ESCOLA SECUNDÁRIA DE MAXIMINOS
AGRUPAMENTO DE MATEMÁTICA
m axi
minus
escola sec.
de maximinos
FICHA DE TRABALHO
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
IGUALDADE DE DUAS FUNÇÕES
 D f = Dg
 f ( x) = g ( x)
Duas funções reais de variável real f e g são iguais se: 
1. Averigúe a igualdade das funções:
2
4x − 9
a) f ( x ) =
e g(x) = 2x-3
2x + 3
b) f ( x ) = x
,
g(x) = x 2
e
h(x) = ( x )
2
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Definir ou caracterizar uma função é indicar o domínio, o conjunto de chegada e um processo que permita
conhecer a imagem de qualquer objecto (lei de correspondência).
 D f + g = D f ∩ D g
D f × g = D f ∩ D g
Função soma: f + g → 
Função produto: fxg → 
( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)
( f × g )( x) = f ( x) × g ( x)
 D f / g = D f ∩ D g ∩ {x ∈ IR : g ( x) ≠ 0}

f
Função quociente:
→ f
f ( x)
g


 g ( x) =
g ( x)



2.
Sejam as funções f(x)=x2 + 3 e g(x)= x .
x −1
1
2
a) Calcule (f - g)( ).
b) Caracterize as funções f - g , f x g e f /g.
c) Indique uma restrição da função f de modo que: (1) seja injectiva
2 x − 1 se x < -1

3. Considere as funções f e g definidas por f ( x) = 2
se - 1 ≤ x ≤ 1
 2
 x + 3 se x > 1
(2) seja monótona decrescente.
e
g(x) = x
a) Determine os zeros da função f .
b) Represente graficamente a função f.
c) Determine x de modo que f(x) > 5.
d) Caracterize as funções f + g e f / g.
e) Indique uma restrição da função f de modo a ser uma função injectiva.
4 se x ≤ 0

4. Considere a função real de variável real definida por f ( x) = 2 x − 1 e g(x) = x se 0 < x ≤ 4
 2
x se x > 4
a) Indique o domínio e os zeros de cada função.
b) Represente f e g graficamente.
f
c) Resolva a condição f(x) < 3 e calcule  (−2) .
g
d) Caracterize as funções f + g e f x g.
5. A figura seguinte é o gráfico de uma função f.
a) Escreva uma representação algébrica da função f.
b) Caracterize a função f + g sendo g ( x) = x + 1 .
c) Defina uma restrição da função f de modo a ser estritamente
crescente.
y
1
-3
-1
-1
1
x
FUNÇÃO COMPOSTA de duas funções:
 D f o g = {x ∈ IR : x ∈ D g ∧ g ( x) ∈ D f }
f og →
( f o g )( x) = f ( g ( x))
6. Sejam as funções f(x)=2x + 3 e g(x)=
2
.
3x
1
2
a) Calcule: (f o g)(1) ; (g o f)( ) ; (f o g)(a) e (g o f)(k).
b) Caracterize as funções f o g ; g o f ; g/f e 1/f
7. Considere as funções f e g definidas por f ( x) = x − 1
e
g(x) =
2
x−3
a) Determine o domínio e os zeros de cada função.
b) Caracterize as funções f 2 ; f o g e g o f .
c) Utilizando a calculadora gráfica, resolva a inequação f(x) > g(x).Utilize aproximação às décimas.
8. Mostra que se f é uma função par e g é uma função ímpar então f o g é par.
9. Considera as representações gráficas das funções polinomiais
f e g de graus 2 e 1, respectivamente.
a) Comenta a afirmação:
“O gráfico da função f/g não intersecta o eixo Ox”
x2
b) Mostra que ( f o g )( x) = − x
4
FUNÇÃO INVERSA de uma função injectiva:
Só as funções injectivas têm inversa.
A inversa de uma função f representa-se por f −1 .
Se
f −1 : B → A
f : A → B sendo A = Df e B = D ′f então
xa y = f ( x)
ya x = f −1 ( y )
10. Caracterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:
a) f(x) = 2x + 1
b) g(x) = x2 - 3
c) h(x) =
3
2x
11. Determine, analiticamente, o contradomínio das funções: f(x) =
d) i(x) =
1
3x + 2
e
3x + 1
x−5
g(x) =
2x
x+5
12. Considere as funções reais de variável real definidas por:
f(x) = 2x + 1 , g(x) =
x 1
−
2 2
, h(x) = x3
e i(x) =
3
x
a) Define as funções f -1 e h -1.
b) Caracterize as funções f o g e h o i .
c) Represente no mesmo referencial as funções f e g e noutro referencial h e i. O que conclui?
13. Mostra que, para toda a função f injectiva, os gráficos de f e f −1 são simétricos em relação
à bissectriz dos quadrantes ímpares
y
14. Considere a função f representada graficamente
a) Comente as afirmações:
A. A função f admite função inversa.
B. A função é par.
C. A equação f ( x) = k com k ∈ [− 1,1] tem sempre três soluções.
D. O domínio da função
1
-2
x
é IR.
f (x )
-1
f
1
2
x
-1
E. O máximo relativo da função f(x - 3) + 2 é 3.
b) Represente graficamente a função f (x ) .
c) Resolva as condições:
(2) f(x)(x + 3)2 = 0
(1) f(x) – f(1) = f(-1)
(3)
f ( x)
≤0
x−2
15. Sejam f, g e h funções reais de variável real.
A figura representa parte do gráfico da função f.
As funções g e h são definidas, respectivamente por
x −1
g ( x) =
e h( x ) = x + 5
2x − 5
a) Calcula (g o f )(−3) e (h o f )(−1)
b) Resolve a condição ( f ⋅ g )( x ) > 0
c) Caracteriza a função inversa de g
d) Resolve a condição h ( x ) = 2 x
Verdadeiro ou Falso?
16. Sejam f, g e h funções reais de variável real definidas em R\{-1,1} tais que:
2
1
, então f ( x) = g ( x)
f ( x) = 1 e g ( x) =
e h( x) =
2
x −1
h( x)
2x + 2
x −1
1
1
17. Sejam f ( x ) =
e g ( x) =
3
x
O conjunto dos valores reais de x que verificam a condição ( f − g )( x) < 0 é ]3 , + ∞[
18. As funções f ( x ) =
19. Sejam f ( x ) =
3
2
2x + x − 1
x +1
e g ( x ) = 2 x − 1 são iguais.
e g ( x ) = 2 x . A expressão que define a função f o g é
x
20. Dada a função f definida pela expressão f ( x ) =
de f é
f
−1
1
x+5
,
(f
o g )( x ) =
6
x
a expressão que define a função inversa
( x) = x + 5
BOM TRABALHO!