TEORIA DOS NÚMEROS
Aula 3 – Divisibilidade e Algoritmo da Divisão
Prof. Mário Alves
TEORIA DOS NÚMEROS
Conteúdo Programático desta aula
 Relação de divisibilidade nos
números inteiros;
 Conjunto dos divisores de um
número inteiro;
 Divisores comuns de dois números
inteiros; e
 Teorema do algoritmo da divisão e
aplicações.
DIVISIBILIDADE E ALGORITMO DA DIVISÃO – AULA 3
TEORIA DOS NÚMEROS
RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z
Definição: Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0. Dizemos que
a divide b se, e somente se, existe um inteiro q tal que b =
aq.
- Dizemos também que, se a divide b, então a é um divisor
de b, que b é um múltiplo de a, que a é um fator de b e
que b é divisível por a.
- A relação “a divide b”(a|b)” denomina-se relação de
divisibilidade em Z.
DIVISIBILIDADE E ALGORITMO DA DIVISÃO – AULA 3
TEORIA DOS NÚMEROS
RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z
Teorema: Quaisquer que sejam os inteiros a, b e c, vale:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
a|0, 1|a e a|a
Se a|1, então a=1 ou a=-1
Se a|b e c|d, então ac|bd
Se a|b e se b|c, então a|c
Se a|b e se b|a,≠então a=b ou a=-b
Se a|b, com b
0, então |a| ≤
|b|
Se a|b e se a|c, então a|(bx+cy), ∀ x, y ∈ Z
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CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO
- O conjunto de todos os divisores de um inteiro qualquer a é
dado por D(a), ou seja:
D(a) = { x ∈ Z* | z|a } ,
Onde Z* indica o conjunto dos inteiros não nulos.
- D(0) = { x∈ Z*| x|0 } = Z*
- D(1) = { x∈ Z*| x|1 } = {-1,1}
- D(-8) = { x∈ Z* | x|-8 } = {-1,-2,-4,-8,1,2,4,8}
Exercício 3.1: Determinar os divisores inteiros de 15.
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DIVISORES COMUNS DE DOIS INTEIROS
Definição: Denomina-se divisor comum de dois inteiros a e b
todo inteiro d ≠ 0, tal que d|a e d|b.
- É o mesmo que dizer que é: divisor comum de dois inteiros
a e b é todo inteiro d ≠ 0 que pertence simultaneamente
aos conjuntos D(a) e D(b).
D(a,b) = {x ∈ Z* | x|a e x|b}, isto é:
D(a,b) = {x ∈ Z* | x ∈ D(a) e x ∈ D(b)} e portanto:
D(a,b) = D(a)∩ D(b)
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DIVISORES COMUNS DE DOIS INTEIROS
Exercício 3.2: Determine os divisores comuns de 12 e 15.
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ALGORITMO DA DIVISÃO
Teorema: Se a e b são dois inteiros, com b > 0, então existem
e são únicos os inteiros q e r que satisfazem às condições:
a = bq + r e 0 ≤r < b
Corolário: Se a e b são dois inteiros, com b ≠0, existem e são
únicos os inteiros q e r que satisfazem as condições:
a = bq + r e 0 ≤ r <| b |
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ALGORITMO DA DIVISÃO
Exercício 3.3: Achar o quociente q e o resto r na divisão de 59
por -14 que satisfazem às condições do algoritmo da
divisão.
i) Fazendo a divisão usual dos valores absolutos de a e b:
59 = 14.4 + 3
ii) Isto implica:
59 = (-14)(-4) + 3 e 0 ≤3 <|-14 |
iii) Logo, o quociente é q=-4 e o resto é r=3.
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ALGORITMO DA DIVISÃO
Exercício 3.4: Achar o quociente q e o resto r na divisão de 79 por 11 que satisfazem às condições do algoritmo da
divisão.
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