Aula 17
Representação de
sistemas trifásicos em
valores “por unidade”
Representação de
sistemas trifásicos em
valores “por unidade”
Sistema por unidade
A solução de um sistema interconectado com
diferentes níveis de tesão implica em uma
trabalhosa conversão dos valores de
impedância para um único nível de tensão.
No entanto, em sistema elétrico de potência se
utiliza o sistema por unidade onde as várias
grandezas físicas como potência, tensão,
corrente, impedâncias são descritas como
frações decimais de grandezas base.
Desta forma os diferentes níveis de tensão são
eliminados e a rede elétrica composta de
geradores, transformadores, linha de diferentes
níveis de tensão se reduzem a simples
impedâncias.
Vantagens do sistema pu
O sistema pu tem uma série de vantagens,
como descrito a seguir:
•O sistema pu permite que se tenha uma idéia
clara das grandezas do sistema, como
impedância, tensão, corrente, potência;
•Normalmente os valores em pu de
equipamentos semelhantes encontram-se
dentro de estreitas faixas, independente da
potência do equipamento. Já os valores
ôhmicos variam muito de acordo com a
potência.
•Os valores de impedância, tensão, corrente do
transformador são os mesmos não importando
se estão referidos ao lado de alta ou baixa.
Esta é uma grande vantagem, porque o nível
de tensão some e análise do sistem de potência
se resume a soluçào de circuito com
impedâncias.
Bases
O valor por unidade de qualquer grandeza é
definido por :
grandeza por unidade =
Exemplos
−
Spu =
•
I pu =
•
I pu =
−
Zpu =
valor real
valor da base
−
S
Sbase
•
V
Vbase
•
I
I base
−
Z
Zbase
Onde os numeradores (valores reais) são
fasores ou grandezas complexas e os
denominadores são sempre grandezas reais.
As 4 bases
Normalmente para se definir as bases de um
sistema se utiliza a potência trifásica base e a
tensão de linha base. As demais bases são
calculadas utilizando as leis de circuito, ou
seja :
I base =
Sbase
3Vbase
Vbase / 3 Vbase 2
Zpu =
=
I base
Sbase
Lembrem-se : valores de
base => módulos (valores
reais)
Por unidade - seqüência
Os circuitos trifásicos são representados em
por unidade normalmente através dos circuito
de seqüência.
No nosso caso estudamos o sistema em regime
permanente sem falta, ou seja, trabalhamos
somente com o circuito de seqüência positiva.
O sistema trifásico, representado por seu
equivalente de seqüência positiva, tem os
seguintes elementos/grandezas:
•linha - > impedância longitudinal de
seqüência positiva (linha curta),
•cargas -> pela impedância por fase (igual
numericamente ao valor de seqüência positiva)
•tensão -> tensão de fase (seq +)
•corrente -> corrente de fase (seq +)
•potência -> monofásica (seq +)
Leis de circuito
Aplicando as leis de circuito:
•*
Spu = V pu . I pu
−
•
•
−
•
V pu = Z pu . I pu
−
2
Vpu
Zpu =
−*
Spu
Mudança de base
Normalmente os vários elementos do sistema
têm seus dados fornecidos em pu (ou %) para
uma determinada base, sendo que a
impedância da linha normalmente é fornecida
em valores ôhmicos.
Para podermos representar o sistema em pu é
preciso primeiro trabalhar com uma única base
(tensão e potência), sendo necessário
converter os valores das bases iniciais para o
pu na nova base.
Normalmente a base de potência escolhida é
100 MVA, e a tensão base é a tensão de linha
da maioria das linhas.
Quando a tensão base é escolhida as demais
tensões bases dos diferentes níveis de tensão
do sistema não são mais independentes, mas
função das relações de tensão dos
transformadores.
Base/níveis de tensão
As bases dos diversos níveis de tensão do
sistema são definidas pelas relações de
transformação dos transformadores.
Por exemplo, se a tensão base no lado de baixa
de um transformador Y-Y 230/69 kV for
definida como 60 kV, a tensão base no lado de
alta será 60 / 69 x 230 = 200 kV.
Normalmente se escolhe como tensões bases
valores iguais aos nominais.
Analisaremos os transformadores com
detalhes depois.
Exemplo mudança de base
Vamos supor que uma impedância foi definida
para uma potência base S e uma tensão base
V. Queremos obter o valor em pu para um
novo conjunto de potência/tensão base N.
Temos a impedância na base velha :
−
−v
Zpu =
−
ZΩ
= ZΩ
v
Zbase
(
v
Sbase
)
2
v
Vbase
Vamos obter a impedância em pu na base
nova N.
−
−n
−
Snbase
ZΩ
Zpu =
= ZΩ
n
2
n
Zbase
Vbase
2 n
2

n
v
v
v
n
v


−
−
−
Vbase
Sbase
 Vbase   Sbase 
Zpu = Zpu
= Zpu 
v
2
2  v

n
Sbase V n
S


V
14
4244
3 base
 base   base 
(
−
ZΩ
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Unidade em pu para trafo
monofásico
Vamos supor que uma impedância foi definida
para uma potência base S e uma tensão base
V. Queremos obter o valor em pu para um
novo conjunto de potência/tensão base N.
Temos a impedância na base velha :
−v
Zpu =
−
ZΩ
v
Zbase
−
= ZΩ
(
v
Sbase
)
2
v
Vbase
Trafos monofásicos em p.u.
Teoricamente as bases de um sistema podem
ser escolhidos arbitrariamente. Porém
normalmente são escolhidas a potência
aparente nominal e a tensão nominal como
bases. Desta forma:
Sbase = Potência nominal, VA
Vbase = Tensão nominal, V
Para o primário do transformador, teremos:
Vbase , VB1 = Vno min al 1 = VN 1
I base , I B1 = I no min al 1 = I N 1
VN 1
Z base , Z B1 =
I N1
Impedância equivalente do trafo em p.u.:
Zequiv1, pu =
Zequiv1
Z base1
I N1
= Zequiv1
VN 1
Trafos monofásicos em p.u. (cont.)
Para o secundário do Trafo, teremos:
Vbase , VB 2 = Vno min al 2 = VN 2
I base , I B 2 = I no min al 2 = I N 2
Z base , Z B 2
VN 2
=
IN2
Impedância equivalente do trafo em p.u.:
Zequiv 2, pu =
Zequiv 2, pu =
Zequiv 2
Z base 2
Zequiv 2
Z base 2
IN2
= Zequiv 2
VN 2
Zequiv1
=
Z base1
a2 = Z
equiv1, pu
a2
Os valores de impedância, tensão, corrente do
transformador são os mesmos em p.u. não
importando se estão referidos ao lado de alta
ou de baixa. Isto elimina a relação de
transformação.
Exercício 1
A corrente de excitação de um trafo, 1φ,
10 kVA, 2200/220 V, 60 Hz, é 0,25 A
medido no lado de alta. A impedância série
do transformador é 10,4 + j 31,3 referido
ao lado de alta. Tendo como base os
valores nominais do trafo:
(a) Determine as bases de tensão, corrente, e
impedância para o lado de alta e de baixa.
(b) Expresse a corrente de excitação em p.u
para os lados de alta e baixa.
(c) Obtenha o circuito equivalente em p.u
(a) Sbase=10000 VA ; a = N1/N2=10
Vbase2=2200 V
; Vbase1=220 V
I base2 =
10000
= 4,55 A
2200
I base1 =
10000
= 45,5 A
220
2200
Zbase2 =
= 483,52 Ω
4,55
(b)
Zbase1 =
220
= 4,835 Ω
45,5
Iϕ , p.u. 2
0,25
=
= 0,055 p.u
4,55
0,25 ⋅ a
Iϕ , p.u.1 =
= 0,055 p.u
45,5
(c)
Z equiv, p.u. 2
10 + j31,3
=
= 0,0215 + j 0,0647 p.u
483,52
 1 
(10 + j31,3) ⋅  
 100  = 0,0215 + j 0,0647 p.u
Zequiv, p.u.1 =
4,835
Modelo em p.u
Exercício 2
O sistema a analisar é apresentado a seguir,
sendo composto por 02 grupos geradores, 02
transformadores (elevador e abaixador), linha
de transmissão e carga.
T1
LT
N1
T2
N2
G1
G2
carga
Normalmente as tensões utilizadas para
fornecer os dados são tensões de linha, as
potências são trifásicas e as impedância são
valores de seqüência positiva (linha e carga
equilibrada).
Dados
Gerador (G1 e G2)
Reatância transitória Xg [%]
10
Potência nominal
Sgb [MVA]
50
Tensão nominal
Vg [kV]
16
Transformador
T1
Reatância dispersão Xd [%]
Potência nominal
T2
8
8
Stb [MVA] 120
Tensões linha [kV] VLp/VLs
100
13,8∆/138Y 138Y/13,8∆
Carga 1 - motor
Reatância transitória Xm [%]
10
Potência nominal
Smb [MVA] 80
Tensão nominal
Vm [kV]
13,8
Linha de transmissão
Impedância longitudinal
Z1 [Ω] 1,7 + j 19
Carga 2 - impedância
Resistência
R [Ω]
2
Vamos arbitrar que a tensão base do sistema
será a tensão de linha da linha de transmissão
(V=138 kV) e a potência base será 100 MVA
(trifásica).
Todos os demais elementos do sistema
deverão ter suas impedâncias transformadas
para os valores base do sistema (respeitando
as relações de transformação dos
transformadores).
Tensão base junto aos geradores
Vbase = 138 ×
13,8
= 13,8 kV
138
Tensão base junto às cargas
Vbase = 138 ×
13,8
= 13,8 kV
138
Calculando os valores em pu
G1;G2
T1
1
Xd = 0,08 ×
× 100 = 0,0667 pu
120
120
ST1 =
= 1,2 pu
100
Motor
Carga
LT
16 2 100
Xg = 0,10 ×
×
= 0,26885 pu
2
50 13,8
50
Sger =
= 0,5 pu
100
16
Vnom =
= 1,16 pu
13,8
1
Xm = 0,10 × × 100 = 0,125 pu
80
120
Sm =
= 1,2 pu
100
R = 2×
100
13,82
Z1 = (1,7 + j 19 ) ×
= 1,0502 pu
100
138
2
= 0,00892 + j 0,09977 pu
Exercício 3
O diagrama unifilar do sistema trifásico a
dado a seguir. Utilize como bases a potência
de 100 MVA e a tensão de 230 kV (LT 1).
Desenhe o circuito com todas as impedâncias
em pu.
1
T1
2
3
T2
4
LT1
230 kV
G1
T3
5
LT2
138 kV
6
T4
carga
M
Dados
Gerador
Reatância transitória Xg [%]
18
Potência nominal
Sgb [MVA]
90
Tensão nominal
Vg [kV]
13,8
Transformador T1 - YY T2 - YY T3 - YY T4 - YY
Xdisp [%]
10
6
6,4
8
Snom [MVA]
50
40
40
40
VL [kV]
13,8/230 230/6,9
13,8/138 138/6,9
Linha de transmissão
Impedância
longitudinal [Ω]
ZT1+ 4 + j 48,4
ZT2+ 6 + j 65,43
Carga 1 - motor
Reatância transitória Xm [%]
18,5
Potência nominal
Smb [MVA] 66,5
Tensão nominal
Vm [kV]
6,56
Carga 2 - impedância
Resistência 57 MVA fp 0,6 atras. Vnom – 6,56 kV
Tensões base
Tensão base = 230 kV (linha)
Potência base - 100 MVA (trifásico)
Vamos determinar as tensões base para cada
trecho do sistema.
A tensão nominal da linha é dada como tensão
base. Deste modo as demais tensões bases
estão definidas a partir das relações de
transformação dos transformadores.
Vbase − LT1 = 230 kV
13,8
Vbase − ger = 230
= 13,8 kV
230
6,9
Vbase − c arg a = 230
= 6,9 kV
230
138
Vbase − LT 2 = 13,8
= 138 kV
13,8
Corrigindo Gerador e Trafos
Como as bases de tensão do gerador e
transformadores são as mesmas é preciso
corrigir somente a base de potência para a
base de 100 MVA.
 100 
G : X = 0,18
 = 0,20 pu
 90 
 100 
T1 : X = 0,10
 = 0,20 pu
 50 
 100 
T 2 : X = 0,06
 = 0,15 pu
 40 
 100 
T3 : X = 0,064
 = 0,16 pu
 40 
 100 
T 4 : X = 0,8
 = 0,20 pu
 40 
Cargas
Para o motor é preciso corrigir tanto a
potência quanto a tensão, pois os valores
nominais são diferentes da base.
2
 100  6,56 

 = 0,25146 pu
M : X = 0,185
 66,5  6,9 
A outra carga é fornecida através de sua
potência aparente e do fator de potência, sendo
necessário somente passar para pu na base
correta.
−
S3φ = 57∠ cos −1(0,6) = 57∠53,130° MVA
−
ZΩ =
6,56 2
(57∠53,130
)*
= 0,75498∠53,130° = 0,45299 + j 0,60398 Ω
6,92
Z base =
= 0,4761 Ω
100
−
C :Z =
0,45299 + j 0,60398
= 0,95146 + j 1,2686 pu
0,4761
Linhas
Para obter as impedâncias das linha em pu é
preciso primeiro calcular as impedâncias
bases.
230 2
Zbase −1 =
= 529 Ω
100
138 2
Zbase − 2 =
= 190,44 Ω
100
Em seguida calcula-se os valores em pu
utilizando as impedâncias de base.
−
4 + j 48,4
L1 : Z1 =
= 0,00756 + j 0,0907 pu
529
−
6 + j 65,43
L 2 : Z2 =
= 0,0315 + j 0,3436 pu
190,44
Circuito em pu
O circuito em pu é apresentado a seguir :
j 0,20 0,00756 + j 0,0907 j 0,15
I
j 0,20
Im
j 0,16
0,0315 + j 0,3436
j 0,20
0,95146 + j 1,2686
Eg
4
j 0,25146
1
M Em
Exercício 4
Para o circuito obtido, sabendo que o motor
opera a plena carga com fp 0,8 adiantado a
uma tensão terminal de 6,56 kV determine :
•Tensão do gerador na barra 1
•As FEM do gerador e motor.
Resp.:
Tensão na barra do motor V4;
Corrente no motor e na carga
•
6,56
V4 =
= 0,95 pu
6,9
−
66,5
Sm =
∠ − 36,87° pu
100
•
0,665∠ + 36,87°
Im =
= 0,7∠ + 36,87° pu
0,95
•
Ic =
0,95
= 0,59908∠ − 53,1298° pu
0,95146 + j 1,2686
Corrente no equivalente das linhas / trafos:
•
•
•
I LT = I m + Ic = 0,92136∠ − 3.68794° pu
−
Z14a = j 0,2 + 0,00756 + j 0,0907 + j 0,15 = 0,00756 + j 0,4407 pu
−
Z14 b = j 0,16 + 0,0315 + j 0,3436 + j 0,20 = 0,0315 + j 0,7036 pu
−
−
−
Z14 = Z14a // Z14 b = 0,0075287 + j 0,27102 pu
A tensão junto ao gerador:
•
•
−
•
V1 = V4 + Z14 . I14 =
= 0,95 + (0,0075287 + j 0,27102 ) . 0,92136 ∠ − 3.68794 °
= 1,00428 ∠14,3407° pu
Transformadores de
três enrolamentos
Uso frequente
Os transformadores de três enrolamentos, são bastante
utilizados nos sistemas de potência. Normalmente ao
terceiro enrolamento é de baixa tensão.
Uso frequente:
• pode ser conectado à fonte suporte de potência
reativa (condensador síncrono);
• Pode ser utilizado para alimentação da subestação;
•Filtrar correntes harmônicas, ou de seqüência zero,
devido ao desbalanço de cargas.
Estrutura Básica:
Relações primário/secundário/terciário
Relações entre tensões e correntes (caso ideal):
Ep
Es Et
=
=
N p N s Nt
Np
a ps =
Ns
Ep =
Np
Es =
Ns
Np
a pt =
Nt
E p = a ps Es = a pt Et
I
Relações entre correntes (caso
ideal):
s
I p N p = I s N s = It Nt
Ns
Nt
I p = Is
= It
Np
Np
I p N p = I s N s = It Nt
Is
It
Ip =
=
a ps a pt
Np
Nt
Et
Modelo real e ensaios
Modelo ideal com parâmetros referidos do lado
primário:
Ensaio para determinação das perdas no núcleo:
As perdas no núcleo podem ser determinados
através de ensaios de circuito aberto : enrolamento
primário e secundário em aberto e tensão aplicada
no primário.
Determinação de Zp, Zs, Zt:
Zp, Zs, Zt são calculados indiretamente através de
três ensaios de curto-circuito.
Ensaios de curto-circuito
1º ensaio: medição de impedância vista do primário
com enrolamento secundário em curto, terciário em
aberto.
Z ps = Z p + Z s
2º ensaio: medição de impedância vista do primário
com enrolamento terciário em curto, secundário em
aberto.
Z pt = Z p + Z t
3º ensaio: medição de impedância vista do secundário
com enrolamento terciário em curto, primário em
aberto.
Z st = Z s + Z t
Impedâncias de dispersão
Três equações e três incógnitas, temos :
(
)
(
)
(
)
1
Zp = Zps + Zpt − Zst
2
1
Zs = Zps + Zst − Zpt
2
1
Z t = Zpt + Zst − Zps
2
p
p
s
t
s
t
Pontos p s e t são ligados às partes do sistema
que estão unidas aos enrolamentos prim., sec.
e terc.
Bases de potência
Num transformador de 02 enrolamentos
normalmente tem-se uma única base de
potência para o transformador, ou seja, uma
única base para os dois enrolamentos.
Já para o transformador de 03 enrolamentos as
potências por enrolamento podem ser
diferentes.
p
s
Sp ≠ Ss ≠ St
t
As impedâncias normalmente são fornecidas
em % para a tensão base do lado medido e a
potência base do mesmo enrolamento.
É preciso converter todas as impedâncias para
uma única base de potência e corrigir as
tensões se não forem iguais às relações das
tensões nominais.
Exemplo – Obtendo Zpu
Os valores nominais de um transformador com
três enrolamentos são:
Primário: Y; 66 kV; 10 MVA
Secundário: Y; 13,2 kV, 7,5 MVA
Terciário: ∆; 2,3 kV, 5 MVA.
Desprezando a resistência, as reatâncias de
dispersão medidas nos ensaios serão:
Zps = 7 %, numa base 10 MVA, 66 kV
Zpt = 9 %, numa base 10 MVA, 66 kV
Zst = 6 %, numa base 7,5 MVA, 13,2 kV
Determine as reatâncias por unidade do
circuito de seqüência positiva, para uma base
de 10 MVA, 66 kV no circuito do primário.
Solução
Tensões e potências bases
primário
⇒ Vb = 66 kV
Sb = 10 MVA
sec undário
⇒ Vb = 13,2 kV
Sb = 7,5 MVA
terciário
⇒ Vb = 2,3 kV
Sb = 5 MVA
Correção das impedâncias
Xps = 0,07 pu
Xpt = 0,09 pu
1
Xst = 0,06 ×
× 10 = 0,08 pu
7,5
Impedâncias de dispersão
(
1
0,07 + 0,09 − 0,08)
Xp = (Xps + Xpt − Xst ) =
= 0,04 pu
2
2
(
1
0,07 + 0,08 − 0,09)
Xs = (Xps + Xst − Xpt ) =
= 0,03 pu
2
2
(
1
0,09 + 0,08 − 0,07 )
Xt = (Xpt + Xst − Xps ) =
= 0,05 pu
2
2
Exercício
Uma fonte de tensão constante (barra infinita)
alimenta uma carga puramente resistiva de
5 MW, 2,3 kV e um motor síncrono de
7,5 MVA, 13,2 kV, com uma reatância
transitória X = 0,20 %. A fonte é ligada ao
primário do tranformador de 3 enrolamentos
dado. O motor e a carga estão ligados ao
secundário e ao terciário do transformador
respectivamente.
Faça o diagrama de impedâncias do sistema e
determine as impedâncias em pu supondo a
base de 66 kV e 10 MVA no primário.
Calculando as impedância em pu para as bases
corretas
c arg a
2,32 10
R=
×
= 2,0 pu
2
5
2,3
motor
1
X = 0,20 ×
× 10 = 0,2667 pu
7,5
j 0,03
j 0,2667
j 0,04
j 0,05
E¶
2,0
M
Em