L3 DE GEOMETRIA II - MTM 7112
DR. CELSO M. DORIA
? - o problema faz parte do conteúdo do livro.
* - o problema não esta no livro.
1. Resolver um triângulo significa determinarmos todos os valores dos comprimentos dos seus lados e dos seus ângulos internos. Resolva um triângulo
retângulo 4ABC sabendo que a medida da hipotenusa a = 25, a soma
dos catetos b + c = 31 e b > c. (deixe os ângulos indicados em função do
cosseno)
2. Resolva um triângulo retângulo 4ABC de hipotenusa a, sabendo que
a + b = 36 m e a + c = 50 m.
3. Um observador em uma planı́cie vê uma montanha segundo um ângulo de
15o (ângulo no plano vertical formado por um ponto no topo da montanha,
o observador e o plano horizontal). Após caminhar uma distância d em
direção à montanha, ele passa a vê-la segundo um ângulo de 30o . Qual é
a altura da montanha ?
4. Um ponto A dista 5 cm de um cı́rculo com raio de 3 cm. São traçadas as
tangentes AB e AC ao cı́rculo. Calcule o seno do ângulo OÂB.
5. Qual o valor máximo para o cosseno de um ângulo ? E o mı́nimo ?
6. Repita o item anterior para o seno e para a tangente.
7. Mostre que se β = 2π − α, então
cos(β) = cos(α) sen(β) = −sen(α).
(1)
8. Calcule o cosseno e o seno dos seguintes ângulos e compare os resultados
obtidos;
(a) 30o e 330o .
(b) 60o e 300o .
(c) 45o e 315o .
(d) 18o e 342o .
9. Determine cos(π + θ) e sen(π + θ).
10. Seja θ ∈ [0, π/2]. Suponha que os valores de cos(θ) e de sen(θ) são conhecidos e determine os seguintes valores; (marque-os sobre o cı́rculo unitário)
(a) cos(π − θ) e sen(π − θ).
(b) cos(θ − π) e sen(θ − π).
(c) cos(2π − θ) e sen(2π − θ).
1
Resolva os seguintes itens;
11.
intervalo
[0, π2 ]
[ π2 , π]
[π, 3π
2 ]
,
2π]
[ 3π
2
sen(x)
+, crescente
+, decrescente
−, decrescente
−, crescente
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
sec(x)
cossec(x)
Complete a tabela acima, estudando a variação das funções trigonométricas
e o sinal em cada um dos quadrantes.
12. Determine os conjuntos dos valores reais para os quais as funções cotg(x),
sec(x) e cossec(x) estão definidas, as respectivas imagens e os perı́odos.
13. Mostre que a Lei dos Cossenos também vale para triângulos obtusângulos.
14. Num triângulo 4ABC qualquer, mostre que valem as seguintes desigualdades triangulares;
a < b + c,
b < a + c,
c < a + b.
Resolva os seguintes itens;
15. A área de um triângulo 4ABC é definida pela expressão
A=
1
(base) × (altura),
2
onde (base) corresponde ao comprimento de um lado, denominado base, e
(altura) a medida da altura relativa à base. Siga os seguintes passos para
obter uma outra demonstração da lei dos senos;
(a) Considere um triângulo 4ABC e verifique que a área é dada por
A=
1
1
1
hAB · |AB| = hAB · c = c · b · sen(α),
2
2
2
onde hAB é a altura relativa ao lado AB.
(b) mutiplique a expressão da área por a para obter a expressão
sen(α)
2A
=
.
a
abc
(c) Repita os itens anteriores considerando a expressão para a área em
função de β, c e hBC .
(d) Repita os itens anteriores considerando a expressão para a área em
função de γ, a e hCA .
(e) Compare os resultados e conclua que vale a Lei dos Senos.
2
16. Mostre usando a lei dos senos que um triângulo é isósceles se, e somente
se, ele tiver dois ângulos iguais.
17. Mostre que num triângulo 4ABC , temos as seguintes implicações:
a2 < b2 + c2
⇒
α é agudo,
2
2
2
⇒
α é retângulo,
2
2
2
⇒
α é obtuso.
a =b +c
a >b +c
18. Um observador observa a extremidade superior de uma tôrre sob um
ângulo α. Quando ele aproxima-se de 110 m o ângulo duplica e quando
se aproxima mais 50 m triplica. Calcule a altura da tôrre.
19. Calcule o raio do cı́rculo circunscrito a um triângulo sabendo que um lado
mede a = 2 m e o ângulo oposto mede 15o .
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