Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A XII
1 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando
possuem os lados respectivamente proporcionais,
como está ilustrado na figura abaixo:
Figura 2 – aplicação do Teorema de Tales em triângulos
Figura 1 – dois triângulos semelhantes
Na figura 1, os triângulos
e
são
semelhantes entre si. O símbolo de semelhança é o
acento “til” : na figura 1, tem-se que
.
Em linguagem matemática, a definição de
semelhança de triângulos é:
Na expressão acima,
semelhança entre os triângulos
é a razão de
e
.
Importante
1:
dois
triângulos
são
semelhantes, se e somente se, os seus ângulos são
respectivamente congruentes. Na figura 1, isso
̂, ̂
̂ e ̂
̂.
significa que ̂
̂ e
Na figura 4, como
, tem-se que ̂
̂
̂ . Logo, pelo caso A.A., tem-se que o novo
triângulo
é semelhante ao primeiro triângulo
.
Vale ressqltar que além do caso A.A, existe o
caso L.A.L. (lado-ângulo-lado) de semelhança,
ilustrado na apostila do SAS: “Se dois lados de um
triângulo são proporcionais aos homólogos de outro
triângulo e os ângulos compreendidos são iguais,
então os triângulos são semelhantes”. No entanto, este
caso raramente aparece. Na prática, quando aparecem
triângulos semelhantes em uma questão, há 3
possibilidades:
1) Lados
semelhança)
proporcionais
(definição
de
2) Caso A.A. (importante 1)
Observação: Em um par de triângulos
e
,
se
dois pares de
ângulos forem
̂ e
respectivamente congruentes (isto é, se ̂
̂
̂ ), então o terceiro par também será congruente
̂ ) e os dois triângulos são
entre si (isto é, ̂
semelhantes. Isso ocorre porque:
̂
̂
Mas
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂e
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ , logo
Então, o primeiro caso de semelhança é o caso
A.A. (ângulo-ângulo): “dois triângulos são semelhantes
se possuem dois pares de ângulos respectivamente
congruentes”.
3) Lado paralelo a outro lado (importante 2)
2 – RAZÃO DE ÁREAS
Se a razão de semelhança de dois triângulos é
, vale ressaltar o seguinte: a razão entre dois
elementos lineares correspondentes é .
Mas o que é um elemento linear de um
triângulo? É qualquer comprimento de um segmento
do triângulo: pode ser um lado, uma altura, uma
mediana, uma bissetriz, um raio do círculo inscrito, um
raio do círculo circunscrito, etc. Logo, dizer que a razão
de semelhança de dois triângulos é significa que:
Importante 2: traçando uma paralela a um
lado de um triângulo, aparecerá um novo triângulo
semelhante ao primeiro.
- a razão entre lados correspondentes é ;
- a razão entre alturas correspondentes é ;
- a razão entre medianas correspondentes é ;
- a razão entre bissetrizes correspondentes é ;
- a razão entre mediatrizes correspondentes é ;
Observação: Isso ocorre
Teorema de Tales. Veja a figura 4:
Enfim, a razão entre dois comprimentos
correspondentes é .
por
causa
do
E qual é a razão entre as áreas?
CASD Vestibulares
Geometria
1
Para responder a pergunta, vamos estudar os
triângulos
e
abaixo, em que a razão de
semelhança é :
Exercício Resolvido 1:
Determine
e
na figura abaixo.
Figura 3 – triângulos com razão de semelhança
Figura 5: figura do exercício resolvido 1
Na figura 3, o triângulo
tem base
e
altura
. Além disso, o triângulo
tem base
e altura
. Como a razão de
semelhança é , tem-se que
e
.
Sabemos que a área do triângulo
é
. Do mesmo modo, a área do triângulo
é
Mas afinal, qual é a razão entre as áreas?
Portanto, se a razão de semelhança entre dois
triângulos é , a razão entre as suas áreas é . Isso é
muito importante!
3 – SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
Resolução:
Note que os triângulos
e
possuem os
ângulos respectivamente congruentes (logo eles
possuem dois pares de ângulos respectivamente
congruentes), logo eles são semelhantes!
No entanto, em um problema de semelhança,
nem sempre é simples determinar qual lado em um
triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo.
Por exemplo: no
, qual lado é
proporcional ao lado
?
Para responder a essa pergunta, para cada um
dos três ângulos, vamos determinar o lado oposto no
e no
:
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
(no
(no
(no
) e a (no
) e (no
) e (no
);
);
);
Com isso em mente, podemos montar a
proporção da semelhança: vamos escrever uma
igualdade entre três frações, sendo que cada fração é
composta pelos lados opostos a um ângulo:
Dois polígonos são semelhantes quando
possuem os lados respectivamente proporcionais,
como está ilustrado na figura abaixo:
Agora tudo ficou mais simples:
Resposta: Os valores são
e
Figura 4 – dois polígonos semelhantes
Qualquer polígono pode ser dividido em
triângulos. Assim, dois polígonos são semelhantes, se
e somente se, os seus ângulos são respectivamente
̂,
congruentes. Na figura 4, isso significa que ̂
̂
̂, ̂
̂,̂ ̂, ̂
̂ e ̂
.
A razão entre as áreas de polígonos
semelhantes (com
os lados respectivamente
proporcionais) é o quadrado da razão de semelhança!
2
Geometria
CASD Vestibulares
Exercício Resolvido 2:
Determine
na figura abaixo.
Como não conhecemos o valor de
, vamos utilizar a 1ª e a 3ª frações:
de
nem o
√
Resposta: O valor de
é
√
Exercício Resolvido 3:
Na figura abaixo, sabe-se que
é paralelo a
,
é perpendicular a
,
,
,
e
. Qual é a área do triângulo
?
Figura 6: figura do exercício resolvido 2
Resolução:
Na figura do problema, há vários triângulos:
,
,
...será que há um par de triângulos
semelhantes?
Note que os triângulos
e
possuem os
ângulos
e , logo pelo caso A.A., eles são
semelhantes!
E o que acontece com o terceiro ângulo?
Soma dos ângulos no
̂
̂
Figura 7: figura do exercício resolvido 3
:
̂
Resolução:
̂
̂
Uando o Teorema de Pitágoras no triângulo
Soma dos ângulos no
̂
̂
̂
:
:
̂
̂
̂
̂
Logo,
(se dois
ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais,
o terceiro ângulo também vai ser igual!).
No entanto, em um problema de semelhança,
nem sempre é simples determinar qual lado em um
triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo.
Por exemplo: no
, qual lado é
proporcional ao lado
?
Para responder a essa pergunta, para cada um
dos três ângulos, vamos determinar o lado oposto no
e no
:
: é oposto aos lados (no
) e a (no
);
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
(no
) e (no
);
Com isso em mente, podemos montar a
proporção da semelhança: vamos escrever uma
igualdade entre três frações, sendo que cada fração é
composta pelos lados opostos a um ângulo:
CASD Vestibulares
A área do triângulo
é:
é paralelo a
, logo os triângulos
são semelhantes. A razão de semelhança é:
e
A razão entre as áreas é
Resposta: A área do triângulo
Geometria
é
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. Sabendo que os ângulos com marcas iguais são
congruentes, determine as incógnitas abaixo:
a)
2. Sendo
9. (UNESP - 11) Para que alguém, com o olho normal,
possa distinguir um ponto separado de outro, é
necessário que as imagens desses pontos, que são
projetadas em sua retina, estejam separadas uma da
outra a uma distância de
.
b)
e
retas paralelas determine
a)
nos casos:
b)
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho
humano no qual ele possa ser considerado uma esfera
cujo diâmetro médio é igual a
, a maior distância
, em metros, que dois pontos luminosos, distantes
um do outro, podem estar do observador, para
que este os perceba separados, é:
10. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana XI
11. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana X
12. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana XI
3. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana IX
Nível II
4. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana IX
5. (UEL - 08) Para medir a altura de um edifício, um
engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a
sombra do prédio obtendo
metros. Em seguida,
mediu sua própria sombra que resultou em
metros.
Sabendo que sua altura é de
metros, ele pôde
calcular a altura do prédio, obtendo:
a)
b)
c)
d)
13. (UNEMAT - 10) No triângulo equilátero
, os
pontos
e são respectivamente pontos médios dos
lados ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅. O segmento ̅̅̅̅̅ mede
.
e)
6. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana IX
7. Atividade Proposta nº 1, Geometria Plana X
8. (UFG - 08)
O sinal de PARE, pintado
horizontalmente na rua, é visto de frente por um
motorista a
metros de distância sob um ângulo ,
sendo que o comprimento das letras é de metros e o
olho do motorista está a
metros do chão, conforme
ilustrado a seguir. Para que uma placa vertical de
altura , também a
metros de distância, seja vista
sob o mesmo ângulo , qual deve ser o valor de ?
A área do triângulo
a)
d)
√
√
mede:
b)
e)
√
√
c)
√
14. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana X
15. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana XI
16. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana XI
17. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana XI
18. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana XI
19. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana X
4
Geometria
CASD Vestibulares
20. (UDESC - 12) Quando olhamos para um ambiente
qualquer, a percepção de profundidade é possível
devido a nossa visão binocular. Por estarem separados
em média
em adultos, cada um dos nossos
olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente
diferente. Ao interpretar essas imagens ao mesmo
tempo, o cérebro forma um "mapa" dessas diferenças,
tornando possível estimar a distância dos objetos em
relação a nós.
A estereoscopia (popularmente conhecida como
"imagem 3D") é uma técnica que consiste em exibir
imagens distintas para cada olho do observador,
representando o que se observaria em uma situação
real. Assim, o cérebro pode ser "enganado" a
interpretar os objetos representados como se
estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela.
Diversas tecnologias existem atualmente para
conseguir isso. A mais comum delas, usada nas salas
de cinema 3D, funciona com o uso de óculos
polarizadores que filtram a imagem projetada na tela,
permitindo que cada olho receba somente a imagem
correspondente.
Um observador está em uma sala de cinema 3D
usando óculos polarizadores e sobre a tela são
projetados dois pontos e a uma distância de
um do outro, com
à esquerda de . Os filtros
polarizadores dos óculos fazem com que o ponto
seja visto apenas por seu olho direito e o ponto
apenas por seu olho esquerdo, de forma que as linhas
de visão de cada um dos olhos se interseccionem em
um ponto , conforme a figura. O observador verá
apenas um único ponto, resultado da junção em seu
cérebro dos pontos e , localizado em .
24. (FUVEST - 13) Um teleférico transporta turistas
entre os picos e de dois morros. A altitude do pico
é de
, a altitude do pico
é de
e a
distância entre as retas verticais que passam por e
é de
. Na figura, representa o teleférico em um
momento de sua ascensão e
e
representam,
respectivamente, os deslocamentos horizontal e
vertical do teleférico, em metros, até este momento.
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico
quando o seu deslocamento vertical é igual a
?
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante
de
, quanto tempo o teleférico gasta para ir
do pico ao pico ?
25. (FUVEST - 10) Na figura, o triângulo
é
retângulo com catetos
e
. Além disso, o
ponto pertence ao cateto
, o ponto pertence ao
cateto
e o ponto pertence à hipotenusa
, de tal
forma que
seja um paralelogramo. Se
,
então a área do paralelogramo
vale
Sabendo que a reta imaginária que passa por seus
olhos é paralela àquela que passa pelos pontos e
e estas distam
entre si, e que sua distância
interocular é de
a distância da tela ao ponto ,
é aproximadamente:
a)
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
e)
26. (UFPR - 11)
Um telhado inclinado reto foi
construído sobre três suportes verticais de aço,
colocados nos pontos , e , como mostra a figura
ao lado. Os suportes nas extremidades e medem,
respectivamente, metros e metros de altura.
e)
21. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana X
22. (UFJF - 06) Seja o triângulo de base igual a
e
altura igual a
com um quadrado inscrito, tendo um
lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado
é, em metros, igual a:
a)
b)
c)
d)
23. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana X
CASD Vestibulares
e)
A altura do suporte em
a)
Geometria
b)
c)
é, então, de:
d)
e)
5
27. (UNESP - 11) Uma bola de tênis é sacada de uma
altura de
, com alta velocidade inicial e passa
rente à rede, a uma altura de
.
Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e
do seu movimento parabólico, considere a trajetória
descrita pela bola como sendo retilínea e contida num
plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma
distância de
da rede, a que distância da
mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da
quadra?
30. (UFMG - 12) Na figura a seguir,
tem área igual a
. Os pontos
segmento
em três partes iguais,
pontos
e
dividem o segmento
iguais.
o triângulo
e
dividem o
assim como os
em três partes
28. (UNICAMP - 13) Na figura abaixo,
e
são
triângulos isósceles semelhantes de bases
e ,
respectivamente, e o ângulo
. Portanto, o
comprimento do segmento
é:
Com base nessas informações,
a) Determine a área do triângulo
.
b) Determine a área do triângulo sombreado
a) √
b) √
c) √
d) √
29. (UFMG - 09) Uma folha de papel quadrada,
,
que mede
de lado, é dobrada na reta , como
mostrado nesta figura:
.
31. (UFG - 10) As “Regras Oficiais de Voleibol”,
aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol
(FIVB), definem que a quadra para a prática desse
esporte deve ser retangular, medindo
de
comprimento por
de largura.
A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da
quadra, deve ter uma altura de
para jogos
profissionais masculinos. Em cada campo da quadra
há uma linha de ataque, desenhada a
de distância
da linha central, marcando a zona de frente, conforme
a figura a seguir.
Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez
um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de
ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na
bola no ponto , fazendo-a descrever uma trajetória
retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto ,
tocando a quadra exatamente num ponto
,
pertencente à linha de fundo do campo adversário.
Feita essa dobra, o ponto sobrepõe-se ao ponto , e
o ponto , ao ponto médio , do lado
.
É correto afirmar que, nessas condições, o segmento
mede:
a)
b)
c)
d)
Segundo as condições descritas, calcule a altura,
,
que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto.
Nível III
32. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana IX
6
Geometria
CASD Vestibulares
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Os triângulos são semelhantes pelo caso A.A., logo
os seus lados são proporcionais. Assim:
a)
b)
7. Como a inclinação da rampa é constante, a razão
entre as alturas é igual à razão entre as distâncias
percorridas. Então:
2. As bases dos triângulos são paralelas, logo eles são
semelhantes, com lados proporcionais
a)
b)
8. A razão entre as alturas é igual à razão entre as
distâncias horizontais. Então:
3. Como as ruas
e
são paralelas, os triângulos
e
são semelhantes. Então:
9. Os triângulos são semelhantes pelo caso A.A:
Converta
em metros (
)
10. A razão de semelhança entre os trapézios
é
:
(
)
A razão entre as áreas dos trapézios é
(
e
:
)
O perímetro do circuito é
11. Na planta, a área da sala é
.
Já a área real da sala é
. Seja a
razão de semelhança entre a sala real e a sala na
planta. Então, tem-se:
4. Como em um mesmo instante, os raios do sol são
paralelos, eles determinam triângulos semelhantes,
logo a razão entre as alturas é igual à razão entre as
sombras. Se é a altura do prédio, tem-se:
Assim, as medidas reais dos lados da sala são
e
12. Seja a razão de semelhança entre o mapa maior
e o menor. Então, tem-se:
5. Como em um mesmo instante, os raios do sol são
paralelos, eles determinam triângulos semelhantes,
logo a razão entre as alturas é igual à razão entre as
sombras. Se é a altura do prédio, tem-se:
6. Como a inclinação da rampa é constante, a razão
entre as alturas é igual à razão entre as distâncias
percorridas. Se é a altura da rampa, tem-se:
( )
13. Como e são pontos médios de
e
,
é
paralelo a
. Logo os triângulos
e
são
semelhantes e o triângulo
é equilátero de lado
. A razão de semelhança é
√
√
√
CASD Vestibulares
Geometria
√
√
√
7
14. Como e são pontos médios de
paralelo a
. Logo os triângulos
e
razão de semelhança é
e
,
é
, onde a
18. A figura do problema é a seguinte:
15. Como é o baricentro do triângulo
,
e
são medianas, então e são pontos médios de
e
. Logo os triângulos
e
, onde a razão de
semelhança é
16. Seja o ponto em que
e
se cortam. Então
os triângulos
e
são semelhantes pelo caso
A.A. Seja a altura do triângulo
relativa ao lado
. Como a altura do trapézio é
, altura do
triângulo
relativa ao lado
é
. Então:
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
O triângulo
tem base
e altura
O triângulo
tem base
e altura
17. Seja
e
Na figura, ,
e
são paralelos aos lados
,
e
. Então, os triângulos
,
,
e
são
todos semelhantes entre si e os quadriláteros
,
e
são paralelogramos. Além disso, as
áreas d os triângulos
,
e
são
,
e
, respectivamente. Seja
o valor de
. Então, tem-se:
e
:
são paralelogramos
(
:
a razão de semelhança entre os triângulos
, Então:
e
.
)
(
)
19. Na figura à direita, note que
pelo enunciado
. Além disso,
. Então, tem-se:
√
Sejam
e a altura do triângulo
lado
. Seja
a altura do triângulo
lado
. Então, tem-se:
relativa ao
relativa ao
A altura do trapézio é
(
8
)
(
20. Sejam
a altura do triângulo maior (que é a
distânia da tela ao ponto ) e a altura do triângulo
menor (que é a distância do ponto à reta que passa
pelos olhos do observador). Note que a distância da
tela à reta que passa pelos olhos do observador é
. Além disso, a base do triângulo maior é
e a base do triângulo menor é a
distância interocular, que vale
. Então, tem-se:
)
Geometria
CASD Vestibulares
21. Na figura aparecem dois triângulos retângulos: há
um triângulo de base
e altura
(sobre o
quadrado menor e à direita do quadrado maior) e outro
de base
e altura (á direita do quadrado menor).
Como os dois triângulos são semelhantes, tem-se:
(
)
(
24. a), Note que a base do triângulo maior é
ea
sua altura é
. A base do triângulo
menor é e a sua altura é
. Então:
)
22. A figura do problema é a seguinte:
b)
√
Seja
Como
é paralelo a
, os triângulos
e
são semelhantes. Seja
o lado do quadrado
.
Como o triângulo
tem base
e altura
, o triângulo
tem base e altura
:
(
√
o tempogasto pelo teleférico. Então:
√
√
25.
)
23. A figura do problema é a seguinte:
Como
é paralelo a
, os triângulos
são semelhantes. Então, tem-se:
Seja
a altura do triângulo
e a sua área
é
. Como a sua base
, tem-se:
é
Como
é paralelo a
, os triângulos
e
são semelhantes. Sejam e os lados do retângulo
. Como o triângulo
tem base
e
altura
, o triângulo
tem base e altura
(
A área do retângulo
(
é
e
26. Trace uma paralela à reta
pelo ponto
abaixo, formando a figura abaixo:
)
. Então:
)
Como os triângulos
e
A altura do suporte em
é
são semelhantes:
ou
ou
ou
:
Lembre-se que o perímetro do retângulo (que é
) deve ser o menor possível!
CASD Vestibulares
Geometria
9
27. A figura do problema é a seguinte:
29. A figura do problema é a seguinte:
A altura em que a bola é sacada é
, a
altura da rede é
, e a distância da rede ao
ponto em que a bola foi sacada é
.
Seja
distância (em
)da rede ao ponto em
que a bola atinge o outro lado da quadra. Como
é
paralelo a
, os triângulos
e
são
semelhantes.
Chame o ponto em que a reta corta o lado
de .
Seja
. Note que
,
e
(pois , depois da dobra, coincide com o
ponto ). Usando Pitágoras no triângulo
:
(
(
Converta
)
)
).
em metros (
28. A figura do problema é a seguinte:
Note que os triângulos
e
pelo caso A.A. Então, tem-se:
Como os triângulos
̂
̂
̂
e
são semelhantes,
Traçe as alturas
e
relativas a
(no
)ea
(no
). Como os triângulos são isósceles, as
alturas são medianas, logo
e
√
̂
̂
30. No item a), note que a razão de semelhança entre
os triângulos
e
é . Logo a razão entre as
suas áreas é
. No tem b), note que o triângulo
tem a mesma base que o triângulo
mas o
dobro da sua altura, logo a área do triângulo
éo
dobro da área do triângulo
31. A figura do problema é a seguinte:
√
√
√
são semelhantes
√
√
̂
̂
̂
Pelo Teorema de Tales, tem-se que:
̂
Usando a lei dos cossenos no triângulo
:
̂
Como
(
10
√
)
(
√
)
(
√
)(
√
)(
)
é a altura da rede,
Os triângulos
tem-se:
Geometria
e
são semelhantes. Então,
CASD Vestibulares
32. A figura do problema é a seguinte:
o triângulo
̂
̂
é isósceles de base
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Seja
̂
o ponto em que
corta
̂
̂
̂
. Então:
̂
̂
̂
Seja
um pentágono regular de lado . Então:
O ângulo interno do pentágono é:
(
)
(
)
Logo
̂
̂
̂
o triângulo
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
o triângulo
é isósceles de
̂
base
̂
o triângulo
é isósceles de
e
. Então
são semelhantes. Então:
(
)
√
, tem-se que
diagonal do pentágono regular é
̂
̂
√
̂
√
. A medida da
. Então:
√
é isósceles de base
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
a medida de
Os triângulos
̂
̂
̂
̂
̂
Como
o triângulo
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
é isósceles de base
̂
̂
̂
̂
̂
̂
base
Seja
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
CASD Vestibulares
̂
Geometria
11
30. a) A área do triângulo
GABARITO
1. a)
b) A área do triângulo sombreado
b)
2. a)
é
31. A altura
b)
é
é
32. C
3. B
4. A
5. D
6. B
7. D
8. A altura
deve ser
9. A distância
deve ser
10. B
11. D
12. A
13. E
14. E
15. A
16. D
17. E
18. E
19. D
20. D
21. A
22. A
23. B
24. a) O deslocamento horizontal é
b) O tempo gasto pelo teleférico é
√
25. A
26. D
27. A bola atingirá o outro lado da quadra a uma
distância de
28. C
29. C
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Geometria
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