UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
Análise de Sistemas
Elétricos de Potência 1
Representação em PU
P rof. Fl á vi o Va nde rson G ome s
E-mail: [email protected]
ENE005 - Período 2012-3
Ementa Base
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e
Desequilibrados;
Revisão de Representação “por unidade” (PU);
Componentes Simétricas;
Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra,
Zbarra);
Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Introdução
3
Sistema em Valor Percentual ou Por Unidade (ou PU)
é uma forma de expressar as grandezas elétricas em um
circuito de forma normalizada, com base em valores prédeterminados.
Exemplo:
Para uma potência base igual a 100MVA
Uma potência de 80MVA terá valor de 0,80pu ou 80%
(=80MVA/100MVA)
Vantagens:
Simplificação dos cálculos (Normalização)
Melhor sensibilidade entre grandezas
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Valores em PU
4
Em Análise de Redes, os valores percentuais ou PU são
determinados a partir das duas relações físicas a seguir:
Impedância
Tensão
V = Z ⋅I
S =V ⋅I
Potência
Corrente
Assim, duas grandezas são escolhidas como valores bases e
as outras duas são calculadas em relação as bases adotadas.
Por convenção são escolhidas a tensão e a potência.
Em SEP as bases geralmente são os valores nominais.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Valores Base
5
Vbase
e
Sbase
Corrente base:
I base
Sbase
=
Vbase
Impedância base:
Z base
2
base
Vbase V
=
=
I base Sbase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Cálculo das Grandezas em PU
6
Tensão em PU:
Potência em PU:
Impedância em PU:
Corrente em PU:
V
v=
( pu − V )
Vbase
s=
z=
i=
S
Sbase
Z
Z base
I
I base
( pu − VA)
S base
= Z ⋅ 2 ( pu − Ω )
Vbase
Vbase
=I⋅
( pu − A)
S base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Sistema PU com grandezas fasoriais
7
Seja a tensão fasorial em Volt:
V& = V∠θ = Vr + j.Vm
Em PU:
V
Vr
Vm
&
V pu =
∠θ =
+ j.
Vbase
Vbase
Vbase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Sistema PU com grandezas fasorias
8
A potência base adota é sempre a potência aparente,
Então: &
S
P
Q
S pu =
S base
∠θ =
Sbase
+ j.
Sbase
= Ppu + j.Q pu
Obs:
E se fosse adotado uma base para o P e outra para o Q?
Digamos que desejamos calcular: S =
Teríamos:
s=
S
Sbase
=
P +Q
2
2
Pbase
+ Qbase
2
2
P2 + Q2
2
≠
2
 P   Q 

 + 
 =
 Pbase   Qbase 
p2 + q2
Portanto, somente a potência aparente é usada como base.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Sistema PU com grandezas fasorias
9
Portanto:
S pu
Z pu =
P (W )
Ppu =
Sbase (VA)
S (VA)
=
Sbase (VA)
Z&
Z base
=
Z
Z base
Q (VAr )
Q pu =
Sbase (VA)
R pu =
R
Z base
X pu
X
=
Z base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Exercício 4.0.1
10
Seja um sistema do tipo gerador-linha-carga.
Calcular, em PU, o circuito equivalente e a tensão
necessária para o gerador manter a tensão na carga
em 200V.
Sabe-se que a carga absorve 100 kVA com fp=0,8
indutivo e que a impedância da linha é (0,024+j
0,08)Ω.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Solução: Exercício 4.0.1
11
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Solução: Exercício 4.0.1
12
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Exercício p/ Aluno
13
Seja um sistema do tipo gerador-linha-carga. A tensão no
gerador é 220 V/60 Hz. A carga é de impedância constante
e absorve 10 kW, com fator de potência 0,7 indutivo quando
alimentada por tensão de 200 V. A impedância da linha é 1,28
+ j0,80 ohms.
Calcule:
(a) A tensão na carga;
(b) A potência fornecida pelo gerador.
Adote: Tensão base = 200 V e Potência base = 10 kVA
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Dicas de Solução: Exercício p/ Aluno
14
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Dicas de Solução: Exercício p/ Aluno
15
Como continuar?
- Calcular a corrente fornecida pelo gerador;
- Calcular a tensão na carga;
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Mudanças de Base
16
Normalmente os parâmetros de um equipamento
estão com base diferente da adotada no sistema, o
que requer mudança de base.
Mudança de Base de Tensão;
Mudança de Base de Potência;
Mudança de Base de Corrente;
Mudança de Base de Impedância.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Mudança de Base de Tensão
17
Valor PU base antiga (Tensão)
v 0pu =
V
0
Vbase
Relação entre as bases
0
V = v 0pu .Vbase
Valor PU base nova (Tensão)
v1pu =
V
1
Vbase
1
V = v1pu .Vbase
1
0
v1pu .Vbase
= v 0pu .Vbase
Mudança de Base
v1pu = v 0pu .
0
Vbase
1
Vbase
A mudança de base de potência é feita de forma análoga
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Mudança de Base de Corrente
18
Valor PU base antiga (corrente)
i 0pu =
I
0
I base
0
I = i 0pu .I base
Relação entre as bases
1
0
i1pu .I base
= i 0pu .I base
Valor PU base nova (corrente)
i1pu
=
I
1
I base
1
I = i1pu .I base
1
I base
=
Mudança de Base
i1pu =
0
S
i 0pu . base
1
S base
1
Vbase
. 0
Vbase
1
S base
1
Vbase
1
base
1
base
S
i .
V
1
pu
0
I base
=
0
S base
0
Vbase
0
base
0
base
S
=i .
V
0
pu
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Mudança de Base de Impedância
19
Valor PU base antiga
z 0pu =
Z
0
Z base
Relação entre as bases
0
Z = z 0pu .Z base
1
0
z1pu .Z base
= z 0pu .Z base
Valor PU base nova
z1pu
=
Z
1
Z base
Z=
1
z1pu .Z base
1
Z base
=
1
(Vbase
)2
1
S base
0
Z base
=
0
(Vbase
)2
0
S base
Mudança de Base
z1pu
=
0
2
(
V
)
z 0pu . base
1
(Vbase
)2
1
S base
. 0
S base
z1pu .
1
(Vbase
)2
1
S base
= z 0pu .
0
(Vbase
)2
0
S base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Circuito PU de Sistema Trifásico
20
Seja um sistema trifásico simétrico equilibrado com
carga equilibrada:
S fase = V fase .I fase
V fase = Z fase .I fase
S3φ = 3.S fase
S fase
1
=
Vlinha .I linha
3
Adotando como base:
Tensão de fase e Potência Monofásica:
Então:
I base fase =
Sbase fase
Vbase fase
Z base fase =
Vbase fase e Sbase fase
Vbase fase
I base fase
=
2
Vbase
fase
Sbase fase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Circuito PU de Sistema Trifásico
21
Considerando o sistema em Y e adotando como base:
Vbase linha e Sbase 3φ
Tensão de Linha e Potência Trifásica:
Vbase linha = 3.Vbase fase e Sbase 3φ = 3.Sbase fase
Sabendo que:
Portanto:
I base linha =
Z base
Sbase 3φ
3.Vbase linha
=
3.Sbase fase
3. 3.Vbase fase
=
Sbase fase
Vbase fase
= I base fase
Vbase linha 3
Vbase linha 3
=
=
=
I base linha
Sbase 3φ 3Vbase linha
2
base linha
V
=
Sbase 3φ
(
=
3.Vbase fase
3.Sbase fase
)
2
=
2
Vbase
fase
Sbase fase
= Z base fase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Igualdade de valores PU (fase x linha)
22
Conseqüentemente, em valores em PU:
3.V fase
V fase
Vlinha
V pu linha =
=
=
= V pu fase
Vbaselinha
3.Vbase fase Vbase fase
S pu 3ϕ =
S3ϕ
Sbase 3ϕ
I pu linha =
Z pu
=
3.S fase
3.Sbase fase
I linha
I baselinha
=
=
S fase
Sbase fase
I fase
I base fase
= S pu fase
= I pu fase
Z
Z
=
=
= Z pu
Z base Z base fase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Circuito PU de Sistema Trifásico
23
Escolha de base em SEP:
Tensão de Fase e Potência Monofásica (de Fase), ou
Tensão de Linha e Potência Trifásica.
A relação em PU:
V pu linha = V pu fase
S pu 3φ = S pu fase
I pu linha = I pu fase
Z pu = Z pu
Note que a relação de igualdade acima só diz respeito ao
módulo das variáveis. Portanto, para carga em Y a relação
de ângulo entre a tensão de fase e de linha possui uma rotação
de 30º. Exemplo com seqüência direta: V&
= V&
∠300
pu linha
pu fase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Igualdade de valores PU
24
Observe que as igualdades são válidas para cada variável em PU
na sua própria base. Exemplo:
V pu linha = V pu fase
S pu 3φ = S pu fase
I pu linha = I pu fase
Z pu = Z pu
Termos da direita
Tensão de Fase e Potência Monofásica como Bases.
Termos da esquerda
Tensão de Linha e Potência Trifásica como Bases.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Exercício 4.0.2
25
Três impedâncias de 30 < 60 ohms são conectadas
em delta e alimentadas por uma tensão de 220 V.
Calcule as correntes de fase, de linha e a potência
complexa absorvida do sistema utilizando p.u.
Resolva considerando como valores base os dois grupos:
(a) Tensão de Fase e Potência Monofásica (Arbitre 1 kVA)
(b) Tensão de Linha e Potência Trifásica.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Exercício 4.0.3
26
Um Gerador Trifásico Simétrico alimenta por meio de uma
linha uma carga trifásica equilibrada em Y. Sabendo:
Impedância da Linha: (0,05 + j 0,15) Ω;
Tensão de Linha na Carga: 220V, 60Hz;
Potência Absorvida pela carga: 60kW com FP=0,60 indutivo.
Calcule usando PU:
(a) Circuito unifilar em PU;
(b) Tensão no gerador;
(c) O tamanho do banco de capacitor (em Y) para que o FP na barra de
carga seja unitário, mantendo-se a tensão de carga em 220V.
(d) Para a condição do problema acima, qual a nova tensão do
gerador?
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Circuito em PU de um Transformador
27
O transformador possui uma relação de tensão entre
os terminais primários e secundários.
Portanto a tensão base adotada no circuito onde está
conectado o enrolamento primário do trafo difere da
tensão base do circuito secundário.
Exceto se a relação do trafo for de 1:1
Dados Nominais de um Transformador:
Potência Nominal Aparente (MVA, kVA, VA)
Tensão Nominal do Enrolamento de Alta Tensão (kV, V)
Tensão Nominal do Enrolamento de Baixa Tensão (kV, V)
Impedância Equivalente ou de Curto-Circuito (% , PU)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Circuito Equivalente de um Transformador
28
Considerando o trafo ideal com a relação:
N P VP tem-se:
≅
N S VS
VP N P
=
VS N S
IP NS
=
IS NP
ZP  NP 

= 
Z S  N S 
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
2
Valores V-PU em Circuito com Trafo
29
Seja um trafo ideal com relação de transformação N1:N2
Seja Vbase a tensão base no primário
e V’base a tensão base no secundário.
Fazendo:
V1
= tensão aplicada ao primário em pu,
v1 =
Vbase
V2
v2 = ' = tensão secundária em pu.
Vbase
Sabemos que:
V1 N1
=
V2 N 2
N2
logo: V2 = V1
N1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Valores V-PU em Circuito com Trafo
30
V1
v1 =
Vbase
VNB 1
V2
N2 1
v2 = ' = V1. . ' = V1.
. '
Vbase
N1 Vbase
VNA Vbase
Como queremos que a relação de espiras, em pu, seja 1:1
donde
v1 = v2
VNB 1
V1
= V1.
. '
Vbase
VNA Vbase
VNA Vbase
= '
VNB Vbase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Valores VA-PU em Circuito com Trafo
31
Sabemos que em um trafo ideal a potência que entra
no primário é a mesma que sai no secundário.
Então:
S1 = S 2 (VA)
s1 = s2
Ou seja:
(pu )
S base
S1 s1.S base
=
∴ 1=
S 2 s2 .S 'base
S 'base
S base = S 'base
Para termos em pu potências iguais no primário e no
secundário as bases deverão ser iguais.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Valores A-PU em Circuito com Trafo
32
Em um trafo ideal a relação das correntes é:
I1 N 2 V2
=
=
I 2 N1 V1
N1
V1
I 2 = I1 ⋅
= I1 ⋅
N2
V2
As correntes base são:
I base
Sbase
=
Vbase
'
I base
'
S base
S base V1
V1
= ' =
⋅ = I base ⋅
Vbase Vbase V2
V2
Portanto as correntes em PU são:
i1 =
I1
I base
Ou seja, em PU:
i2 =
I2
'
I base
I1 (V1 V2 )
I1
=
=
= i1
I base (V1 V2 ) I base
i1 = i2
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Valores Ω-PU em Circuito com Trafo
33
Relação das impedâncias transformador:
Z 2  V NB
= 
Z1  V NA




2
 V NB
Z 2 = Z1 
 V NA
Impedâncias Base:
Z base
2
base
V
=
Sbase
Z
Impedâncias em PU:
V
=
S
2
2
 VNB 
V  VNB 

 = Z base 

=
Sbase  VNA 
 VNA 
2
base
2
Z
Z (V V )
S
z2 = ' 2 = 1 NB NA 2 = Z1 base
= z1
2
Z base Z base (VNB VNA )
Vbase
2
Z1
Sbase
z1 =
= Z1 2
Z base
Vbase
Ou seja, em PU:
'
base
'2
base
'
base




z1 = z 2
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Representação de Trafo Ideal em PU
34
Em PU o trafo passa a ser um transformador com
relação 1:1
Ou seja:
v1 = v2
i1 = i2
z1 = z 2
s1 = s2
Onde os valores base são dados por:
N2
V 'base =
Vbase
N1
S 'base = Sbase
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Representação de Trafos Reais em PU
35
Em grandezas reais:
Em PU:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Representação de Trafos Reais em PU
36
Geralmente:
O ramo magnetizante é desprezado;
As impedâncias série são concentradas.
Assim, o transformador real em PU se torna:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Mudança de Base da Impedância do Trafo
37
Normalmente, a impedância série do trafo é dado em
valor percentual ou PU em função de seus valores
nominais.
O problema é que geralmente a potência e tensões
nominais do equipamento diferem das adotadas pelo
sistema
Neste caso exige-se um mudança de base de
Impedância:
Z pu
 VNominalequip
= Z puequip 
 Vbase
sistema

2
 S Nominalsistema

 Sbase
equip

An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Rede com Transformadores
38
Numa rede com vários níveis de tensão definidos
pelos transformadores existentes, necessita-se da
adoção de várias bases para atender os níveis de
tensão do sistema.
As bases deverão ser corretamente escolhidas para que, em
PU, os trafos tenham relação 1:1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
V pT 2
V pT 1
Rede
com Transformadores
Vbase ' ' = V
Vbase = Vbase '.
VST 2
Vbase ' = Vbase ' '.
39
VPT 2 : VST 2
Trecho A
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Trecho B
VST 1
Definida
VPT 1 : VST 1
Trecho C
Escolher uma potência base para todo o sistema;
Estabelecer os trechos delimitados pelos trafos;
Escolher a tensão base para um determinado trecho;
A partir desta tensão base calcular seqüencialmente a tensão base dos
trechos adjacentes respeitando-se a relação de transformação do trafo
de ligação dos trechos;
Calcular a corrente e a impedância base de cada trecho;
Calcular as impedâncias em PU dos componentes de rede;
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Exemplo: Rede com Transformadores
40
Exemplo: Rede com Transformadores
41
Exemplo: Rede com Transformadores
42
Exercício 4.0.4 (p.u. trafo monofásico)
43
Um gerador monofásico alimenta, por meio de uma linha,
um transformador, o qual alimenta, por outra linha, uma
carga.
A impedância da linha que liga o gerador ao trafo: (2+j4)Ω;
A impedância de linha que liga o trafo à carga: (290 + j970) Ω;
A potência absorvida pela carga: 1MVA, fator de potência 0,8
indutivo;
A tensão aplicada à carga: 200kV;
Os dados de chapa do transformador: 13,8 – 220kV; 1,5MVA;
req=3% e xeq=8%.
Determinar o circuito equivalente em PU, a tensão e a
corrente em todos os pontos do circuito em PU e em valores
reais .
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
Transformador de 3 enrolamentos
44
-
Transformador de 3 enrolamentos
45
1
2
+
−
1
=
2
+
−
1
2
+
−
=
=
Transformador de 3 enrolamentos
46
Exemplo: Um transformador de 3 enrolamentos possui os seguintes valores de
impedância:
= 0.07 pu nas bases do primário
= 0.09 pu nas bases do primário
= 0.06 pu nas bases do terciário
Potência nominal: 10/10/7,5 MVA
Tensões nominais: 66/13.2/2.3 kV
Colocar o trafo na base de 10 MVA
=
.
= 0.07 pu
= 0.09 pu
= 0.08 pu
= 0,06.
10
= 0,08
7,5
nas bases mesmas bases
Transformador de 3 enrolamentos
47
= 0.07 pu
= 0.09 pu
= 0.08 pu
1
=
2
=
!
=!
+
nas bases mesmas bases
−
+
−
+
−
1
= 0,07 + 0,09 − 0,08 = 0,04
2
=
!
0,07 + 0,08 − 0,09 = 0,03
=! 0,09 + 0,08 − 0,07 = 0,05