Aula 4
Pêndulo de torção
Alexandre Suaide
Notas de aula
http://www.dfn.if.usp.br/~suaide/fep2198/
Objetivos da experiência
• Explorar fenômenos oscilatórios e
periódicos
– Estudo do período de oscilação de um
pêndulo
– Estudo de movimento em meio viscoso
• Dissipação
• Aprender a utilizar papel mono-log
Pêndulo de torção
q
• Problema similar ao
pêndulo simples
v
P=mg
– Em vez de força
gravitacional, temos
um torque devido à
torção exercida no
fio
w
q
Resolvendo o problema
• Experiência I (forças
centrais)
•
w está na direção z
– Movimento no plano x-y
• Modelo simples para o
torque de um fio metálico
– Similar a uma mola
d
d
L  I w 
dt
dt
d
d
Lz  I w  
dt
dt
  kq
Assim...
• Substituindo as equações
d
d2
I w   z  I 2 q  kq
dt
dt
•
Resolvendo a equação
diferencial acima
q (t )  qmax cos(w0t )
•
w0 é a freqüência natural
de oscilação do pêndulo
k
w0 
I
Movimento no caso de atrito
viscoso
• Pêndulo imerso em óleo
– Torque extra proporcional à
velocidade
 vis
• Equação do movimento
d2
d
I 2 q  kq  b q
dt
dt
• Solução
d
 b q
dt
q (t )  qmax e t cos(w1t )
– O movimento é atenuado
b
 
2I
– A freqüência de oscilação é
menor
w1  w02   2
Medidas: parte 1 – Movimento
“livre”, sem atenuação
• Aproximação de sistema não dissipativo é
muito aproximada
– Porém, a precisão das medidas permitem
essa aproximação
• Medir períodos de oscilação
– Medir o tempo de 10 oscilações e tirar a
média
– Repetir 5 vezes essa medida
• Calcular média, desvio padrão e erro da média
Cont. Medida dos pontos de retorno
• Medir a posição de retorno usando a escala colada no
pêndulo
– Medir à esquerda e à direita
– IMPORTANTE: NOTE QUE A INCERTEZA DA MEDIDA É
MUITO MAIOR QUE A INCERTEZA DA ESCALA
• Medir a posição de equilíbrio
• Calcular deslocamentos em relação à posição de
equilíbrio
• Fazer gráfico da posição de retorno como função do
tempo
– Assumir intervalos de tempo proporcionais ao período de
oscilação
• Calcular momento de inércia do pêndulo 
– Calcular a constante k do fio
Medidas: parte 2 – Movimento em
meio viscoso
• Mergulhar a base do pêndulo em óleo
– Movimento será atenuado e o período deve
ser maior
• Medir períodos de oscilação
– Medir o tempo de 10 oscilações e tirar a
média
– Repetir 4 vezes essa medida
• Calcular média, desvio padrão e erro da média
Cont. Medida dos pontos de retorno
com movimento atenuado
• Medir a posição de retorno usando a escala colada no
pêndulo
– Medir à esquerda e à direita
– IMPORTANTE: NOTE QUE A INCERTEZA DA MEDIDA É
MUITO MAIOR QUE A INCERTEZA DA ESCALA
• Medir a posição de equilíbrio
• Calcular deslocamentos em relação à posição de
equilíbrio
• Fazer gráfico da posição de retorno como função do
tempo em papel mono-log
– Assumir intervalos de tempo proporcionais ao período de
oscilação
• Calcular a constante de dissipação, , a partir do gráfico
di-log
• Calcular a energia dissipada por período de oscilação
Papel mono-log
• O papel mono-log é bom para gráficos do tipo
yA
x
• Aplicando log dos dois lados
log( y)  log( A )  x log( A)
x
• Equação de reta
Y  aX
Y  log( y )
X x
a  log( A)
Note a
diferença do
di-log
Resolvendo
graficamente
– Coeficiente
angular é loge
– Coeficiente
linear é q0
– Não esquecer
erros
q0
Dy = log(P1)-log(P0)
– Fazer gráfico do
módulo dos pontos
de inversão vs.
tempo
Posição de inversão
• Papel mono-log
Dx = t1-t0
Retas auxiliares
para estimar
incertezas
t (s)