UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO - DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA
Equações Diferenciais Ordinárias. Problemas de Valor Inicial (PVI): 1a
ordem, sistemas e ordem superior.
1. Leia o livro texto e refaça os exercı́cios propostos em sala e resolvidos no livro.
2. Mostre graficamente a idéia do método de Euler para se resolver um problema
do tipo y 0 = f (x, y) com y(2) = 1 onde f (x, y) é uma função qualquer.
3. Dado o PVI abaixo
y 0 = −sen(x2 )y
y(0) = −1
(a) Resolva por Euler em I=[0,0.6] dando 2 passos (b) Cite uma vantagem e
uma desvantagem em se usar o método de Euler ao invés do método baseado
na série de Taylor de 2a ordem.
4. Dado o PVI abaixo
y0 = x − y2
y(0) = 2
Obtenha o valor de y(1.2) por :
(a)Euler com 3 passos
(b) Por Runge Kutta de 2a Ordem com 2 passos. (c) Por Taylor de 2a Ordem
com 2 passos. (d) Qual solução é mais precisa ? Justifique a sua resposta sem
calcular a solução exata.
5. Dada a equação diferencial
y 0 = −y(senx)
y(0) = −1
(a)Obtenha a solução pelo método baseado na série de Taylor de 2a ordem em
I=[0,1] subdividindo o intervalo em 2 partes.
(b)Se ussássemos o método de Euler com 10 subintervalos o que poderı́amos
dizer sobre a solução obtida em relação à calculada na letra (a). Justifique a
sua resposta sem calcular a solução exata.
6. Escreva um algoritmo para obter a solução da equação diferencial
0
y = f (x, y)
y(a) = y0
pelo método de Runge Kutta de 2a ordem para um dominio qualquer I=[a,b]
e um número m subintervalos. A solução numérica dever ser gravada em um
vetor, chamado de VETy. Suponha dados a, b, y(a) = y0 , f (x, y),e m.
7. Considere o problema de valor inicial
p
y 0 − x + ln y = 0.0
y(2) = 1
Encontre uma aproximação para y(2.3) usando um método de Runge Kutta
de 1a (Euler) e de 2a ordem com h = 0.1. e tambem 4a ordem com h = 0.15
Qual solução é mais precisa? Represente as soluções numéricas obtidas em 3
pares de eixos cartesianos
8. Numa reação quimica, uma molécula de um reagente A combina-se com uma
molecula de u outro reagente B para formar uma molécula de um produto
C. Sabe-se que a concentração y(t) de C, no tempo, é dada pela solução do
seguinte PVI,
y 0 = k((a − y)(b − y)
y(0) = 0
onde k é a constante de reação, a e b são as concentrações iniciais de A e
B. Considerando k = 0.01, a = 70milimoles/litro, b = 50milimoles/litro,
determine computacionalmente a concentração do produto C em [0, 20] usando
um método numérico, com h=0.5 e erro inferior a 0.3.
9. Para um circuito simples RL, se a lei de Ohm for válida, a lei de voltagem de
Kirchoff, exige que:
L
di
+ Ri = 0
dt
onde i é a corrente, L é a indutancia, e R é a resistencia. Sabendo que
i(0) = 10−3 e considerando que L = R = 1, resolva o problema usando o
método de Runge Kutta de 2a ordem, com h a sua escolha de forma a obter a
solução em vários instante de tempo t.
10. Dada a equação diferencial, com condições iniciais quaisquers, abaixo
 0
√
y1 = 2y1 y2 − ( x)


 0
y2 = y1 + 3x
y

1 (a) = y10


y2 (a) = y20
Escreva um algoritmo para obter a solução da equação diferencial pelo método
de Euler para um dominio qualquer I=[a,b] e um número m subintervalos. As
soluções numéricas deverão ser gravadas em vetores, chamado de VETy1 e
Vety2 de (m+1) posições.
11. Dado o PVI abaixo
 0
√
y1 = y 2 + x


 0
y2 = 2y1 + x2
 y1 (1) = 3


y2 (1) = 2
Obtenha y1 (2.0) e y2 (2.0) usando o método de Euler com h = 0.5.
12. Dado o PVI abaixo
 0
y1 = y 2 + x


 0
y2 = 5y1 + x − 3
y1 (1) = 0



y2 (1) = 2
(a) Resolva por Euler em I=[1,1.4] com h=0.2.
(b) Represente as soluções numéricas obtidas em 2 pares de eixos cartesianos
Equações de ordem superior
13. (a) Rescreva a equação abaixo como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem.
 000
y = ln(y 00 x)(xy 0 + 2y 0 y(x − 1))



y(1) = −1
y 0 (1) = 0


 00
y (1) = 2
(b) Resolva por Euler em I=[1,1.4] com 2 passos.
14. Dada a equação diferencial
 00
 y = y 0 + 2y − xsen(x)
y(0) = 1
 0
y (0) = −1
(a) Resolva por Euler em I=[0,0.3] com h=0.1. Use x em radianos.
(b) Represente a solução numérica obtida em um par de eixos cartesianos
15. A equação de Van der Pol é:
 00
 y + (1 − y 2 )y 0 + y = 0
y(0) = 0.5
 0
y (0) = 0
Obtenha y(0.4) com h=0.1 usando Euler.