⎡3 1⎤
⎡1
⎢
⎥
Considere as matrizes A = ⎢ 4 4 ⎥ e B = ⎢
⎢0
⎢1 3⎥
⎣⎢
⎣⎢ 4 4 ⎦⎥
calcule o determinante da matriz An.
0⎤
-1
1 ⎥⎥ , e seja P uma matriz invisível tal que B = P AP. Sendo n um número natural,
2 ⎦⎥
Resolução:
Como det ( An ) = ( det A) , tem-se:
n
⎛3 3 1 1⎞ 1
det ( An ) = ⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ = n .
⎝4 4 4 4⎠ 2
Considere uma seqüência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por
2
aK
3
4
bK +1 = bK
5
a K +1 =
onde aK e bK, para K ≥ 1, são os comprimentos dos catetos do K-ésimo triângulo retângulo. Se a1 = 30cm e b1 = 42cm,
determine o valor da soma das áreas de todos os triângulos quando K → ∞.
Resolução:
Seja S K a área do K-ésimo triângulo retângulo:
aK ⋅ bK
a ⋅b
e S K +1 = K +1 K +1
2
2
2
4
aK ⋅ bK
5 = 2 ⋅ 4 ⋅ aK ⋅ bK = 8 S
∴ S K +1 = 3
K
2
3 5
2
15
8
8
Da relação S K +1 = S K concluímos que a seqüência formada pelas áreas é uma P.G. de razão q = .
15
15
a1 ⋅ b1 30cm ⋅ 42cm
∞
S1
2
SK =
= 2 =
∑
7
1− q 1− 8
K =1
15
15
SK =
∞
∑S
K =1
K
= 1350cm 2
Considere o sistema de equações dado por
⎧3 log α + log 9 β = 10
⎨
⎩log 9 α − 2 log 3 β = 10
onde α e β são número reais positivos. Determine o valor de P = αβ
Resolução:
Tem-se:
3 ⋅ log 3α + log 9 β = log 9α − 2log 3 β ⇒ 3 ⋅ log 3α −
1
1
⋅ log 3α + ⋅ log 3 β + 2 ⋅ log 3 β = 0
2
2
(2 x)
⇒ 5 ⋅ log 3α + 5 ⋅ log 3 β = 0 ⇒ 5 ⋅ log 3α ⋅ β = 0 ⇒ log 3 P = 0 ∴ P = 1 .
Sejam C e C* dois círculos tangentes exteriores de raios r e r* e centros O e O*, respectivamente, e seja t uma reta tangente
comum a C e C* nos pontos não coincidentes A e A*. Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmento
AA* em torno do eixo OO*, e seja S a sua correspondente área lateral. Determine S em função de r e r*.
Resolução:
(r + r *)
2
= d AA* 2 + ( r − r*)2
d AA* = 2 r ⋅ r *
Lembrando que M é ponto médio:
r * senθ + k ⋅ senθ ⎛ r * + r ⎞
=⎜
yM =
⎟ ⋅ senθ
2
⎝ 2 ⎠
No ΔOO* P :
∴ senθ =
2 rr *
r + r*
c
d
De c e d
⎛ r * +r ⎞ 2 r ⋅ r *
yM = ⎜
= r ⋅r*
⎟⋅
⎝ 2 ⎠ r + r*
Seja S a área perdida:
S = 2 ⋅ π ⋅ yM ⋅ d AA' = 2π ⋅ r ⋅ r * ⋅ 2 rr * = 4πrr *
2
Resolva a equação
log( senx + cosx ) ( 1 + sen2 x ) = 2 ,
⎡ π π⎤
x ∈ ⎢− , ⎥ .
⎣ 2 2⎦
Resolução:
Deve-se ter:
2
⎡ π π⎤
1 + sen 2 x > 0 , sen x + cos x > 0 , sen x + cos x ≠ 1 e ( sen x + cos x ) = 1 + sen 2 x , com x ∈ ⎢ − , ⎥ .
⎣ 2 2⎦
Daí,
π
i)
1 + sen 2 x > 0 ⇒ sen 2 x > −1 ⇒ sen 2 x ≠ −1 ⇒ x ≠ −
ii)
⎤ π 3π ⎡
⎡ π π⎤
⎤ π π⎤
sen x + cos x > 0 ⇒ sen x > −cos x ⇒ x ∈ ⎥ − , ⎢ . Mas como x ∈ ⎢ − , ⎥ , então x ∈ ⎥ − , ⎥ ;
⎦ 4 4 ⎣
⎣ 2 2⎦
⎦ 4 2⎦
iii)
sen x + cos x ≠ 1 ⇒ sen x ≠ 1 − cos x ⇒ x ≠
iv)
( sen x + cos x )
2
π
2
4
;
e x≠0
= 1 + sen 2 x ⇒ sen 2 x + 2sen x ⋅ cos x + cos 2 x = 1 + sen 2 x
⎤ π π⎡
⇒ 1+sen 2 x = 1 + sen x . Essa igualdade é verdadeira para todo x ∈ ⎥ − , ⎢ .
⎦ 2 2⎣
Assim o conjunto solução dessa equação é dado pela intersecção dessas quatro condições. Portanto:
⎤ π ⎡ ⎤ π⎡
S = ⎥ − ,0 ⎢ ∪ ⎥ 0 , ⎢ .
⎦ 4 ⎣ ⎦ 2⎣
3
O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1,0), B(-2,0), R(x1,y1) e S(x2,y2) é construído tal que RAS = RBS = 90º . Sabendo que o
ponto R pertence à reta t de equação y = x + 1, determine a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se
deslocar R sobre t.
Resolução:
pois o ponto R está sobre a reta de equação y = x+1.
O ponto S(x,y) procurado está sobre as retas r e s.
Cálculo dos coeficientes angulares:
a +1
1− a
mAR =
⇒ ms =
a −1
a +1
a +1
−a − 2
mBR =
⇒ mr =
a+2
a +1
Equações das retas r e s:
⎛ −a − 2 ⎞
(r ) y −0 =⎜
⎟ ⋅( x + 2 )
⎝ a +1 ⎠
⎛1− a ⎞
(s) y−0=⎜
⎟ ⋅( x −1)
⎝ a +1⎠
Coordenadas do ponto s:
⎧
⎛ −a − 2 ⎞
⎪ y = ⎜ a + 1 ⎟ ( x + 2)
⎪
⎝
⎠
⎨
1
−
a
⎛
⎞
⎪y =
⎜
⎟ ( x − 1)
⎝ a +1⎠
⎩⎪
⎛ −a − 2 ⎞
⎛1− a ⎞
c
⎜
⎟ ( x + 2) = ⎜
⎟ ( x − 1) ⇒ x = − a − 1
a
+
1
⎝
⎠
⎝ a +1⎠
⎛1− a ⎞
d
∴y =⎜
⎟ ( −a − 2 )
⎝ a +1⎠
De c e d
− x2 − x + 2
y=
, que é a equação pedida para os pontos s.
x
Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2+(m-15)x+m=0. Sabendo que x1 e x2 são números inteiros, determine o conjunto de
valores possíveis para m.
Resolução:
Tem-se que:
x1 + x2 = − m + 15 e x1 ⋅ x2 = m ⇒ x1 + x2 = − x1 ⋅ x2 + 15
⇒ x1 ⋅ x2 + x1 = − x2 + 15 ⇒ x1 =
16
− x2 + 15
.
⇒ x1 = −1 +
x2 + 1
x2 + 1
Como x1 é inteiro, x2 + 1 é divisor de 16. Assim, o conjunto dos possíveis valores de x2 + 1 é:
{±1,±2,±3,±4,±8,±16} .
Daí, o conjunto dos possíveis valores de (x1,x2) é:
{( 0,15 ),( −2,−17 ),( 1,7 ),( −3,−9 ),( 3,3 ),( −5,−5 ),( 7 ,1 ),( −9,−3 ),( 15,0 ),( −17 ,−2 )} .
Lembrando que m = x1 ⋅ x2 , o conjunto dos possíveis valores de m é:
{0,34,7 ,27 ,9,25} .
4
Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. Determine o número de seqüências simétricas que
podem ser formadas utilizando-se todas as m+n bolas.
Observação: uma seqüência é dita simétrica quando ela possui a mesma ordem de cores ao ser percorrida da direita para a
esquerda e da esquerda para a direita.
Resolução:
i)
ii)
iii)
iv)
Se m e n são ímpares, então não é possível uma seqüência simétrica.
Se m é ímpar e n par, então a bola central da seqüência deve ser preta e os números de seqüências será dado por
⎛ m + n −1⎞
m −1 n
⎜
⎟!
,
2
⎠ , para tanto basta observar que uma vez distribuídas a metade das pretas restantes e a metade das brancas à
Pm −21 2n = ⎝
+
m
n
−
1
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2
⎜
⎟! ⎜ ⎟!
⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠
esquerda da bola preta central é única a forma de distribuir as outras metades à direita.
Se m é par e n ímpar, então temos
⎛ m + n −1⎞
n −1 m
⎜
⎟!
,
2
⎠ , seqüências simétricas (raciocínio análogo ao anterior).
Pn −21 m2 = ⎝
+
⎛ n −1⎞ ⎛ m ⎞
2
2
⎜
⎟! ⎜ ⎟!
⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠
Se m e n são pares, então teremos
⎛m+n⎞
m n
⎜
⎟!
,
2 ⎠
2 2
Pm n = ⎝
, seqüências simétricas, distribuímos a metade das pretas e a metade das brancas, pois para as outras metades
+
⎛m⎞ ⎛n⎞
2 2
!
!
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠
teremos apenas uma possibilidade.
Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que
a+b b+c a+c
a+b
=
+
, determine o valor numérico de
.
c
a
b
c
Resolução:
Tem-se:
a+b b+c a+c
a + b b + c a + c 2(a + b + c)
⇒
=
=
=
=2.
=
=
c
a
b
c
a
b
a+b+c
a+b
Portanto;
=2.
c
Seja f : ` → \ uma função tal que
n
( n + 1)
∑ f ( k ) = 2008 ( n + 2 ) , onde ` e \ são, respectivamente, o conjunto dos números naturais
k =0
e o dos números reais. Determine o valor numérico de
1
.
f ( 2006 )
5
Resolução:
( n + 1)
h
∑ f ( k ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) + ... + f ( n ) = 2008 ( n + 2 )
(I)
k =0
( n + 1 + 1)
h +1
∑ f ( k ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) + ... + f ( n ) + f ( n + 1 ) = 2008 ( n + 1 + 2 )
(II)
k =0
De (I) e (II):
f ( n + 1 ) = 2008
(n + 2)
( n + 1)
⎛ n + 2 n +1 ⎞
− 2008
= 2008 ⎜
−
⎟
( n + 3)
(n+ 2)
⎝ n+3 n+2⎠
⎛
⎞
1
f ( n + 1 ) = 2008 ⎜
⎟
⎝ ( n + 3 )( n + 2 ) ⎠
1
( n + 3 )( n + 2 )
∴
=
f ( n + 1)
2008
Fazendo n = 2005:
1
2008 ⋅ 2007
=
= 2007
f ( 2006 )
2008
6