FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO
Departamento deEngenharia Electrotécnica edeComputadores
LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E COMPUTADORES
INTRODUÇÃO À MECÂNICA CLÁSSICA – 1ª chamada – 18 de Junho de 2002
DURAÇÃO MÁXIMA: 2 h 30 min
1 - Apresente em folhas separadas a sua resposta a cada um dos grupos.
2 - Apresente todos os cálculos que tiver efectuado.
3 - Assine todas as folhas que entregar.
1.
Um projéctil é lançado verticalmente. Suponha que a resistência do ar ao movimento do projéctil varia
com o quadrado da velocidade deste.
a)
Mostre que a variação da velocidade do projéctil com a altura é dada pelas equações:
v 2 ( z ) = Ae −2 kz −
g
k
(movimento ascendente)
e
v 2 (z ) =
g
− Be 2 kz
k
(movimento descendente)
onde A e B são constantes de integração, g é a aceleração da gravidade e k =
c2
, onde c 2 é a
m
constante de atrito e m é a massa do projéctil
Nota: Considera-se que z é positivo para cima e que a aceleração da gravidade é constante.
b)
Mostre que quando o projéctil atinge o solo a sua velocidade é dada por
v0 v L
(v
2
0
+ v L2
)
1
2
onde v0 é a velocidade inicial com que foi lançado e v L é a velocidade limite.
2.
Um jogador de futebol americano de altura h e massa m está sujeito a uma força horizontal com
intensidade F aplicada nos seus ombros, que estão distantes de h/4 do centro de massa do jogador. Por
seu turno, o CM dista 5h/8 dos pés (ver figura). Para contrariar a acção da força, o jogador inclina-se
rigidamente para a frente, fazendo um ângulo θ com a vertical. O coeficiente de atrito estático entre os
pés do jogador e o relvado é µ.
Determine o menor valor do ângulo de inclinação, θmin, segundo o qual o jogador deve procurar
colocar-se por forma a não ser derrubado pela força F.
r
F
1/1
PAS / MIC / ACM / PVG
3. Uma pequena esfera de massa m1 está ligada a uma mola de massa desprezável, constante elástica k e
comprimento natural l0. Inicialmente a mola é comprimida até o seu comprimento ser l 0 2 e então
largada do repouso.
m1
k
a)
Determine a velocidade máxima atingida pela esfera. Em que posição é atingida esta velocidade?
b)
Suponha que na posição calculada na alínea anterior se encontra uma outra esfera de massa m2,
em repouso. Sabendo que as duas esferas colidem frontalmente e que o coeficiente de restituição
para esta colisão é ε, determine a velocidade de cada esfera imediatamente após o choque.
c)
Nas condições da alínea anterior, e admitindo agora que a colisão é elástica, determine m1 em
função dos outros dados do problema (k, l0 e m2) para que a velocidade final da esfera 2 seja a
maior possível.
4. Um pequeno projéctil de massa m é disparado com velocidade v, da extremidade superior de uma barra
homogénea que pode rodar em torno de um eixo horizontal que passa pela sua extremidade inferior. A
barra tem comprimento l e massa 6m. Considere que o projéctil é lançado segundo uma direcção que
faz um ângulo de 60º com a horizontal.
Calcule o momento de inércia do sistema relativamente ao eixo
perpendicular ao plano xy que passa pelo seu centro de massa,
antes do disparo.
b)
Obtenha o vector velocidade angular da barra imediatamente
após o disparo.
c)
Calcule os valores da quantidade de movimento do sistema antes
e após o disparo. Comente o resultado.
d)
Qual é a energia mecânica transmitida ao sistema durante o
disparo?
e)
Admita agora que o eixo de rotação da barra se pode mover na horizontal sem atrito, sempre
paralelo a si mesmo. Determine a velocidade angular da barra e a velocidade do ponto A
imediatamente após o disparo.
A
x
y
60º
A
2/2
y
60º
a)
x
PAS / MIC / ACM / PVG