Geometria Espacial – Lista 1
Aprofundamento em Matemática – Prof. Sérgio Tambellini
Nome : ................................................................................. no ............. Turma : .....................
01. (VUNESP 2008 – Conhecimento Específico – Exatas)
Numa região muito pobre e com escassez de água, uma
família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo
reservatório de água tem o formato de um cilindro circular
reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido
de um tronco de cone reto cujas bases são círculos
paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm,
respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura.
04. (UNICAMP 2008 – 2a fase) Supondo que um livro de
20cm de largura esteja aberto conforme a figura abaixo,


sendo D A C  120 o e D B C  60 o .
30 cm
12 cm
10 cm
6 cm
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma
torneira com um gotejamento que provoca um desperdício
de 46,44 litros de água por dia. Considerando a
aproximação  = 3, determine quantos dias de gotejamento
são necessários para que a quantidade de água
desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja,
encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual.
Dado: 1000 cm3 = 1 litro.
a) Calcule a altura AB do livro.
b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.
05. (UNICAMP 2008 – 2a fase) Em uma estrada de ferro,
os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base
composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem
uma seção trapezoidal, conforme representado na figura
abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem 2m,
a base maior tem 2,8m e as arestas laterais têm 50cm de
comprimento. Supondo que um trecho de 10km de estrada
deve ser construído, responda às seguintes questões.
02. (FUVEST 2008 – 2a fase)
Pedrinho, brincando com seu cubo
mágico, colocou-o sobre um copo,
de maneira que
 apenas um vértice do cubo ficasse
no interior do copo, conforme ilustra
a foto;
 os pontos comuns ao cubo e ao
copo determinassem um triângulo
equilátero.
Sabendo-se que a borda do copo é
uma circunferência de raio 2 3 cm
determine o volume da parte do cubo
que ficou no interior do copo.
a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse
trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão
basculante tem 6m de comprimento, 2,5m de largura e
0,6m de altura, quantas viagens de caminhão serão
necessárias para transportar toda a brita?
06. (ITA 2007) Os quatro vértices de um tetraedro regular,
de volume 8/3 cm3, encontram-se nos vértices de um cubo.
Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de
raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.
07. (ITA 2007) Considere uma pirâmide regular de base
(
03. (ITA 2008) Seja C uma circunferência de raio r e
centro O e AB um diâmetro de C. Considere o triângulo
equilátero BDE inscrito em C. Traça-se a reta s passando
pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à
circunferência C no ponto A. Determine o volume do
sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada
pelo arco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do
diâmetro AB .
hexagonal, cujo apótema da base mede 3 cm. Seccionase a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um
tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide.
Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1 / 2 , a
altura do tronco, em centímetros, é igual a
a) ( 6  2 ) / 4 .
d) (3 2  2 3 ) / 6 .
b) ( 6  3 ) / 3 .
e) (2 6  2 ) / 22 .
c) (3 3  6 ) / 21 .
08. (VUNESP 2007 – Conhecimento Geral) Um troféu
para um campeonato tem a forma de uma esfera de
raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma
distância de 5 3 cm do centro da esfera, determinando
uma circunferência de raio r cm e sobreposta a um cilindro
circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura
(não em escala).
R = 10 cm
11. (UNICAMP 2007 – 2a fase) Um pluviômetro é um
aparelho utilizado para medir a quantidade de chuva
precipitada em determinada região. A figura de um
pluviômetro padrão é exibida abaixo. Nesse pluviômetro, o
diâmetro da abertura circular existente no topo é de 20cm.
A água que cai sobre a parte superior do aparelho é
recolhida em um tubo cilíndrico interno. Esse tubo
cilíndrico tem 60cm de altura e sua base tem 1/10 da área
da abertura superior do pluviômetro. (Obs.: a figura abaixo
não está em escala)
5 3 cm
12. (UNICAMP 2007 – 2a fase) Seja ABCDA1B1C1D1 um
cubo com arestas de comprimento 6 cm e sejam M o ponto
médio de BC e O o centro da face CDD1C1, conforme
mostrado na figura abaixo.
r cm
20
O volume do cilindro, em cm3, é
a) 100.
d) 500.
b) 200.
e) 750.
c) 250.
cm
D1
C1
L
A1
B1
K
O
09. (VUNESP 2007 – Conhecimento Específico – Exatas)
Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg,
podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos.
O sólido da figura, formado por um tronco de pirâmide
regular de base quadrada e um paralelepípedo reto
retângulo,
justapostos
pela
base,
representa
aproximadamente um iceberg no momento em que se
desprendeu da calota polar da Terra. As arestas das bases
maior e menor do tronco de pirâmide medem,
respectivamente, 40dam e 30dam, e a altura mede 12dam.
D
C
M
A
B
a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta
PO intercepta CC1 e DD1 em K e L, respectivamente,
calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL.
b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, K, C
e M.
Respostas:
30dam
01. 2 dias
12dam
40dam
H
02. 9 2 cm3
03.
2r 3
unidades de volume
3
04. a) 20 2 cm b)
Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seu
volume era de 23100dam3, o que correspondia a ¾ do
volume inicial. Determine a altura H, em dam, do sólido
que representa o iceberg no momento em que se
desprendeu.
10. (UNICAMP 2007 – 2a fase) Por norma, uma folha de
papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma
folha A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente
dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre
perpendicular à maior dimensão resultante até a dobra
anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão
geométrica que representa a espessura do papel dobrado
em função do número k de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o
papel seis vezes, quais serão as dimensões do
paralelepípedo?
P
05. a) 7200m3
06.
2000 6
cm3
3
b) 800 viagens
4.(6  )
cm3
3
07. c
08. d
09. H = 22 dam
10. a) ak = 0,1.2k
b) 26,25mm; 37,125mm e 6,4mm
11. a) 600 cm3 b) 300 m3
12.a) CK = 2cm e DL = 4cm
b) V = 42cm3