Escola Secundária/3 de Santa Maria da Feira
Ficha de Apoio de Matemática A
11º Ano
Operações com funções
FT-10
1. Considere as funções reais de variável real definidas por:
f(x) = x2 - 6x + 8 , g(x)=
a)
b)
c)
d)
e)
x +1
x−4
e h(x)
− 2x + 1 − 3
Indique o domínio de cada uma das funções.
Determine os zeros, caso existam.
Represente graficamente cada função e indique os seus contradomínios.
As funções são injectivas? Justifique.
Estude, analiticamente, o sentido de variação das funções f e g.
(2) g(x) ≥
f) Resolva as condições: (1) f(x) > 6
1
3
 D f = Dg
 f ( x) = g ( x)
IGUALDADE DE DUAS FUNÇÕES: Duas funções reais de variável real f e g são iguais sse: 
2. Averigúe a igualdade das funções:
a)
f ( x) =
4 x2 − 9
2x + 3
e g(x) = 2x-3
b)
f ( x) = x
,
g(x) = x 2
e
h(x) = ( x )
2
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Definir ou caracterizar uma função é indicar o domínio, o conjunto de chegada e um processo que permita
conhecer a imagem de qualquer objecto (lei de correspondência).
 D f + g = D f ∩ D g
 D f × g = D f ∩ D g
f +g →
Função produto: f × g → 
( f × g )( x) = f ( x) × g ( x)
( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)
 D f / g = D f ∩ D g ∩ {x ∈ IR : g ( x) ≠ 0}

f
Função quociente:
→ f
f ( x)
g


 g ( x) =
g ( x)


Função soma:
3. Sejam as funções f(x)=x2 + 3 e g(x)= x .
x −1
a) Calcule (f - g)(
1
).
2
b) Caracterize as funções f - g , f x g e
f
.
g
c) Indique uma restrição da função f de modo que: (1) seja injectiva
2 x − 1 se x < -1

4. Considere as funções f e g definidas por f ( x) = 2
se - 1 ≤ x ≤ 1 e
 2
 x + 3 se x > 1
a) Determine os zeros da função f .
b) Represente graficamente a função f.
c) Determine x de modo que f(x) > 5.
d) Indique uma restrição da função f de modo a ser uma função injectiva.
e) Caracterize as funções f + g e
(2) seja monótona decrescente.
g(x) = x
f
.
g
4 se x ≤ 0

5. Considere a função real de variável real definida por f ( x) = 2 x − 1 e g(x) = x se 0 < x ≤ 4
 2
x se x > 4
a) Indique o domínio e os zeros de cada função.
b) Represente f e g graficamente.
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c) Resolva a condição f(x) < 3 e calcule
f 
 (−2) .
g
d) Caracterize as funções f + g e f x g.
{
 D f g = x ∈ IR : x ∈ D g ∧ g ( x) ∈ D f
( f g )( x) = f ( g ( x))
FUNÇÃO COMPOSTA de duas funções: f g → 
1.
Sejam as funções f(x)=2x + 3 e g(x)=
}
2
.
3x
1
) ; (f o g)(a) e (g o f)(k).
2
b) Caracterize as funções f o g ; g o f ; g/f e 1/f
a) Calcule: (f o g)(1) ; (g o f)(
2.
Considere as funções f e g definidas por f ( x) =
x −1
g(x) =
e
2
x−3
f) Determine o domínio e os zeros de cada função.
g) Caracterize as funções f 2 ; f o g e g o f .
h) Utilizando a calculadora gráfica, resolva a inequação f(x) > g(x).Utilize aproximação às décimas.
FUNÇÃO INVERSA de uma função injectiva:
Só as funções injectivas têm inversa.
A inversa de uma função f representa-se por f −1 .
Se
f : A → B sendo A = Df e B = D ′f então
x֏ y = f ( x )
3.
f −1 : B → A
y ֏ x = f −1 ( y )
Caracterize, se existir, a função inversa de cada uma das funções definidas por:
a) f(x) = 2x + 1
b) g(x) = x2 - 3
c) h(x) =
3
2x
4.
Determine, analiticamente, o contradomínio das funções: f(x) =
5.
Considere as funções reais de variável real definidas por:
x 1
−
, h(x) = x3
2 2
a) Defina as funções f -1 e h -1.
b) Caracterize as funções f g e h i .
f(x) = 2x + 1 , g(x) =
3x + 1
x−5
2x
e g(x) =
x+5
d) i(x) =
1
3x + 2
e i(x) = 3 x
c) Represente no mesmo referencial as funções f e g e noutro referencial h e i. O que conclui?
6.
y
A figura seguinte é o gráfico de uma função f.
a) Escreva uma representação algébrica da função f.
b) Caracterize a função f + g sendo g ( x) = x + 1 .
1
c) Defina uma restrição da função f de modo a ser estritamente
-3
-1
-1
crescente.
7.
1
x
y
Considere a função f representada graficamente.
a) Comente as afirmações:
(1) A função f admite função inversa.
(2) A função é par.
(3) A equação f ( x) = k com k ∈ [− 1,1] tem sempre três soluções.
1
-2
x
é IR.
f ( x)
(5) O máximo relativo da função f(x - 3) + 2 é 3.
b) Represente graficamente a função f ( x) .
(4) O domínio da função
-1
f
1
2
x
-1
c) Resolva as condições:
(1) f(x) – f(1) = f(-1)
(2) f(x)(x + 3)2 = 0
(3)
f ( x)
≤0
x−2
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