MODELAGEM
MATEMÁTICA I
Prof. Pedro Augusto Borges
SISTEMA DE
TRANSMISSÃO DE
UMA BICICLETA
Jean Lucas da Silva
Mariane Inês Post
Silvia Maria Duarte Schiavo
Introdução
O pedal, ao ser acionado,
faz girar uma roda
dentada, e o movimento
de rotação produzida
nesta roda é transmitido,
através da correia, a uma
outra
roda
dentada
adaptada ao eixo da roda
traseira da bicicleta.
Introdução
Conseqüentemente
o
ciclista, ao pedalar com
uma
determinada
freqüência,
consegue
imprimir uma freqüência
bem maior a roda dentada
menor, e também as rodas
da bicicleta . Evidentemente
um aumento da velocidade
de rotação da roda dentada
traseira implica em maior
velocidade
e
maior
deslocamento da bicicleta
Problematização da bicicleta de
6 marchas



Sistema de transmissão por engrenagens;
Sistema de transmissão por correias;
Relação
das
velocidades
nas
diferentes
combinações de catracas.
Coleta de dados
Tamanho dos raios:
Pneu: R = 30 cm.
Pedal: R = 20 cm.
Motora: R = 10 cm.
Movidas: R1 = 2 cm., R2 = 3 cm.,
R3 = 4 cm., R4 = 5 cm., R5 = 6 cm.,
R6 = 7 cm.
Conceitos físicos de
apoio
Mecanismos de transmissões
Sistemas de correias
Sistemas de engrenagens
velocidade angular diferente
velocidade linear igual
velocidade angular igual
velocidade linear diferente
Resultados Obtidos
Determinação do período da Rn1:
Rm R1
10 R1
10 2

 
   T1  1 s
Tm T1
5 T1
5 T1
Velocidade angular da Rn1:
2
2
1 
 1 
 1  2 rad/s.
T
1
Velocidade da bicicleta:
V   .R
V  0,60 m/s
Modelo Matemático
2
1 
T1
R1 R2

T1 T2
V  .R
Na razão raio pelo período determinamos a velocidade angular da
movida que é igual a do aro. Logo podemos substituí-la na relação
entre velocidade angular e escalar, obtendo a velocidade da
bicicleta.
Equação da velocidade
linear da bicicleta
Unindo as três equações de uma maneira mais geral
obtemos:
m.Rm
V
.Rb
Rn
Obs.: Neste modelo, consideramos o período de cada pedalada como
constante de 5 segundos. Nestas circunstancias o m, o Rm e o Rb são
constantes, tendo apenas o Rn como variável.
Visualização gráfica
Velocidade em função
de duas variáveis
Equação da velocidade
com o raio da catraca e
o período da pedalada
em função da mesma
2.Rm .Rb
Vb 
Tm .Rn
CONCLUSÃO




Foi proposto um modelo matemático para descrever a relação
entre a velocidade de uma bicicleta em função dos diferentes
raios das catracas das marchas mantendo o mesmo período
para as pedaladas;
Foram elaborados gráficos que expressam as diferentes
velocidades de acordo com as combinações de catracas;
Foram relacionamos conceitos de Matemática escolar como:
razões e proporções, álgebra, funções, circunferência e
unidades de medida.
Propomos uma interdisciplinaridade no ambiente escolar com
a Física, nos conteúdos de Mecânica, como: mecanismos de
transmissão, velocidades, movimento circular.