TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Aula 17: 24/05/2012
Movimento de Partículas
em Fluidos
- Velocidade terminal
- Balanço de forças em uma partícula
- Coeficiente de arraste (Cd)
- Reynolds da Partícula
- Lei de Stokes
MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS
Não é uma operação unitária, é um conceito físico
que será utilizado em várias operações unitárias de
transferência de quantidade de movimento, como:
• Fluidização
• Transporte de sólidos em leito de fluido
• Sedimentação simples
• Centrifugação
• etc.
Velocidade Terminal: definição
As partículas ao cair no seio de um
fluido, sob ação de uma força constante,
por exemplo a força da gravidade,
sofrem aceleração durante um período
de tempo muito curto e depois disso se
movem à uma velocidade constante.
Essa máxima velocidade que as
partículas podem alcançar é
chamada de velocidade terminal,
e depende da densidade, tamanho e
forma da partícula, além das
propriedades do fluido e do campo.
aceleração
Velocidade
constante
(terminal)
Que forças agem sobre uma partícula sólida em
movimento em um fluido (líquido ou gás)?
As forças de campo, de empuxo e de arraste
Força de campo gravitacional:
Resistência
Fa
Fe
Fc  mp .a   p Vp g
Fc
Força de empuxo:
Movimento da
partícula
Fe  m f deslocadoa   f V f deslocado g   f Vp g
Força de arraste (atrito):
1
Fa   f Ac Cd (vR ) 2
2
Força resultante
(v f  v p )  vR
Fr  mp aresultante  Fc  Fa  Fe
mp aresultante  Fc  Fa  Fe
mp aresult .  ( pVp g)  1 2  f Ac Cd (vR )  ( f Vp g)
2
m p  massa da partícula
a  aceleração
g  aceleração gravitacio nal
 f  densidade do fluido
Ac  área " característica" da partícula
Cd  coeficient e de arraste
vR  velocidade relativa da partícula
 p  densidade da partícula
V p  volume da partícula
[1]
Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade
relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob
ação de um campo gravitacional:
Velocidade da partícula (+)
Velocidade do fluido (+)

g
p   f
vf = 0
vp = 0
vf = 0
vp = 0
(a)
(a)
(b)
(c)
 v f  v p  v f  (v p )  v f  v p
(c) vR
 v f  vp  v f  (vp )  v f  vp
(e)
(e)
vR  v f  vp  (vp )  vp
(b) vR
(d)
(d)
vR  v f  v p  v f  v p
vR  v f  v p  v f
vf = velocidade do fluido
+
-
vp = velocidade partícula
+
-
Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força
gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do
balanço de forças [1], tem-se:
mp aresult .  ( pVp g)  1 2  f Ac Cd (vR )  ( f Vp g)
2
Como não há aceleração da partícula, tem-se:
[1]
aresult .  0
0  1 2  f Ac Cd (vR )  ( p   f )Vp g
2
Rearranjando tem-se:
vR 
2 (  p   f )Vp g
 f AcCd
[2]
Como calcular Vp, Ac e Cd?
Calculo de Vp e Ac:
A área característica é a área projetada. Quando a partícula
é esférica, tem-se:
Partícula esférica
Ac 

4
d p2
[3]
Área projetada de uma esfera
Área projetada
Fluxo de fluido
Vp 

6
(d p )
3
[4]
Volume de uma esfera
Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (deq)
definido na “aula de sólidos particulados”.
6 *V partícula não esférica
 deq.2

deq.  3
Área partículanão esférica

Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se:
vR 
4d p g (  p   f )
3Cd  f
[5]
E o valor de Cd?
O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de
Reynolds da Partícula:
Cd  f (Re)
Regime Laminar
(Eq. de Stokes)
Regime
Intermediário
, onde
Re p 
Re p  0,4
0,4  Re p  500
Regime Turbulento
500  Re p  2 x 105
(Eq. Newton)
Regime Alta
Turbulência
Re p  2 x 105
d p vR  f
f
[6]
24
Cd 
Re p
10
Cd 
Re p
Cd  0,44
Cd  0,2
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Cd 
2 (  p   f )Vp g
Ac  f vR2
24
Regime laminar Cd 
Re p
Lei de Stokes
1000
Região camada
quase laminar
100
10
Cd 
Re
10
Região camada
turbulenta
Região alta
turbulência
Cd  0,44
Cd  0,2
1
0.1
0.1
1
10
102
103
104
Reynolds da Partícula
105
106
107
Quando o Re atinge valores altos ocorre
uma separação de camada de fluido, no
início laminar depois turbulenta
Ao aumentar a velocidade relativa (vR),
as linhas de corrente começam a
oscilar na parte de trás da esfera.
A pressão na parte frontal aumenta
e ocorre um atrito adicional devido
as oscilações.
Video sobre escoamento laminar:
http://www.youtube.com/watch?v=rbMx2NMqyuI&feature=relmfu
Vídeo sobre escoamento turbulento:
http://www.youtube.com/watch?v=7KKFtgx2anY&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=LvVuuaqCC7A&feature=related
24
No regime laminar tem-se: Cd 
Re p
Substituindo Rep [6] em Cd laminar e usando [5]
d p vR  f
Re p 
vR 
[6]
f
4d p g (  p   f )
[5]
3Cd  f
Se obtém:
Lei de Stokes
1 d g( p   f )
vR 
18
f
2
p
Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos.
De forma análoga para os outros regimes tem-se:
Re p  0,4
Regime laminar
24
Cd 
Re p
0,4  Re p  500
Regime de transição
10
Cd 
Re p
500  Re p  2,5 x 10
5
Cd  0,44
Regime turbulento
sem oscilações
2
d
1
p g ( p   f )
vR  .
18
f
1
 4 ( p   f ) 2 
vR  
g  dp
 225  f  f

2
 ( p   f )

vR  3,1
g dp
f


1
3
2
Mas como saber o regime se Rep depende de vr?
Abordagens para o cálculo de vr:
Método
1
Método
2
Método
1
As equações [5] e [6] podem ser utilizadas
para calcular vR por tentativa e erro.
Processo de cálculo com laço de interação:
Início
Se propõe um valor de vR
Re p 
[6]
d p vR  f
f
Comparar valores. Propor novo valor
ou aceitar o valor de vR calculado
vR
vR 
[5]
4 d p g ( p   f )
3Cd  f
Gráfico
Cd
O laço de interação continua até que o valor da velocidade
calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta.
Método
2
Define-se o número
adimensional de Arquimedes
Cd Rep2
Cd Re 
2
p
4 gd  f (  p   f )
3
p
Isola-se vr de [6] e
substitui-se em [5].
3 2f
Gráfico
Cd Rep2 versus Rep
Re p 
d p vR  f
f
vr
Cd Re 2p
Cd Re 2p
Re p 
d p vR  f
f
Exemplo:
(1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e
uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos
estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de
um grão de soja cujas características são:
dp = 0,006m; p = 0,98; p = 1190 kg/m3
O fluido é ar a 20ºC:  = 1,2 kg/m3
f
μf = 1,7.10-5 kg/m.s
Método
1
Re p 
d p vR  f
f
vR 
Chute inicial
vr (m/s)
2,00
12,40
13,86
Cd (gráfico)
838,55
0,50
5199,24
0,40
5812,93
0,40
Velocidade relativa de
13,86m/s
4 d p g ( p   f )
3Cd  f
12,40
13,86
13,86
dp=
pf =
uf =
g=
pp=
0,006
1,2
1,70E-05
9,8
1190
m
kg/m3
kg/m.s
m/s2
kg/m3
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Cd 
2 (  p   f )Vp g
Ac  f vR2
24
Regime laminar Cd 
Re p
Lei de Stokes
Re
Cd
(gráfico)
838,55
0,50
5199,24
0,40
5812,93
0,40
1000
Região camada
quase laminar
100
10
Cd 
Re
10
Região camada
turbulenta
Região alta
turbulência
Cd  0,44
Cd  0,2
1
0.5
0.1
0.1
1
10
102
103
104
Reynolds da Partícula
105
106
107
Método
2
Cd Re 
2
p
Cd Re
4 gd 3p  f (  p   f )
3 2f
1,35.10^7
Cd Re 2p
2
p
vr=14,3m/s
Re p 
d p vR  f
f
6,00.103
(2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60 m e 10 m de
diâmetro, em ar a 21oC e 100 kPa de pressão. Se assume que as
partículas são esféricas, com densidade de 1280kg/m3, que o ar tem
uma viscosidade de 1,8.10-5 N.s/m2 e uma densidade de 1,2 kg/m3.
Assuma regime laminar para iniciar os cálculos.
Regime Laminar
1 d g ( p   f )
vR  .
18
f
2
p
Regime Transição
1
 4 ( p   f ) 2 
vR  
g  dp
 225  f  f

2
3
Para a partícula de 60 m:
d p vR  f
-6
2
-1
Re p 
vR = (60 10 ) 9,8 (1280 – 1,2) = 0,139 m s
f
18 (1,8 10-5)
Verificando o Re para a partícula de 60 m:
Re = (60 10-6) 0,14 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,556 (Transição)
Recalculando para regime transição:
vR = 0,303 m s-1 ; Re = 1,212 (confirmado regime de transição).
Para a partícula de 10m:
vR = (10 10-6)2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,00387 m s-1
18 (1,8 10-5)
Verificando o Re para a partícula de 10 m:
Re = (10 10-6) 0,00387 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,0026 (Laminar)