UFBA – Universidade Federal da Bahia
ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1. Considerações Fluidodinâmicas
8.1.1. Condições de Escoamento
Figura 8.1: Desenvolvimento de Camada Limite
fluidodinâmica laminar em um tubo circular.
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1. Considerações Fluidodinâmicas
8.1.1. Condições de Escoamento
Experiência de Reynolds.
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1. Considerações Fluidodinâmicas
8.1.1. Condições de Escoamento
Esquema do experimento.
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1. Considerações Fluidodinâmicas
8.1.1. Condições de Escoamento
Padrões de Escoamento.
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.1. Condições de Escoamento
Laminar
Escoamento Externo
Turbulento
Região de Entrada
Laminar
Escoamento Interno
Região Plenamente
Desenvolvida
Região de Entrada
Turbulento
Região Plenamente
Desenvolvida
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.1. Condições de Escoamento
● Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular
(8.1)
Onde:
- um é a velocidade média do fluido na seção transversal
- D é o diâmetro do tubo
●
Número de Reynolds Crítico
(8.2)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.1. Condições de Escoamento
● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento
laminar (Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada)
● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento
turbulento (Re > 2300)
Para escoamento turbulento será admitido x/D>10
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.2. A Velocidade Média
● Escoamento Externo → Velocidade da corrente livre
● Escoamento Interno → Velocidade média
m   um Atr
Isolando um resulta:
m
um 
 Atr
Número de Reynolds então fica:
4m
 um D  D m
D m
4m
(8.6)
Re 



 Re 
2
 D

  Atr   D
 D
4
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.2. A Velocidade Média
Representando a vazão mássica pela integral de .u na
seção transversal, tem-se:
(8.7)
Como m   um Atr
então
(8.8)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.2. A Velocidade Média
2
2
dr 
dr 


dAtr    r      r    2  r dr
2
2


dr
r
r
ro
ro
dr
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento
Plenamente Desenvolvido
Para escoamento laminar de um fluido incompressível com
propriedades físicas constantes, na região plenamente
desenvolvida, as equações de continuidade e quantidade de
movimento em coordenadas cilíndricas tem, respectivamente, as
formas:
1  r v   u

0
r r
x
 2 v 1  v v 2 v 
 v
v 
p

  Fr 
  v
u
 



  r 2 r  r r 2  x2 
x
r
 r


 2 u 1  u 2 u 
 u
u
p

  Fx 
  v
u
 


  r 2 r  r  x2 
x
x
 r


CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento
Plenamente Desenvolvido
Na região plenamente desenvolvida, as partículas de fluido
movimentam-se paralela ao eixo x, assim:
v 0
1  r v   u

0
Fazendo v=0 na equação da continuidade,
r r
x
resulta:
u
0
x
Ou seja, a componente axial u independe de x  u  ur 
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento
Plenamente Desenvolvido
A equação do momento em r, considerando v=0 e Fr=0 resulta:
 2 v 1  v v 2 v 
 v
v 
p

  Fr 
  v
u
 



  r 2 r  r r 2  x2 
x
r
 r


p
0
r
Ou seja, a pressão é independente de r
( p  p x  )
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento
Plenamente Desenvolvido
A equação do momento em x, considerando:
v  0 , u  ur , p  p x  e Fx  0
 2 u 1  u 2 u 
 u
u
p

  Fx 
  v
u



  r 2 r  r  x2 
x
x
 r


d 2 u 1 du 1 dp


2
dr
r dr  dx
1 d  du  1 dp
r 

ou
r dr  dr   dx
ou ainda:
d  du  r dp
r 

dr  dr   dx
(8.12)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento
Plenamente Desenvolvido
Integrando a
1ª
vez
d  du  r dp
resulta:
r 

dr  dr   dx
d u 1  d p  r2

r
 
 C1
dr d x 2
Integrando a 2ª vez, resulta:
1  d p  r2
  C1 ln r  C 2
ur   
d x 4
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento
Plenamente Desenvolvido
Utilizando as condições de contorno uro   0 e  u
1  d p  r2
em ur   
  C1 ln r  C 2 resulta:

d x 4
2

1 d p 2  r  

ro 1   
ur   
4   d x    ro  


 r r 0
(8.13)
0
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento
Plenamente Desenvolvido
2

1 d p 2  r  

ro 1   
(8.13)
Substituindo ur   
4   d x    ro  

(8.8)
em
resulta:

ro2 dp
um  
8  dx
(8.14)
Isolando dp/dx e substituindo em (8.13), resulta:
2

r 
ur 

 2 1    
um
  ro  


(8.15)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento
Plenamente Desenvolvido
● Para o engenheiro é importante o conhecimento da
queda de pressão do escoamento em uma tubulação.
● A queda
de pressão determina a potência da bomba ou
do ventilador
● Para
a determinação da queda de pressão é conveniente
a utilização do fator de atrito, dado por:
 dp 
  D
dx 

f 
 um2
2
(8.16)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento
Plenamente Desenvolvido
● Não se deve confundir fator de atrito f com coeficiente
de atrito Cf
s
Cf 
 um2
(8.17)
2
Como s = -  (du/dr)r = ro e com (8.13) a relação entre f e Cf
fica:
f
Cf 
4
(8.18)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento
Plenamente Desenvolvido
 dp 
  D
2
um D
r dp
dx 
Substituindo Re D 
e um   o
em f  

 um2
8  dx
2
resulta
64
f 
ReD
(8.19)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento
Plenamente Desenvolvido
Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido
→ Diagrama de Moody
8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento
Plenamente Desenvolvido
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento
Plenamente Desenvolvido
Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido e
superfície lisa
f  0,316 ReD1 / 4
ReD  2  10 4
(8.20a)
f  0,184 ReD1 / 5
ReD  2  10 4
(8.20b)
Para uma ampla faixa de ReD (por Petukhov)
f   0 ,790 ln Re D  1,64 
2
3000  Re D  5  10 6
(8.21)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento
Plenamente Desenvolvido
Com a determinação do fator de atrito, a queda de
pressão pode ser determinada como segue:
P  f
 um2
2D
 x2  x1 
(8.22a)
Com a determinação da queda de pressão a potência
requerida pela bomba pode ser determinada como segue:
P   P  
Onde

é a vazão volumétrica
(8.22b)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2. Considerações Térmicas
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2. Considerações Térmicas
● Comprimento de entrada térmica para escoamento laminar
  cd ,t 

  0 ,05 Re D Pr
 D  lam
(8.23)
em comparação ao comprimento de entrada fluidodinâmica
  cd ,v 

  0,05 Re D
 D  lam
● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento
  cd ,t 

  10
 D  tur
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2. Considerações Térmicas
8.2.1. A Temperatura Média
Escoamento Externo
Escoamento Interno
Velocidade na corrente livre

Velocidade Média
Temperatura na corrente livre

Temperatura Média
Equação 1.11e
q  mc p Tsai  Tent 
● As temperaturas nas seções transversais não são uniformes
para a convecção em escoamento interno
● É necessária a definição de uma temperatura média
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2. Considerações Térmicas
8.2.1. A Temperatura Média
m c pTm 

 uc pTdAtr
(8.24)
Atr

T 
 uc pTdAtr
Atr
m
(8.25)
m cp
Para escoamento em tubo circular com  e cp constantes e
m   um Atr :
2
Tm 
um r02

ro
0
uT r dr
(8.26)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2. Considerações Térmicas
8.2.2. Lei do Resfriamento de Newton
qs  h(Ts  Tm )
(8.27)
Onde h é o coeficiente de transferência de calor local
Tm e T∞ (para esc. externo) são essencialmente diferentes
- T∞ é constante ao longo do escoamento (ao longo de x)
- Tm varia ao longo do escoamento (ao longo de x)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas
As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de
fato atingidas?
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas
Introduzindo uma diferença de temperaturas adimensional
na forma
Ts  T
Ts  Tm
O escoamento é considerado termicamente desenvolvido
quando:
  Ts  T

x  Ts  Tm
Válida para

0

cd ,t
(8.28)
- Temperatura Superficial Uniforme e
- Fluxo Térmico Uniforme na superfície
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas
Como a diferença de temperatura adimensional é
independente de x, sua derivada em relação a r também é
independente de x, ou seja:
  Ts  T

r  Ts  Tm

1
T

 f(x)

Ts  Tm r r  r
cd ,t
o
Da Lei de Fourier
T
T
qs  k
k
 y y 0
 r r r
o
Da Lei do Resfriamento de Newton
qs  h Ts  Tm 
Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas
h
 f(x)
k
(8.28)
● No escoamento termicamente plenamente
desenvolvido de um fluido com propriedades
constantes o coeficiente de transferência de
calor por convecção local (h) é uma constante
independente de x .
● Na entrada, h varia com x
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas
Figura 8.5: Variação de h em um tubo.
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas
Para fluxo térmico na superfície uniforme, tem-se:
 Ts
 Tm

 x cd ,t
 x cd ,t
qs  constante
 Tm
T

 x cd ,t
 x cd ,t
qs  constante
Para temperatura superficial constante, tem-se:
Ts  T   Tm

T

 x cd ,t Ts  Tm   x cd ,t
Ts  constante
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3. O Balanço de Energia
8.3.1. Considerações Gerais
Partindo da Equação (1.11e) e aplicando acima:
 c p Tm ,sai  Tm ,ent 
qconv  m
dqconv  m c p  Tm  dTm   Tm 
(8.34)
 dqconv  mc pdTm
(8.36)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3. O Balanço de Energia
8.3.1. Considerações Gerais
dqconv  mc pdTm
representando dqconv  qs P dx
qs P dx  mc p dTm
Rearranjando e substituindo
qs  h Ts  Tm 
dTm qs P
P


hTs  Tm 
 cp m
 cp
dx
m
(8.37)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3. O Balanço de Energia
8.3.1. Considerações Gerais
dTm qs P
P


hTs  Tm 
 cp m
 cp
dx
m
(8.37)
A solução da equação (8.37) depende da condição
térmica da superfície. Serão consideradas dois casos:
- Fluxo térmico constante na superfície;
- Temperatura superficial constante.
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3. O Balanço de Energia
8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante
A taxa de transferência de calor é dada por:
qconv  qs P .L
(8.38)
Integrando a Equação (8.37) desde x=0:
Tx
x
dTm
qs P
qs P


dTm 
dx
dx
mcp
mcp
Tm ,ent
0

qs P
Tm ( x )  Tm,ent 
x
m cp

qs  cons tan te (8.37)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3. O Balanço de Energia
8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
Fazendo (Ts-Tm)= T na equação (8.37)
dTm qs P
P


hTs  Tm 
 cp m
 cp
dx
m
dTm
d  T 
P


h T
 cp
dx
dx
m
Separando variáveis e integrando
 Tsai
L

 Tent
d  T 
P

T
m c p

h dx
0
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
Resolvendo a integração, resulta:
L


 Tsai
PL  1

ln

h dx 

 cp  L
 Tent
m

0



Lembrando que
1
L

L
hdx é, por definição o
0
coeficiente de convecção médio hL ,ou h tem-se:
 Tsai
PL
ln

hL
 cp
 Tent
m
Ts  cons tan te
(8.41a)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
Reordenando
Tsai
PL
ln

hL
Tent
mc p
 PL 
 Tsai Ts  Tm ,sai

 exp 
h
 m


 Tent Ts  Tm ,ent
c
p


resulta:
Ts  cons tan te
(8.41b)
Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x
no interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral:
 Px 
Ts  Tm ( x )
 exp 
h
 m


Ts  Tm ,ent
c
p


(Ts-Tm)
Ts  cons tan te
Decai exponencialmente com x
(8.42)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
● Taxa de transferência de calor

 c p Tm ,sai  Tm ,ent
Da equação (8.34) qconv  m

Somando e subtraindo Ts


 c p Ts  Tm ,ent  Ts  Tm ,sai   m
 c p Tent  Tsai 
qconv  m
Substituindo mc p tirado da Equação (8.41a)
PL
mc p  
hL
Tsai
ln
Tent
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
● Taxa de transferência de calor
qconv  h As Tml
T  constante
(8.43)
Onde
As
- É a área da superfície do tubo As  P .L
Tml - É a média logarítmica de temperatura dada por:
Tsai  Tent
Tml 
 Tsai 

ln
 Tent 
(8.44)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
● Taxa de transferência de calor
Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida a
temperatura do fluido externo ao tubo, tem-se:
 U As 
Tsai T  Tm ,sai


 exp 
 m


Tent T  Tm ,ent
c
p


(8.45a)
q  UAs Tml
(8.46a)
e
Onde U é o coeficiente global de transferência de calor
desenvolvido no capítulo 3
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.3.3. Temperatura Superficial Constante
● Taxa de transferência de calor
As equações (8.45a) e (8.46a) podem ser escritas como:

Tsai T  Tm ,sai
1

 exp  
 m c p Rtot
Tent T  Tm ,ent

e
Tml
q
Rtot
1
Onde Rtot 
UAs




(8.45b)
(8.46b)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.4. Escoamento Laminar em Tubos Circulares:
Análise Térmica e Correlações da Convecção
8.4.1. Região Plenamente Desenvolvida
● Para fluxo de calor constante
Constante
(8.53)
● Para temperatura da superfície constante
Constante
(8.55)
Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes
- k é avaliado em Tm
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.4.2. A Região de Entrada
● Comprimento de entrada térmica ou comprimento de
entrada combinada com Pr  5 (Ts constante)
(8.56)
Comprimento de entrada térmica



ou


Comprimento de entrada combinadaPr  5 
Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser
estimadas em :
Tm

Tm ,ent  Tm ,sai 

2
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.4.2. A Região de Entrada
● Comprimento de entrada combinada (Ts constante)
(8.57)
Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser
estimadas em :
Tm

Tm ,ent  Tm ,sai 

2
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.4.2. A Região de Entrada
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em
Tubos Circulares
● Equação de Colburn (Escoamento plenamente desenvolvido)
4/5
NuD  0 ,023 Re D
Pr 1 / 3
(8.59)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em
Tubos Circulares
● Equação de Dittus-Boelter
4/5
NuD  0 ,023Re D
Pr0 ,4
Aquecimento (8.60)
4/5
NuD  0 ,023 Re D
Pr0 ,3
Resfriamento
Todas as propriedades devem ser estimadas a Tm
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em
Tubos Circulares
● Equação de Sieder e Tate (Escoamento com grandes
variações das propriedades)
(8.61)
Exceto para s todas as propriedades devem ser
estimadas a Tm
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em
Tubos Circulares
● Equação de Gnielinski (Menor erro)
(8.62)
0 ,5  Pr  2000




6
3000  Re D  5  10


 f é obtido do diagrama de Moody


As propriedades devem ser estimadas a Tm
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em
Tubos Circulares
● Equação de Skupinski et al. (Metais Líquidos)
Nu D  4 ,82  0 ,0185 Pe 0D,827
qs  constante (8.64)
 3,6  103  Re  9 ,05  105 
D




102  PeD  104
PeD  Re D Pr
● Equação de Seban e Shimazaki (Metais Líquidos)
Nu D  5 ,0  0 ,025 Pe 0D,8
PeD  100
Ts  constante
(8.65)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em
Tubos Circulares
● É razoável admitir que o número de Nusselt médio em
todo o tubo seja igual ao valor associado a região de
escoamento plenamente desenvolvido para L/D > 60.
● Ao se determinar o número de Nusselt médio todas as
propriedades dos fluidos devem ser estimadas na
média aritmética da temperatura média, ou seja:
Tm

Tm ,ent  Tm ,sai 

2
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares
● Utiliza-se as mesmas correlações dos tubos circulares;
● Deve ser utilizado o diâmetro hidráulico definido como:
4 Atr
Dh 
P
onde:
- Atr é a área da seção transversal;
- P é o perímetro molhado
(8.66)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares,
Escoamento Laminar
4 Atr
Dh 
P
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos
Concêntricos
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos
Concêntricos


qe  he Ts ,e  Tm 
qi  hi Ts ,i  Tm
(8.67)
(8.68)
hi Dh
Nui 
k
(8.69)
he Dh
Nue 
k
(8.70)


4  / 4  De2  Di2
Dh 
 De  Di
 De   Di
(8.71)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos
Concêntricos
● Escoamento laminar plenamente desenvolvido;
● Uma superfície termicamente isolada e a outra
superfície a temperatura constante.
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos
Concêntricos
● Escoamento laminar plenamente desenvolvido;
● Fluxo térmico constante em ambas as superfícies.
Nuii
Nui 
 qe  *
1    i
 qi 
Nuee
Nue 
 qi  *
1    e
 qe 
(8.72)
(8.73)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos
Concêntricos
Nuii
Nui 
(8.72)
 qe  *
1    i
 qi 
Nuee
Nue 
 qi  *
1    e
 qe 
(8.73)
CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno
8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos
Concêntricos
● Escoamento turbulento plenamente desenvolvido;
Utilizar equação de Dittus-Boelter (Equação 8.60) com o
emprego do diâmetro hidráulico
4/5
NuD  0 ,023Re D
Pr0 ,4
Aquecimento (8.60)
4/5
NuD  0 ,023 Re D
Pr0 ,3
Resfriamento
Dh  De  Di
(8.71)