a relação |3x – 2y| = 6
b) Qual a área da figura determinada pelos pontos
(x,y) do plano cartesiano que satisfazem
simultaneamente as relações:
{
x2 + y2 ≤ 9
x+y≥3
Resolução
a) |3x – 2y| = 6 ⇔ 3x – 2y = 6 ou 3x – 2y = – 6.
Gráfico:
b) As representações gráficas das inequações são:
1) x2 + y2 ≤ 9
2) x + y ≥ 3 ⇔ x + y – 3 ≥ 0
A figura que apresenta simultaneamente as relações
dadas, é obtida pelo gráfico abaixo:
Portanto a área da figura, é:
3.3
π . 32
9
A = –––––– – ––––– = –– . (π – 2) u . a.
2
4
4
Respostas: a) gráfico
9
b) –– . (π – 2) u . a.
4
6
a) Resolva a equação log(x – 2) + log(x + 2) = 2
b) Quais as raízes da equação xlog x = 100x?
Resolução
a) log (x – 2) + log (x + 2) = 2 ⇔
⇔ log (x – 2) (x + 2) = 2 ⇔
⇔ x2 – 4 = 100 ⇔ x = ± Ïw
104
ww ou x = ± 2 Ïww
26 (I)
A existência dos logaritmos exige: x > 2 (II)
De (I) e (II), decorre: V = {2 Ïww
26 }
b) x log x = 100x (I)
Sendo log x = a ⇔ x = 10a.
De (I), obtém-se: (10 a)a = 10 2 . 10a ⇔
2
⇔ 10 a = 10 a+2
Vem: a 2 = a + 2 ⇔ a = 2 ou a = –1
Então, tem-se:
{
log x = 2 ⇔ x = 100
1
log x = –1 ⇔ x = –––
10
26 }
Respostas: a) {2 Ïww
1
b) 100 e –––
10
7
a)
No plano cartesiano, qual o gráfico dos pontos
(x, y) que satisfazem a relação x2 – y2 = 0?
b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de raio 3, com centro pertencente à reta
x – y = 0 e tangente à reta 3x + 4y = 0?
Resolução
a) x2 – y2 = 0 ⇔ (x + y) . (x – y) = 0 ⇔ x + y = 0 ou
x – y = 0, que representam, no plano cartesiano,
as bissetrizes dos quadrantes.
b) Se o centro da circunferência pertence à reta x – y = 0,
então C(a; a)
Como a distância do centro, C(a; a) à reta tangente 3x + 4y = 0 é igual ao raio r = 3, temos:
|3a + 4a|
––––––––––– = 3 ⇔ |7a| = 15 ⇔
Ïwwwww
32 + 42
15
15
⇔ a = ––– ou a = – ––– .
7
7
O problema admite duas soluções:
(
)
) (
15 15
1ª) C ––– ; ––– e r = 3, com equação
7
7
(
15
x – –––
7
2
15
+ y – –––
7
(
2
)
=9
)
15
15
2ª) C – ––– ; – ––– e r = 3, com equação
7
7
(
15
x + –––
7
2
) (
15
+ y + –––
7
2
)
=9
8
Um investidor aplicou R$ 5 000,00 a juros simples, à
taxa de 40% ao ano.
a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de 5
meses?
b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n
da aplicação, expresso em trimestres?
Resolução
a) Admitindo que a aplicação possa ser feita mês a mês,
40
a uma taxa de juros simples de ––– % ao mês, con12
cluímos que o montante, após 5 meses, será
5
5000 . 40 . –––
12
70000
M = 5000 + –––––––––––––––– = ––––––– ≅ 5833,33
100
12
( )
b) O montante M ao final de n trimestres, a uma taxa
de
40
––– % = 10% ao trimestre será
4
( )
5000 . 10 . n
M(n) = 5000 + ––––––––––––– = 5000 + 500n.
100
Se os juros forem creditados apenas após cada trimestre, o gráfico será:
Se os juros forem creditados continuamente o gráfico
será:
Respostas: a) R$ 5 833,33
b) gráfico
9
No conjunto dos números complexos:
a) Resolva a equação z4 = 1
b) Obtenha o número z, tal que z.(1+ i) = 3 – i, onde
i é a unidade imaginária.
Resolução
a) z4 = 1 ⇔ z4 – 1 = 0 ⇔ (z2)2 – 1 = 0 ⇔
⇔ (z2 – 1)(z2 + 1) = 0 ⇔ (z – 1)(z + 1)(z2 + 1) = 0 ⇔
⇔ z – 1 = 0 ou z + 1 = 0 ou z2 + 1 = 0 ⇔
⇔ z = 1 ou z = – 1 ou z = i ou z = – i.
O conjunto-verdade da equação é
V = {1; – 1; i; – i}
3–i
b) z . (1 + i) = 3 – i ⇔ z = –––––– =
1+i
3–i
1–i
3 – 3i – i + i2
= –––––– . –––––– = –––––––––––––– =
1+i
1–i
1 – i2
2 – 4i
= –––––– = 1 – 2i
2
Respostas: a) V = {1; – 1; i; – i}
b) z = 1 – 2i
10
a)
Para que valores de m, a equação na incógnita x,
2sen x – 1 = 3m admite solução?
b) Dois lados de um triângulo medem 10cm cada
um. Qual a medida do ângulo formado por esses
lados, de modo que resulte em um triângulo de
área máxima?
Resolução
2 . sen x – 1
a) 2 . sen x – 1 = 3m ⇔ ––––––––––– = m, tem so3
lução quando:
–1 ≤ sen x ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2 . sen x ≤ 2 ⇔
1
2 . sen x – 1
⇔ –3 ≤ 2 . sen x – 1 ≤ 1 ⇔ –1 ≤ ––––––––––– ≤ ––
3
3
1
Portanto: –1 ≤ m ≤ ––– .
3
b)
10 . 10 . sen θ
Sendo: A∆ = ––––––––––––– = 50 . sen θ, a área
2
do triângulo é máxima quando sen θ = 1, isto é,
para θ = 90°.
1
Respostas: a) –1 ≤ m ≤ –––
b) 90°
3