SIMULADO 1
1
Matemática
2
(Unimontes-MG)
Quando um relógio está marcando 2 horas e 32 minutos,
o menor ângulo formado pelos seus ponteiros é de:
(PUC-RS)
Considere o relógio localizado na entrada do MCT.
a) 115º30’
b) 116º30’
c) 117º
d) 116º
Resolução
Considerando o deslocamento dos ponteiros a partir das
12 horas:
O ponteiro menor desloca-se 60º até a posição 2 horas mais
16º até a posição 2h32 min, conforme os cálculos abaixo:
360º é 12 h ä x = 60º
xé2h
30º é 60 min ä y = 16º
y é 32 min
Logo, entre 12 h e 2h32 min o ponteiro das horas desloca-se 76º.
O ponteiro maior desloca-se 360º em uma hora, então em
32 minutos:
360º é 60 min ä z = 192º
z é 32 min
O Museu de Ciências e Tecnologia (MCT) da Pontifícia
Universidade Católica do Rio Grande do Sul é reconhecido, até mesmo fora do país, por sua qualidade, motivo
pelo qual ele é visitado por pessoas de todas as idades, que ali têm oportunidade não só de aumentar seus
conhecimentos como também de usufruir de momentos
divertidos e prazerosos.
Considere como tema geral uma visita ao ambiente do
MCT da PUC-RS. No momento em que um grupo de estudantes entra no museu, o relógio analógico com numeração romana está marcando 15h15min. Nesta circunstância, o menor ângulo formado pelos ponteiros mede:
Logo, entre 12 h e 2h32 min o ponteiro dos minutos desloca-se 192º.
Portanto, o ângulo formado por esses ponteiros no horário desejado é de 116º (192º – 76º).
a) 0°
b) 0,25°
c) 7,5°
d) 120°
e) 352,5°
Resolução
30º
= 2, 5º.
12
Passados 15 minutos das 15 h, o ponteiro dos minutos estará
em “3” e o ponteiro de horas terá se deslocado 3 · 2,5º de “3”
para “4”, formando assim um ângulo de 7,5º.
A cada cinco minutos o ponteiro de horas desloca-se
1
SIMULADO 1
3
Matemática
4
(UFPA)
(FGV-SP)
2
O Big Ben, relógio famoso por sua precisão, tem 7 metros de diâmetro. Em funcionamento normal, o ponteiro
das horas e o dos minutos, ao se deslocarem de 1 hora
para 10 horas, percorrem, respectivamente:
No intervalo [0,], a equação 8sen x = 4senx–
guinte número de raízes:
1
8
admite o se-
a) 5
b) 4
a) um arco com comprimento aproximado de 16,5 metros
e medida 18 radianos.
c) 3
d) 2
b) um arco com comprimento aproximado de 22 metros
e medida 2 radianos.
e) 1
c) um arco com comprimento aproximado de 16,5 metros
e medida −18 radianos.
Resolução
d) um arco com comprimento aproximado de 6,28 metros
e medida 2 radianos.
⇔ 23sen x = 22.(senx – 8 ) ⇔
1
1
2
⇔ 23sen x = 22senx – 4 ⇔ 3sen2x = 2senx –
⇔ 3sen2x – 2senx +
4
1
1
1
+
= 0 ⇔ senx =
ou senx =
4
2
6
Resolvendo a equação no intervalo [0, ], encontramos:
2
8sen x = 4senx –
e) um arco com comprimento aproximado de 6,28 metros
e medida −2 radianos.
Considere = 3,1416
1
8
2
⇔ (23)sen x = (22)senx –
1
X
VIII
1
2
1
6
II III IIII
XI XII I
XI
V VI VII
XI
II III IIII
X
Considerando o deslocamento dos ponteiros para os instantes
mostrados abaixo, teremos:
VIII
2
Observando a figura podemos verificar que a equação
apresenta 4 soluções:
Resolução
XI XII I
1
8
5
V VI VII
O ponteiro de horas desloca-se 9 vezes 30º (que é o quanto
esse ponteiro se desloca a cada hora), desse modo, o desloca3
de volta.
mento desse ponteiro foi de 270º ou
4
Sabendo que o raio desse relógio é de 3,5 metros, uma volta
completa corresponde a um comprimento de 2 · 3,1416 · 3,5 ou
3
21,9912 metros. Assim,
desse comprimento correspondem
4
a 16,4934 metros, ou seja, aproximadamente 16,5 metros.
Já o ponteiro dos minutos desloca-se −2 radianos a cada
volta (2 radianos no sentido horário), ou seja, 9 voltas (horas)
depois, o deslocamento será de −18 radianos.
(Unioeste-PR)
Resolvendo-se a inequação
1 – sen2x
1
≤,
para os
cot gx senx
2
 π
possíveis valores de x em 0,  , obtém-se como solução:
 2
≤x≤
a)
3
2
3
b)
<x<
3
2
c)
≤ x ≤ 2
3
d)
≤x<
3
2
e)
<x≤
3
2
Resolução
1
cos2x
1
1 – sen2x ≤ 1 ⇔
cos2x
≤
⇔
⇔ cos x ≤
cos x
cot gx senx
2
2
cos x
2
⋅ senx
senx
 π
A inequação no intervalo 0,  apresenta como solução o in 2
tervalo apresentado na figura:
π
2
π
3
1
2
Logo, a solução da inequação no intervalo proposto será:
 π {X ∈ 0,  | 3 ≤ x < 2 }
 2
2
SIMULADO 1
6
Matemática
7
(Udesc-SC)
Considere x um arco com extremidade no segundo qua3
drante e cos x = – . Então, 5 sen2x –3 tgx é igual a
5
Considerando as funções f(x) = sen x e g(x) = cos x, relacione a segunda coluna de acordo com a primeira, estabelecendo identidades trigonométricas:
1 – g(2x)
2
1. f(2x)
(
)
2. g(2x)
(
) 2f(x)g(x)
3. (f(x))2 + (g(x))2
(
)
4. (f(x))2
(
(
a) –
36
5
b) –
4
5
2
5.
1
–1
(g(x))2
 f(x) 
 g(x) 
c)
4
5
) [g(x)]2 – [f(x)]2
d)
36
5
)1
Resolução
Sendo cos x = – 3 , temos: sen2x + cos2x = 1 ⇔ sen2x = 1 −
5
2
 3
2
2
− cos x ⇔ sen x = 1 −  −  ⇔ sen 2x = 1 − 9 ⇔ sen 2x =
25
 5
4
25
–
9
16
2
⇔ sen x =
= sen x = ± .
=
25
25
5
Assinale a alternativa que contém a sequência correta,
de cima para baixo.
a) 4 – 2 – 5 – 1 – 3
b) 4 – 1 – 5 – 2 – 3
Como x tem extremidade no 2º quadrante, concluímos que
sen x = 4 .
5
 4 
2


 4
sen x
2
5 ⋅ sen x – 3 ⋅ tgx = 5 ⋅ sen2 x – 3 ⋅
=5 ⋅   –3 ⋅  5  =
−
3
cos x
 5


 5 
 4  16
16 + 20 36
16
+4=
=
=5⋅
– 3 ⋅ −  =
5
5
25
 3 5
c) 5 – 1 – 4 – 2 – 3
d) 5 – 3 – 4 – 1 – 2
e) 2 – 1 – 3 – 4 – 5
Resolução
f(2x) = sen(2x) = 2 · senx · cosx = 2 · f(x) · g(x)
g(2x) = cos(2x) = cos2x – sen2x = [g(x)]2 – [f(x)]2
(f(x))2 + (g(x))2 = sen2x + cos2x = 1
(f(x))2 = sen2x =
=
(Unimontes-MG)
sen2x + sen2x
1 – cos2x + sen2x
=
=
2
2
1 – (cos2x – sen2x)
1 – cos (2x)
1 – g (2x)
=
=
2
2
2
1
1
1– cos2x
sen2x
(f(x))2
f (x)
–1=
=
–1 =
=
=
2
2
2
2
(g(x))2  g (x)
(g(x))
cos x
cos x
cos x
2


Portanto, a ordem correta da associação é: 4 – 1 – 5 – 2 – 3.
3
SIMULADO 1
8
Matemática
9
(Udesc-SC)
Estima-se que, em 2009, a receita mensal de um hotel
seja dada (em milhares de reais) por R(t) = 3 000 + 1 500  πt 
cos   , em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2
 6
o mês de fevereiro e assim por diante. A receita de março
será inferior à de fevereiro em:
A soma de todas as soluções da equação log(cos x) +
1
+ log(sen x) = log3 – 2 log2, que pertencem ao interva2
lo  0,  , é igual a:
 2
a)
3
a) R$ 800 000,00
b)
6
c)
b) R$ 750 000,00
c) R$ 700 000,00
2
d) R$ 650 000,00
d) e)
e) R$ 850 000,00
Resolução
2
3
Em fevereiro (t = 2), teremos:
R(2) = 3 000 + 1 500 cos 2 = 3 000 + 1 500 cos = 3 000 +
6
3
+ 1 500 1 = 3 000 + 750 = 3 750
2
Portanto, a receita em fevereiro será de R$ 3 750 000,00.
Em março (t = 3), teremos:
Resolução
log(cos x) + log(sen x) = 1 log3 – 2 log2 ⇔ log(cos x) (sen x) =
2
1
3
= log3 2 – log22 ⇔ log (cos x sen x) = log
⇔ cos x sen x =
4
2


3
3
=
⇔ sen x =  4 ⋅ cos x 


4
R(3) = 3 000 + 1 500 cos 3 = 3 000 + 1 500 cos = 3 000 +
6
2
+ 1 500 0 = 3 000 + 0 = 3 000
2

3 
Pela relação fundamental sen2x + cos2x = 1, então: 
 +
 4 ⋅ cos x 
+ cos2x = 1 ⇔
=
16 cos2x
16 cos2x
Portanto, a receita em março será de R$ 3 000 000,00.
Em março a receita será inferior em R$ 750 000,00.
4
3
x =
+ cos2x = 1 ⇔ 3 + 16 cos
16 cos2x
16 cos2x
⇔ 16 cos4x – 16 cos2x + 3 = 0
Resolvendo a equação encontramos: cos2x = 3 ou cos2x = 1 .
4
4
Como x é arco com extremidade no primeiro quadrante, teremos: cosx =
(FGV-SP)
3
ou cosx = 1 , logo, x = ou x = .
2
6
3
2
A soma dessas soluções será: + = + 2 = 3 = .
6
3
6
6
2
4
SIMULADO 1
Matemática
10 (UFAC)


+ k; com K ∈ Z. Então, a expressão
2
 2
Seja x ∈ R – 
sec x ⋅ cos x – tg x ⋅ senx ⋅ cosx – cos x, é igual a:
a) 1 + sen b) 1 + cos 3
c) 1 – cos d) 1 + 2 cos e) 1 – 3 cos Resolução
sec x ⋅ cos x – tg x ⋅ senx ⋅ cosx – cos2x =
1 cos x – sen x cos x
cos x
senx ⋅ cosx – cos2x = 1 − sen2x − cos2x = 1 − (sen2x + cos2x) =
=1−1=0
Temos: 1 + sen = 1 + 0 = 1
1 + cos3 = 1 + (–1) = 0
1 − cos = 1 − (−1) = 2
1 + 2 · cos = 1 + 2 · (–1) = −1
1 – 3 · cos = 1 − 3 · (–1) = 4
Portanto, a expressão sec x ⋅ cos x – tg x ⋅ senx ⋅ cosx – cos2x é
igual a 1 + cos 3.
5