Sexta Feira
Cálculo Diferencial
08/02/2013
Introdução
Objetivos, Método de Avaliação, Planejamento e
revisão de matemática
Código: EXA237 A
Turmas: ELE212AN, MEC212AN
Prof. HANS-ULRICH
PILCHOWSKI
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
Notas de aula
Cálculo Diferencial
Ementa:
Derivadas totais com regra da cadeia. Primitivas imediatas. Métodos de
integração. Integrais definidas e aplicações. Integrais múltiplas. Funções de duas ou mais
a
a
variáveis. Derivadas parciais. Equações diferenciais de 1 e 2 ordem. Operadores vetoriais.
Conteúdos:
08 / 02 Introdução. Revisão de matemática básica
15 / 02 Funções reais de uma variável: domínio, imagem, tabela de valores e gráfico
22 / 02 Operações sobre funções reais de uma variável
29 / 02 Operações sobre funções reais de uma variável
08 / 03 Definição de limite de uma função, propriedades e indeterminações
15 / 03 Resolver indeterminações de limites e limites unilaterais
22 / 03 Reta tangente a uma curva, derivada de uma função: definição e interpretação
geométrica
29 / 03 Revisão de toda matéria para a avaliação AV1
a
05 / 04 1 Avaliação relativa à AV1
12 / 04 Regras básicas de derivação
19 / 04 Cálculo de derivadas e de função derivada
26 / 04 Cálculo de derivadas e de função derivada
03 / 05 Função crescente e decrescente.
10 / 05 Derivada de função composta
17 / 05 Derivada de ordem superior, diferenciação implícita l
24 / 05 Aplicações de Derivada: Máximo e mínimo e regra de L’Hôpital
a
31 / 05 Revisão da matéria dada após a 2 avaliação AV1
a
07 / 06 2 Avaliação relativa à AV1
a
14 / 06 Entrega das notas e discussão da 2 prova relativa à AV1
21 / 06 Tópicos especiais
Avaliação:
Avaliação (AV1): Participação nas duas provas previstas para o curso, de acordo com o
calendário da universidade: duas avaliações (P1 e P2) formativas, valendo cada uma até dez
pontos. Nas provas, os critérios de correção são: clareza na exposição de idéias com as
respostas corretas. As duas provas são dissertativas, cada uma com valendo de zero a dez
pontos; A nota de primeira avaliação (AV1), cujo peso será quatro (4) na média final, será
calculada média aritmética: AV1 = (P1+ P2+ML+T) / 4, onde ML é a média aritmética de listas
de exercícios e T um trabalho de pesquisa. Obs.: Será admitido arredondamento de nota
somente na nota final da AV1 e de apenas 0,25 pontos.
1
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08/02/2013
Introdução e revisão de matemática básica
ATENÇÃO: As provas AV1 serão sem consulta e deverão ser feitas a tinta. Apenas cálculos
auxiliares poderão ser feitos a lápis, embora estes também sejam levados em conta pelo
professor. Em dia de prova, o estudante deverá trazer apenas o material necessário para
efetuar a prova, caso tenha trazido algum outro material, este deverá ficar junto ao quadro
verde durante a prova.
Provas substitutivas serão concedidas para a primeira prova AV1 (P1), no período das
primeiras duas semanas após a prova, mediante comprovação: (a) por escrito da convocação
para trabalhar, no horário da prova, por parte da firma onde o estudante trabalha, (b) mediante
atestado médico ou (c) outra justificativa que comprove a impossibilidade de comparecer à
prova. Para a segunda prova AV1 (P2), a princípio não haverá prova substitutiva por falta de
tempo hábil para efetuá-la.
Avaliação final: Será calculada pela média ponderada: M = (4AV1+2AV2+2AV3+2VA4) / 10.
Referência Bibliográfica:
Referência Bibliográfica Básica:
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, limite, derivação e
integração, 6ª.Ed. Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2006.
LEITHOLD, L., Cálculo com Geometria Analítica. Harbra, São Paulo, 1994.
MUNEM, M.A. & FOULIS, D.J., Cálculo. vol.1. LTC, Rio de Janeiro, 1982.
Referência Bibliográfica Complementar:
CÁLCULO: para entender e usar. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
SANTOS, C. A. M. dos. Matemática / 2003. São Paulo, SP : Ática, 2003.
FINNEY, R.L.; WEIR, M.D. & GIORDANO, F.R., Cálculo, vol. 1. 10ª.Ed. Addison Wesley, São
Paulo, 2002.
ANTON, H., Cálculo um novo horizonte, vol. 1. 6ª. Ed. Bookman, Porto Alegre, 2000.
PISKOUNOV, N., Cálculo diferencial e integral, vol. 1. 4ª.Ed. Martins Fontes, São Paulo,
1993.
Revisão de matemática
Potenciação
Definição
Denomina-se potência de um número um produto cujos fatores são todos iguais a esse
número.
Assim o produto 2 × 2 × 2 × 2 × 2 é uma potência de 2 . Indica-se simbolicamente por 2 5
e lê-se: dois elevado a Quinta potência, ou apenas por dois a Quinta.
2
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
O número 2 é a base e 5 é o expoente ou grau.
Exemplo: 3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 , a base desta potência é 3 e o grau ou expoente é 4 e a
potência é 81.
Exemplo: a n = a × a × a × a × L × a × a ( n vezes). Lê-se enésima potência de a ,
a elevado a potência n ou a elevado a n .
A operação pela qual se obtém o valor da potência denomina-se potenciação.
Exercícios: Calcular as seguintes potências:
1.
2.
3.
4.
5.
112 = 121
25 2 = 625
9 3 = 729
2 7 = 128
6 8 = 1679616
Propriedades
1a Propriedade: expoente 1. Diz-se que a primeira potência de um número, isto é, um
número elevado ao é o próprio número. Pois, por definição toda potência tem dois ou
mais fatores.
Exemplo: 31 = 3 .
Exemplo: a 1 = a .
2a Propriedade: expoente zero. Como este também não se enquadra na definição de
potência. Define-se que qualquer número diferente de zero elevado à potência zero é
igual a 1.
Exemplo: 3 0 = 1 .
Exemplo: a 0 = 1 .
3a Propriedade: base 1. Qualquer potência de 1 vale sempre 1.
Exemplo: 10 = 1 .
Exemplo: 14 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 .
4a Propriedade: base zero. Qualquer potência de 0 vale sempre 0.
3
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Introdução e revisão de matemática básica
Exemplo: 0 3 = 0 × 0 × 0 = 0 .
5a Propriedade: expoente 2. A Segunda potência de um número denomina-se quadrado
desse número devido à analogia com o cálculo da área de um quadrado que é
determinada pela segunda potência do lado deste.
6a Propriedade: expoente 3. A Terceira potência de um número denomina-se cubo
desse número devido à analogia com o cálculo do volume de um cubo que é
determinado pela terceira potência da aresta deste.
7a Propriedade: base 10. As potências de 10 são números formados pela unidade
seguida de tantos zeros quantos são as unidades do seu expoente.



Exemplo: 


10 0 = 1
101 = 10
.
10 2 = 10 × 10 = 100
10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000
8a Propriedade: expoente negativo. Toda potência com expoente negativo é igual a
uma fração cujo numerador é a unidade e o denominador é dado pela mesma potência
com o expoente positivo e base diferente de zero, isto é,
a −n =
1
1
=
n
a × a × a × a ×L× a
a
1
.
2
1
1
1
= 3 =
=
.
4 × 4 × 4 64
4
Exemplo: 2 − 1 =
Exemplo: 4 − 3
Exercícios: Calcular o valor das seguintes expressões:
6.
(13)2 + (25)2
= 169 + 625 = 794
0
2
1 3
+ 0 +   = 2 +1+1 = 4
0
5
3 4
0
3
2 30 1
1 1 8 2 11
8.
+ 0 +
= + 2 + = + + = = 2,75
4 7
2 4
2 4 4 4 4
0
1
1
1
1+ 3 4
1
9. 2 − 1 + 0 + 3 0 +   = + 1 + 1 + 1 = + 3 =
= =2
2
2
2
2
4
3
7.
0
10. 3
−2
+2
−3
1
1
1 1
8 + 9 + 144 161
3
+ 5 +   = 2 + 3 +1+1 = + + 2 =
=
≅ 2,2361111K
9 8
72
72
3
2
4
0
4
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
9a Propriedade: produtos de potências de mesma base. O produto de várias potências
de mesma base é outra potência de mesma base que tem por expoente a soma dos
expoentes dos fatores.
a n × a m = a n+ m
Exemplo: 4 × 4 3 × 4 2 = 41+3+ 2 = 4 6 .
Exemplo: 5 3 × 5 7 × 5 4 = 5 3+ 7+ 4 = 514 .
10a Propriedade: quocientes de potências de mesma base. O produto de duas potências
de mesma base é outra potência de mesma base que tem por expoente a diferença do
dividendo e do divisor.
am
= a m × a − n = a m −n
n
a
Exemplo:
43
= 4 3 × 4 − 2 = 4 3− 2 = 4 .
2
4
Exemplo:
57 × 54
= 5 7 × 5 4 × 5 − 3 = 5 7 + 4 −3 = 58 .
3
5
11a Propriedade: Potência de potência. A potência de uma potência é uma outra
potência de mesma base que tem por expoente o produto dos expoentes.
(a )
n m
= a nm
ou
(a )
m −n
= a − nm
Exemplo:
(3 )
4 3
= 3 4 × 3 4 × 3 4 = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 312 =531441.
Exemplo:
(5 )
4 −2
=
1
1
1
1
=
= 8 =
= 5 − 8 = 0,00000256 .
4
(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5) 5 390625
5 ×5
4
Exemplo:
(7 )
−3 2
=
1 1
1
1
1
× 3 =
×
=
= 7 − 6 =0,000008499.
3
(7 × 7 × 7 ) (7 × 7 × 7 ) (7 × 7 × 7 ) × (7 × 7 × 7 )
7 7
12a Propriedade: Potência de um produto. A potência de um certo grua de um produto
de diversos fatores é igual ao produto das potências do mesmo grau desses fatores
.
(a × b × c ) m = a m × b m × c m
3
Exemplo: (3 × 2 × 5) = (3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 ) × (5 × 5 × 5) = 3 3 × 2 3 × 5 3 .
5
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Exemplo: (3 × 2 × 5)
−3
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Introdução e revisão de matemática básica
1
1
1
×
×
= 3− 3 × 2 − 3 × 5− 3 .
3× 3× 3 2 × 2 × 2 5× 5× 5
=
13a Propriedade: Potência de números reais não inteiros. A potência de um número
real não inteiro segue a mesma regra que aquela dos números inteiros.
a n = a × a × a × a × L × a × a para a real não inteiro.
3
Exemplo: (2,45) = 2,45 × 2,45 × 2,45 = 14,706125 .
14a Propriedade: Potências fracionárias. A potência de expoente fracionário é igual ao
radical cujo índice é o denominador do expoente e cujo radicando é a base da potência,
elevada a um expoente igual ao numerador do expoente dado.
n
a m = m an =
( a ) para
n
m
a real.
1
Exemplo: 64 2 = 64 = 8 .
3
(16 )3
Exemplo: 16 2 =
= 16 × 16 × 16 = 4096 = 64
ou
3
16 2 =
( 16 )
3
2
3
= 4 3 = 4 × 4 × 4 = 64 .
2
Exemplo: 64 = 3 (64 ) = 3 64 × 64 = 3 4096 = 16
ou
2
3
64 =
( 64 )
2
3
= 4 2 = 4 × 4 = 16 .
Exercícios: Calcular o valor das seguintes expressões:
2
1
32
9
3
11. − 2 + 2 3 + 51 +   = 3 2 + 2 3 + 5 + 2 = 9 + 8 + 5 + = 9 + 8 + 5 + 2,25 = 24,25
4
3
2
2
Notação Científica
Denomina-se notação científica a maneira de expressar valores numéricos, onde os
números reais são expressos na forma: b × 10 n , isto é, se a = 443256 , então em notação
científica a pode ser escrito nas formas:
6
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
a = 443256 = 4432,56 × 10 2 = 443,256 × 10 3 = 44,3256 × 10 4 = 4,43256 × 10 5
−19
Exemplo: Carga do elétron: e ≅1,6 ×10 C
Exemplo: Uma tira de cobre com 150 µ m de espessura é colocada num campo
r
magnético B de módulo 0,65 T e submetida a uma corrente i = 23 A . Qual será a
diferença de potencial Hall V que aparecerá na tira?
Solução: No cobre, existe, em média um elétron de condução por átomo. O número n
de elétrons por unidade de volume é, portanto, igual ao número de átomos por unidade
de volume e é encontrado a partir de
n=
(
)(
)
NAρ
6,02 × 10 23 mol −1 9,0 × 10 3 kg m 3
=
= 8,47 × 10 28 elétrons m 3 ,
M
64 × 10 −3 kg mol
onde ρ é a densidade do cobre, N A é número de Avogadro e M a massa molar do
cobre; e todos os cálculos foram feitos em notação científica.
Monômios
Antes de se definir monômios há a necessidade de definir-se “Expressão Algébrica”.
Expressão Algébrica é toda representação que indique uma ou mais operações
entre números reais, expressa por meio de algarismos e letras ou somente letras,
também sendo denominada de expressão literal. Nas expressões
1
e
3a − 2 x + 5
7
A primeira denomina-se expressão numérica, pois só contém números, e a segunda
expressão algébrica, pois envolve letras e números.
3 − 2,3 +
Exemplo: calcular o valor das expressões:
2
2
1
1 4
7
 2  1   2 
1) ab − a + 1 , para a = e b = −
⇒   −  −   + 1 = − − + 1 =
ou
3
4
6 9
18
 3  4   3 
2
= −0,166 K − 0,444 K + 1 = 1 − 0,611K = 0,388K
2)
5a
− 2 y 5 − 8 , para a = 12 e y = −1 ⇒
3
5 × 12
5
− 2(− 1) − 8 = 20 + 2 − 8 = 14
3
7
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1) −
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Introdução e revisão de matemática básica
1
a
+ b − ab , para a = −3 e b = −
3
2
⇒ −
−3 1
1 3
 1
− − (− 3) −  = 1 − − = 1 − 0,5 − 1,5 = −1
3 2
2 2
 2
3
4
4) x y − xy + 1 , para x = − e y = −
4
3
2
2
2
2
 3   4   3  4 
⇒  −   −  −  −  −  + 1
 4   3   4  3 
36 48
− 9 +16 +12 19
 9  4   3 16
=   −  −  −   +1 = − + +1 = −0,75+1,333K+1 =
= = 1,5833K
48 36
12
12
16 3   4  9 
Exercícios: Calcular o valor das seguintes expressões:
12. − a 2 b + b , para a = −
1
3
e b=− 3
2
13.
x 2 − xy
, para x = −2 e y = −3
x+3
14.
2a + 3b
1
3
, para a = − e b = −
a+b
3
2
15. 2 x +
2
1
1
− y , para x = e y = −
3
4
2
x
3
1
2
16. ( xy − x ) + 1 :   , para x = − e y =
4
4
 y
[
Respostas: 12)
]
4
12
5
337
= 2,4 ;
= 1,66K ; 13) − = −1,33K ; 14) −
≅ −0,43880K ; 15)
5
3
3
768
16) − 2 .
Monômio é um produto de números reais, sejam eles indicados por algarismos, letras
ou por ambos. Pode-se assim ter fatores numéricos e ou fatores literais; estes últimos
podem ser constantes ou variáveis.
Exemplo:
1- bx
2- 3a 4 b
3- 5a 3 bcx 2 y 3
8
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
Coeficiente de um monômio é o produto de seus fatores constantes:
a) Coeficiente numérico é o fator numérico do monômio.
b) Coeficiente literal é o produto literal do monômio
Exemplo:
No 4ab 2 xy 3 a e b são constantes, x e y são variáveis, assim tem-se:
a) Coeficiente do monômio: 4ab 2
b) Coeficiente numérico: 4
c) Coeficiente literal: ab 2
Grau de um monômio é a soma dos expoentes da parte variável
Exemplo: no exemplo 28 o monômio 4ab 2 xy 3 , onde a e b são constantes e x e y
são variáveis, tem-se: o grau 4 pois é a soma do expoente de x , isto é, 1 mais o
expoente de y que é 3, ou seja 1 + 3 = 4 .
3
5
Exemplo:
⇒
grau 0
pois
3
3 0
=
x
5
5
Monômios semelhantes são os monômios que possuem as partes variáveis iguais.
Exemplo: 3 x 2 y 3 e 5abx 2 y 3 onde a e b são constantes e x e y são variáveis.
Operações com Monômios
Adição e subtração de monômios
Observe-se que:
i)
ii)
iii)
iv)
5 + 5 = (1)(5) + (1)(5) = (1 + 1)(5) = (2)(5) = 10
(4)(6) + (3)(6) = (4 + 3)(6) = (7 )(6) = 42
x + x = (1)( x ) + (1)( x ) = (1 + 1)x = 2 x
4 x + 3 x = (4 + 3)( x ) = 7 x
Logo, pode-se concluir que para adicionar (ou subtrair) monômios semelhantes é
suficiente adicionar (ou subtrair) os coeficientes e conservar a parte literal e ou variável.
Exemplos: Efetuar as adições algébricas a seguir
i)
5a 2 b − 3a 2 b + 9a 2 b = 11a 2 b
9
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ii)
08/02/2013
Introdução e revisão de matemática básica
3abc − 4a 2 + 9a 2 − 7 abc = −4abc + 5a 2
Multiplicação e divisão de monômios
A multiplicação de dois ou mais monômios dá como resultado um monômio formado
pelo produto de todos os fatores dos monômios dados.
Regra Prática: Obtém-se o produto de dois ou mais monômios escrevendo o produto
dos seus coeficientes numéricos, logo a seguir cada coeficiente literal com um expoente
igual à soma algébrica dos respectivos expoentes e finalmente cada uma das variáveis
com um expoente igual à soma algébrica dos respectivos expoente.
Exemplos:
i)
O produto de 3ax por 7by é: (3ax ) × (7by ) = 3 × 7 × abxy = 21abxy
ii)
− a 3b 2 − cd 4 = (− 1) × a 3b 2 × (− 1) × cd 4 = (− 1) × (− 1) × a 3b 2 × cd 4 = a 3b 2 cd 4
(
)(
)
(
)
( )
(
iii)
(7a b x )× (4a b
iv)
1 7 5
2 2 2 1 5 3 2 1
2
5
2
3
 a x × a x  = × × a × a × x × x = a x
6
3
 4
 3 4
3
2
3
5
2
) ( )
)
x 4 y 3 = 7 × 4 × a 3 × a 5 × b 2 × b 2 × x 3 × x 4 × y 3 = 28a 8 b 4 x 7 y 3
A divisão de um monômio por outro monômio dá como resultado um monômio
formado pela divisão dos coeficientes numéricos, pela diferença algébrica dos
expoentes dos coeficientes literais e pela diferença algébrica dos expoentes das
variáveis.
Regra Prática: Para dividir um monômio por outro, divide-se o coeficiente numérico
do dividendo pelo do divisor. Em cada coeficiente literal com um expoente igual à
diferença algébrica dos respectivos expoentes e finalmente cada uma das variáveis com
um expoente igual à diferença algébrica dos respectivos expoentes dos respectivos
expoentes (mantendo-se nas letras o sinal original enquanto se faz a diferença).
Exemplos:
i)
ii)
iii)
A divisão de 18a 5 b 3 x 4 y 2 por 6by é:
18
18a 5 b 3 x 4 y 2 ÷ (6by ) = a 5 b 3−1 x 4 y 2−1 = 3a 5 b 2 x 4 y
6
3 2
4
− a b ÷ − cd = (− 1) ÷ (− 1) a 3−0 b 2−0 c 0−1d 0−4 = a 3b 2 c −1d − 4
28 5−3 2− 2 4−3 3−0
28a 5 b 2 x 4 y 3 ÷ 7 a 3 b 2 x 3 =
a b x y = 4a 2 b 0 x1 y 3 = 4a 2 xy 3
7
(
(
(
)
) (
)
) (
(
)
)
10
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
Notas de aula
Cálculo Diferencial
5 3
1 3
3
1 5 3 2 2 2 1 4 a x
a
x
÷
a
x
=
= × a 5 − 2 x 3− 2 = a 3 x

 

2 2
4 2
8
4
 3
 23a x
iv)
Observação: Dividir um monômio por outro é determinar um terceiro que multiplicado
pelo divisor seja igual ao dividendo.
Exemplos:
A divisão de x 7 ÷ x 3 = x 4 pois x 3 × x 4 = x 7
15a 3b 4 ÷ 3ab2 = 5a 2b 2 pois 5a 2 b 2 × 3ab2 = 15a 3b 4
v)
vi)
(
) (
)
(
) (
)
Potenciação de monômios
Ao elevar-se um monômio a um expoente, eleva-se seu coeficiente numérico, cada
coeficiente literal e cada uma das variáveis a essa expoente.
Regra Prática: Para elevar um monômio a uma potência n eleva-se a essa potência o
seu coeficiente numérico e multiplicam-se os expoentes de cada coeficiente literal e
cada uma das variáveis pelo grau da potência.
Exemplos:
i)
ii)
iii)
iv)
(2a b x ) = (2) × (a ) × (b ) × (x ) = 16 × (a )× (b )× (x ) = 16a
(− a b cd ) = (− 1) (a ) (b ) (c) (d ) = a b c d
(4a x y ) = 1024 (a ) (x ) (y ) = 32a x y
(5a x y ) = 251 a x y = x
3
2
4 4
4 2
3 2
5
3 4
4
2
3
4
3
−2
4 −2
2
2 4
3 2
2
2
2 2
5
2
4 4
4 2
2
3
5
12
2
4
5
6
2
2 2
5
8
16
12
b 8 x 16
8
15
2
10
4
−6
4
−8
25a 6 y 8
Polinômios
Polinômio é toda soma algébrica de monômios
Exemplo:
i)
bx + 3a 4 b
ii)
(4a
iii)
bx + 3a 4 b + 4a 2 x 3 y 4
2
x3 y 4
)
5
2
(
− a 3b 2 cd 4
(
)
5
)
2
2
(
− a 3b 2 cd 4
)
2
Representação dos polinômios
Um polinômio em x e y representa-se simbolicamente por P( x, y ) .
11
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08/02/2013
Introdução e revisão de matemática básica
Exemplo:
4ab 2 xy 3 + x 2 y 2 + 3axy 2 − 2ax 2 y 3 + 5 x 3 y 3
Grau de um polinômio é o grau do monômio de maior grau do polinômio.
Exemplo:
⇒ 5x 3 y 3
4ab 2 xy 3 + x 2 y 2 + 3axy 2 − 2ax 2 y 3 + 5 x 3 y 3
⇒ 6 o grau
Operação com Monômios e Polinômios
Adição e subtração de polinômios
Para adicionar ou subtrair polinômios deve-se suficiente adicionar ou subtrair estes da
mesma forma como se fossem monômios, isto é, os coeficientes numéricas e os
coeficientes literais para monômios semelhantes.
Exemplos: Efetuar as adições algébricas a seguir
i)
ii)
(3abc − 4a ) + (9a − 7abc ) = 5a − 4abc
(3abcx − 4a xy − 3a bxy ) + (9a xy − 7abcx + 9a bxy ) = 5a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy 2 − 4abcx + 6a 2 bxy
Multiplicação de polinômios
Para multiplicar um polinômio por outro polinômio, multiplica-se cada termo do
multiplicando por todos os termos do multiplicador e somam se os produtos obtidos.
Regra Prática:
1 – Ordenam-se os polinômios segundo as potências decrescente da mesma letra.
2 – Multiplicam-se todos os termos do multiplicando pelo primeiro do
multiplicador.
3 – Repete-se a operação para o segundo termo escrevendo-se os monômios
obtidos numa Segunda linha por baixo dos anteriores, de modo que os semelhantes
fiquem em coluna.
4 – Repete-se a operação sucessivamente para os demais termos do multiplicado,
até o último.
5 – Faz-se a redução dos termos semelhantes.
12
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
Exemplos:
i)
(
)
Seja a multiplicação: − 4 x + 5 + 2 x 2 por (2 + 3x ) :
Ordena-se em ordem decrescente em relação a x ∴
(2 x
2
− 4x + 5
) (3x + 2)
Assim,
(2 x
2
)
− 4 x + 5 × (3 x + 2 )
6 x 3 − 12 x 2 + 15 x
4 x 2 − 8 x + 10
6 x 3 − 8 x 2 + 7 x + 10 .
(− 4 x + 5 + 2 x )× (2 + 3x ) = 6 x
⇒
ii)
2
3
− 8 x 2 + 7 x + 10
(
)
(
)
Calcular o produto de 2a 3 x − 4a 2 x 2 + 3a 4 + 5ax 3 por 4a 5 + 2a 3 x 2 − 3a 4 x é:
Ordenando em ordem decrescente em relação a x tem-se:
(5ax
3
− 4a 2 x 2 + 2a 3 x + 3a 4
) (2a
3
x 2 − 3a 4 x + 4a 5
)
Assim,
(5ax
3
) (
− 4a 2 x 2 + 2a 3 x + 3a 4 × 2a 3 x 2 − 3a 4 x + 4a 5
)
10a 4 x 5 − 8a 5 x 4 + 4a 6 x 3 + 6a 7 x 2
− 15a 5 x 4 + 12a 6 x 3 − 6a 7 x 2 − 9a 8 x
20a 6 x 3 − 16a 7 x 2 + 8a 8 x + 12a 9
10a 4 x 5 − 23a 5 x 4 + 36a 6 x 3 − 16a 7 x 2 − a 8 x + 12a 9
ou
(5ax
3
) (
− 4a 2 x 2 + 2a 3 x + 3a 4 × 2a 3 x 2 − 3a 4 x + 4a 5
)
10a 4 x 5 − 15a 5 x 4 + 20a 6 x 3
− 8a 5 x 4 + 12a 6 x 3 − 16a 7 x 2
4 a 6 x 3 − 6 a 7 x 2 + 8a 8 x
6a 7 x 2 − 9a 8 x + 12a 9
10a 4 x 5 − 23a 5 x 4 + 36a 6 x 3 − 16a 7 x 2 − a 8 x + 12a 9
13
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(
08/02/2013
)(
Introdução e revisão de matemática básica
)
⇒ 5ax3 − 4a2x2 + 2a3x + 3a4 × 2a3x2 −3a4x + 4a5 =10a4x5 − 23a5x4 + 36a6x3 −28a7x2 +17a8x −12a9
(
Seja a multiplicação: 5 x 4 + 3 x 3 + 4
iii)
)
(
)
por 3 x 2 − 4 x + 2 :
Assim,
(5x
4
) (
+ 3 x 3 LLL + 4 × 3 x 2 − 4 x + 2
)
15 x 6 + 9 x 5 LLLLL − 12 x 2
− 20 x 5 − 12 x 4 LLLLL + 16 x
10 x 4 + 6 x 3 LLLLLL − 8
15 x 6 − 11x 5 − 2 x 4 + 6 x 3 − 12 x 2 + 16 x − 8
⇒
(5 x
4
) (
)
+ 3 x 3 + 4 × 3 x 2 − 4 x + 2 = 15 x 6 − 11x 5 − 2 x 4 + 6 x 3 −12 x 2 + 16 x − 8
Produtos Notáveis
Há certos casos de multiplicação muito importantes pela sua aplicação no cálculo
algébrico.
1 – Quadrado da soma de duas expressões
(a + b )2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
Exemplo:
(5x
3
+ 2x4
) = (5 x ) + (5 x )(2 x ) + (5 x )(2 x ) + (2 x )
2
3 2
3
4
3
4
4 2
= 25 x 6 + 20 x 7 + 4 x 8
2 – Quadrado da diferença de duas expressões
(a − b )2 = a 2 − ab − ab + b 2
= a 2 − 2ab + b 2
Exemplo:
(5ab − 2 y )2 = (5ab )2 − (5ab )(2 y ) − (5ab )(2 y ) + (2 y )2 = 25a 2 b 2 − 20aby + 4 y 2
3 – Cubo da soma de duas expressões
(a + b )3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Exemplo:
( x + 2 y)3 = x 3 + 2x 2 (2 y ) + x(2 y )2 + x 2 (2 y ) + 2x(2 y )2 + (2 y)3 = x 3 + 6x 2 y + 6xy 2 + 8 y 3
14
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
4 – Cubo da diferença de duas expressões
Exemplo:
(2 + 3y)3 = (2)3 + 2(2)2 (3y) + (2)(3y)2 + x 2 (3y) + 2(2)(3y)2 + (3y)3 = 8 + 36y + 54y 2 + 27y 3
5 – Produto da soma de duas expressões pela sua diferença
(a + b )(a − b ) = a 2 + ab − ab + b 2 = a 2 − b 2
Exemplo:
( x + 7 )( x − 7 ) = x 2 + x7 − x7 + 7 2 = x 2 − 49
Divisão de polinômios
A divisão de um polinômio por um monômio dá como resultado um polinômio
formado pela divisão de cada um dos termos do polinômio pelo monômio, onde
cada novo termo é formado pela divisão dos coeficientes numéricos, pela diferença
algébrica dos expoentes dos coeficientes literais e pela diferença algébrica dos
expoentes das variáveis.
Regra Prática: Para dividir um polinômio por um monômio, divide-se cada termos do
polinômio pelo monômio e somam-se algebricamente os quocientes obtidos.
Exemplos:
i)
Seja efetuar a divisão de 6a 3 − 15a 4 + 18a 5 − 27 a 6 por 3a 2 , isto é,
(6a
3
)
− 15a 4 + 18a 5 − 27 a 6 ÷ 3a 2 .
Aplicando a regra, tem-se:
4
6a 3 15a
18a 5 27 a 6
−
+
−
= 2 a − 5a 2 + 6 a 3 − 9 a 4 .
2
2
2
2
3a
3a
3a
3a
(6a
⇒
ii)
3
)
− 15a 4 + 18a 5 − 27 a 6 ÷ 3a 2 = 2a − 5a 2 + 6a 3 − 9a 4
Seja efetuar a divisão de 4a 3b 5 − 8a 4 b 4 + 12a 5 b 3 + 16a 6 b 2 por 4a 3b 2 , isto é,
(4a b
3
5
)
− 8a 4 b 4 + 12a 5 b 3 + 16a 6 b 2 ÷ 4a 3b 2 .
Aplicando a regra, tem-se:
15
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Introdução e revisão de matemática básica
4a 3b 5 8a 4 b 4 12a 5 b 3 16a 6 b 2
−
+
+
= b 3 − 2ab 2 + 3a 2 b + 4a 3 .
4 a 3 b 2 4 a 3 b 2 4a 3 b 2
4a 3 b 2
(4a b
⇒
iii)
3
5
)
− 8a 4 b 4 + 12a 5 b 3 + 16a 6 b 2 ÷ 4a 3b 2 = b 3 − 2ab 2 + 3a 2 b + 4a 3
Seja efetuar a divisão de 3 x 2 y 3 − 4 x 3 y 2 + 5 x 4 y − 18 x 5 por 5 x 2 y , isto é,
(3x
2
)
y 3 − 4 x 3 y 2 + 5 x 4 y − 18 x 5 ÷ 5 x 2 y .
Aplicando a regra, tem-se:
3 x 2 y 3 4 x 3 y 2 5 x 4 y 18 x 5 3 2 4
18 x 3
2
−
+
−
=
−
+
−
.
y
xy
x
5
5y
5x 2 y
5x 2 y 5x 2 y 5x 2 y 5
⇒
(3x
2
)
y 3 − 4 x 3 y 2 + 5 x 4 y − 18 x 5 ÷ 5 x 2 y =
3 2 4
18 x 3
y − xy + x 2 −
5
5
5y
A divisão de um polinômio por um polinômio dá como resultado um polinômio
formado pela divisão do polinômio dividendo por cada um dos termos do
polinômio divisor.
Regra Prática:
1 – Ordenam-se o dividendo e o divisor segundo as potências decrescente da
mesma letra.
2 – Divide-se o primeiro termo do dividendo pelo primeiro do divisor. O
resultado é o primeiro termo do quociente.
3 – Multiplica-se o primeiro termo quociente por todos os termos do divisor e
escrevem-se os termos desse produto com sinal contrário abaixo do dividendo.
4 – Faz-se a redução dos termos semelhantes e obtém-se o 1o resto parcial.
5 – Procede-se de modo análogo até se encontrar um resto nulo (se a divisão for
exata) ou um resto de grau inferior ao divisor (que é o resto da divisão dos polinômios).
Exemplos:
i)
Seja efetuar a divisão de 15 x 3 + 11x 2 − 6 x + 8 por 3 x + 4 , isto é,
(15x
3
)
+ 11x 2 − 6 x + 8 ÷ (3 x + 4 ) .
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
Aplicando a regra, tem-se:
15 x 3 + 11x 2 − 6 x + 8
3x + 4
→
5 x − 3x + 2 →
→
→
→
→
→
→
2
3
− 15 x − 20 x
2
− 9x 2 − 6x + 8
− 9 x 2 + 12 x
6x + 8
− 6x − 8
0
(15 x
⇒
3
divisor
quociente
produto do divisor por − 5x 2
1o resto parcial
produto do divisor por + 3 x
2o resto parcial
produto do divisor por − 2
resto nulo (divisão exata)
)
− 11x 2 − 6 x + 8 ÷ (3 x + 4 ) = 5 x 2 − 3 x + 2
Dividir de 20 x 5 − 9 x 4 − 17 x 3 + 20 x 2 − 12 x + 10 por 4 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 2 , isto é,
ii)
(20 x
5
) (
)
− 9 x 4 − 17 x 3 + 20 x 2 − 12 x + 10 ÷ 4 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 2 .
Aplicando a regra, tem-se:
20 x 5 − 9 x 4 − 17 x 3 + 20 x 2 − 12 x + 10
4 x 3 − 5 x 2 + 3x − 2
5x 2 + 4x − 3
quociente
− 20 x 5 + 25 x 4 − 15 x 3 + 10 x 2
− 5x 2
+ 16 x 4 − 32 x 3 + 30 x 2 − 12 x + 10
→ divisor
→
→ produto do divisor por
→ 1o resto parcial
→ produto do divisor por
− 16 x 4 + 20 x 3 − 12 x 2 + 8 x
+ 3x
→ 2o resto parcial
→ produto do divisor por
− 12 x 3 + 18 x 2 − 4 x + 10
+ 12 x 3 − 15 x 2 + 9 x − 6
−2
3x 2 + 5 x + 4
(
→ resto da divisão
) (
)
⇒ 20 x 5 − 9 x 4 − 17 x 3 + 20 x 2 − 12 x + 10 ÷ 4 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 2 = 5 x 2 + 4 x − 3
e com um resto de divisão R = 3 x 2 + 5 x + 4 .
Observação: Dividir um polinômio por outro é determinar um terceiro que
multiplicado pelo divisor mais o resto seja igual ao dividendo.
Exemplo:
(
)
A divisão de 6 x 2 + 11x + 9 ÷ (3 x + 1) = 2 x + 3 e resto R = 6 , pois
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Introdução e revisão de matemática básica
(3 x + 1) × (2 x + 3) + 6 = (6 x 2 + 11x + 3) + 6 = 6 x 2 + 11x + 9
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