PROGRESSÕES
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01) Nas figuras a seguir, a curva é o gráfico da função f  x   2 x . Observe atentamente o que ocorre com os
retângulos hachurados para x  1. Em cada uma das figuras, eles são apenas os primeiros elementos dos
infinitos que possuem as mesmas características.
Com relação ao exposto, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01) As alturas dos retângulos na Figura 1 são, sucessivamente, 21,20, 21,22, ....
02) As alturas dos retângulos na Figura 2 são, sucessivamente, 20, 21, 22, 23, ...
04) A soma das áreas dos infinitos retângulos observados na Figura 1 é 4.
08) A soma das áreas dos infinitos retângulos observados na Figura 2 é 3.
16) É impossível calcular a soma das áreas dos infinitos retângulos em qualquer das figuras.
02) Considere:
T1 o triângulo equilátero de lado unitário;
T2 o triângulo cujos lados são os segmentos de reta que unem os pontos médios dos lados do triângulo T1;
T3 o triângulo cujos lados são os segmentos de reta que unem os pontos médios dos lados do triângulo T2.
Continue indefinidamente o processo criando os triângulos T4, T5, T6, …, Tn , ….
Denotando por li, hi e Ai, respectivamente, as medidas do lado, da altura e da área do triângulo Ti, assinale a(s)
alternativa(s) correta(s).
01. A sequência infinita
A1  A 2 , A1  A3 , A1  A 4 , …, A1  A n
, … é uma P.G.
02. A sequência infinita h1, h2, h3, …, hn, … é uma P.G. de razão
3
2
.
04. A sequência infinita l1, l2, l3, …, ln, . é uma P.G. de razão 1 .
2
08. O valor h10 é maior que 19 .
2
16. A sequência infinita
A1  A 2 , A1  A3 , A1  A 4 , …, A1  A n
, … tem limite igual a
3
4
.
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03) A soma dos 2.º, 4.º e 7.º termos de uma P.G. é 111.
A soma dos 3.º, 5.º e 8.º termos é 222. Então, pode-se afirmar que:
1
2
01. A razão é q  .
02. a3 = 6 e a6 = 23  6.
04. a2 – a1 = 2.
08. o décimo primeiro termo é 1536.
16. a soma dos 7 primeiros termos é igual a 333 + a1 + a6.
32.
a2  a4 a4  a6
.

a1  a3 a3  a5
04) Considere uma sequência infinita de círculos C1, C2, C3,… , tangentes uns aos outros e com os centros colineares.
Cada círculo Cn contém em seu interior um quadrado inscrito Qn. Se o primeiro círculo tem de raio 1 cm e o raio
de Cn é metade do raio de Cn−1, para n ≥ 2 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01. A sequência {dn}, em que dn é a medida do diâmetro do círculo Cn , para n = 1,2,…, é uma progressão
aritmética.
02. A soma das medidas dos diâmetros dn é 4 cm.
04. A medida da área de C11 é

cm 2 .
22
08. A sequência {pn} , em que pn é a medida do comprimento de cada círculo Cn , para n = 1,2,…, é uma progressão
geométrica de razão
1
2
.
16. A sequência {an}, em que an é a medida da área do quadrado Qn, para n = 1,2,… , é uma progressão geométrica
de razão
1
4
.
05) Os números x, y e z formam uma P.A. crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8 unidades a z, a nova
sequência passa a formar uma P.G. Então o valor de z é ...
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06) (Adaptado) Na figura a seguir, o triângulo maior foi subdividido em mini triângulos congruentes de lado 
 1cm
. Denominando os mini triângulos de células e considerando que as células estão dispostas em sucessivas fileiras,
considere um triângulo T contendo 100 fileiras. Assinale a alternativa incorreta.
01) Na 100.ª fileira de T, existem 199 células.
02) O total de células em T é 1002.
04) T é um triângulo equilátero cujo lado mede 100 cm.
08) O total de células hachuradas em T é igual a 5.000.
16) A soma do número de células das duas fileiras centrais de T é 200.
07) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01. O 4.º termo da progressão geométrica
2,
6
2,
1
6 2
,... é
2
.
2
02. A representação gráfica de uma progressão geométrica de razão q , sendo q  0 e q  1 , está sobre uma
curva exponencial.
04. A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética com termo geral an 
é
5n  4
, em que n  1 ,
3
5n  4
.
18
08. Não existe progressão geométrica de razão q , em que q é um número real, tal que a3  21 e a7  168 .
16. O maior valor possível que pode ter a razão de uma progressão aritmética que contenha os números 13, 79 e
299 entre seus termos é 11.
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08) Cada uma das regiões poligonais, na sequência de figuras abaixo, é construída sobre quadrados com lados de 4,
5, 6 e 7 unidades de comprimento, sendo cada um dos quadrados interiores 1 unidade de área. Considere que
essas figuras são as 4 primeiras, nessa ordem, de uma sequência infinita que segue esse padrão.
Em relação às regiões poligonais demarcadas em negrito e às regiões sombreadas, em cada figura da sequência,
é correto afirmar que
01) As áreas das regiões poligonais demarcadas em negrito, na sequência de figuras, estão em uma progressão
geométrica.
02) A área da 117.a região poligonal demarcada em negrito, nessa sequência, será 475 unidades de área.
04) A área da região sombreada da n-ésima figura, nessa sequência, pode ser expressa por 2n2 – 4n + 6.
08) As áreas das regiões sombreadas, em cada uma das figuras da sequência, formam uma progressão aritmética
de razão 2.
16) Existe uma região poligonal demarcada em negrito, nessa sequência, cuja área é um número par.
09) (Adaptado) Considere uma progressão geométrica de razão
3 cujos três termos iniciais são o valor numérico da
área de um triângulo equilátero, o valor numérico da área de um quadrado e o valor numérico da área de um
hexágono regular, nessa ordem. Assinale a alternativa correta.
01) Se o lado do quadrado mede 1cm, então o quarto termo da progressão geométrica é
02) Se o lado do hexágono regular mede 1cm, então a área do quadrado mede
3 3.
3 cm2 .
04) O perímetro do triângulo equilátero, o perímetro do quadrado e o perímetro do hexágono regular (nessa
ordem) estão em progressão aritmética de razão
08) Se a área do triângulo equilátero mede
6.
3 cm2 , então a área do hexágono regular mede 6 3 cm2 .
16) Se o lado do triângulo equilátero mede 1 cm, então o perímetro do hexágono regular mede 3 2 cm .
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10) Sobre progressões, assinale o que for correto.
01) Para se obter o oitavo termo de uma P.G., basta multiplicar o segundo termo pela razão elevada a 6.
02) Se o sexto e o sétimo termos de uma P.G. valem, respectivamente, 3 e
igual a



3 2  3 , então o quinto termo é

3 2 3 .
04) A sequência  x, xy, 2 x  , com x  0 , é uma P.G.; então, necessariamente, y é um número irracional.
08) Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é n2  4n , para todo n natural, então a1 = 5 e r = 2.
16) Ao se efetuar a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A., com a1 = 17 e r = 4, por distração não foi somada
a décima nona parcela, então a soma encontrada foi 1011.
32) O número de termos de uma P.A. de razão r = 5 em que o primeiro termo é –1 e o último termo é 29 é igual a
6.
11) João e Pedro decidiram treinar para competir na Corrida de São Silvestre, mas cada um está fazendo um
treinamento diferente: João está correndo 40 minutos por dia e consegue percorrer uma distância de 6 km em
cada dia; já Pedro está correndo 30 minutos por dia, do seguinte modo: no primeiro dia, ele percorreu uma
distância de 3 km, no segundo dia percorreu 3,5 km, no terceiro dia percorreu 4 km, assim sucessivamente até o
décimo quinto dia, e reinicia o processo percorrendo, novamente 3 km. Com essas informações, assinale o que for
correto.
01) A sequência numérica formada pelas velocidades médias de Pedro, nos quinze primeiros dias de
treinamento, forma uma progressão geométrica.
02) No quarto dia, a velocidade média que Pedro correu foi igual à velocidade média que João correu.
04) No décimo dia, Pedro percorreu a distância de 7,5 km.
08) A distância total percorrida por Pedro, desde o primeiro até o décimo terceiro dia, foi a mesma percorrida
por João no mesmo período.
16) A diferença entre as distâncias totais percorridas por Pedro e João, nos quinze primeiros dias de treinamento,
é maior que 10 km.
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12) Considere os números naturais colocados ordenadamente em linhas da disposição triangular mostrada na figura
e suponha que a distribuição continue, indefinidamente, obedecendo ao mesmo padrão.
1
2
3
4
6
7
8
9
10 11 ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5
...
...
...
...
Sobre o exposto, é correto afirmar que
01) a coluna central não contém números compostos.
02) a linha de ordem k contém (2k −1) números naturais, k =1,2, …
04) a quantidade de números naturais escritos até o final da linha k é k2, k =1,2,…
08) a soma de todos os números naturais escritos até o final da 20.ª linha é 80.200.
16) o número natural 628 é o quarto número da 26.ª linha.
GABARITO
01) 04
02) 20
03) 42
04) 26
05) 24
06) 08
07) 11
08) 10
09) 16
10) 31
11) 14
12) 14