Octaedro
1. (Uel 2006) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma joia exclusiva. Para isto,
imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma pérola inscrita,
com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir.
3
Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de comprimento, o volume da pérola, em cm , é:
( 2)π
3
8π
b)
3
( 2)π
c) 8
9
( 6)π
d) 4
9
( 6)π
e) 8
27
a)
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 1 de 7
2. (Pucsp 2006) De um cristal de rocha, com o formato de uma esfera, foi lapidada uma joia na
forma de um octaedro regular, como mostra a figura seguinte.
3
Se tal joia tem 9 2 cm de volume, quantos centímetros cúbicos de rocha foram retirados do
cristal original para lapidá-la? (Use: π = 3)
a) 36 2
b) 32 2
c) 24 2
d) 18 2
e) 12 2
3. (Ufrgs 2001) Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo
de aresta 2.
O volume do octaedro é
2
.
3
4
b)
.
3
a)
c) 2.
8
.
3
10
e)
3.)
d)
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 2 de 7
4. (Puccamp 1999) Um octaedro regular é um poliedro constituído por 8 faces triangulares
congruentes entre si e ângulos poliédricos congruentes entre si, conforme mostra a figura a
seguir.
3
Se o volume desse poliedro é 72 2 cm , a medida de sua aresta, em centímetros, é
a) 2
b) 3
c) 3 2
d) 6
e) 6 2
5. (Upf 2012) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH
e o octaedro MNOPQR.
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do
cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem,
respectivamente:
a) 72 3 cm2 e 54 cm3
b) 36 3 cm2 e 18 cm3
c) 36 3 cm2 e 36 cm3
d) 18 2 cm2 e 36 cm3
e) 36 2 cm2 e 18 cm3
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 3 de 7
6. (Ufpe 2011) Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície
36 3 cm2 . Indique o volume do octaedro, em cm3 .
7. (Pucrj 2010) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros,
conforme indicado na figura.
Para um octaedro de aresta a:
a) Qual é a sua área total?
b) Qual é o seu volume?
c) Qual é a distância entre duas faces opostas?
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 4 de 7
8. (Ufsc 2010) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) Com base nos dados das figuras a seguir, pode-se afirmar que a relação entre os volumes
dos três tanques é V1 < V2 < V3.
02) É mais vantajoso para o consumidor comprar uma barra de goiabada, na forma de
paralelepípedo retângulo, com 8 cm x 6 cm x 9 cm e que custa R$ 2,16, do que outra de
mesma forma, com 6 cm x 5 cm x 8 cm e que custa R$ 0,96.
04) O volume da esfera é três vezes o volume do cone, que tem o raio da esfera, e cuja altura
é o raio da esfera.
08) Uma fábrica lançou uma nova linha de bombons de chocolate. A quantidade de chocolate
necessária para a fabricação de um bombom maciço em forma de octaedro regular, conforme
4000
a figura a seguir, é de
cm3 .
3
16) O valor de a 81
log 3
9
é igual a 9.
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 5 de 7
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Resposta da questão 2:
[D]
Resposta da questão 3:
[B]
Resposta da questão 4:
[D]
Resposta da questão 5:
[C]
Seja J o ponto médio da aresta BG.
Como o triângulo retângulo ONJ é isósceles, segue que ON  3 2 cm.
Sabendo que as faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros congruentes, segue que
a sua área lateral é
2
8
ON  3
 2  (3 2)2  3  36 3 cm2 .
4
O volume do octaedro é dado por
2
1
1
2   ON  JG  2   (3 2)2  3  36cm3 .
3
3
Resposta da questão 6:
Sabendo que a área total de um octaedro regular é dada por 2a2 3, em que a é a aresta do
6
cm.
octaedro, segue que 2a2 3  36 3  a 
2
3
 6 
 2
3
a 2  2 

 36 cm3 .
Portanto, o volume do octaedro é dado por
3
3
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 6 de 7
Resposta da questão 7:
a) A área da superfície total equivale a área de oito triângulos equiláteros..
a2 3
 2.a 2 . 3
4
b) o volume será o dobro do volume de uma pirâmide
A = 8.
1 2 a 2 a3 2

V = 2. .a .
3
2
3
c) A área do losango ABCD .
A=
a.a 2 a 2 2

, lembrando que todo losango é um paralelogramo, temos:
2
2
a 3
a2 2
a 6
d 
d
2
2
3
Resposta da questão 8:
08 + 16 = 24
h
r
r 2.h
 2r 2 .h , V2  (r)2 .h e V3  ( )2.h 
(v3< V2 < V1)
2
2
2
2,16
0,96
02) (falsa)
 0,005 e
 0,004 (mais vantajosa)
8.6.9
240
3
3
04) (falsa) Volume da esfera = 4/3.r e volume do cone = 1/3.r , logo o volume da esfera é
quatro vezes o volume do cone.
2
01) (falsa) V1  (2r) .
10 2  .
V
3
08) (verdadeira)
3
2

4000
3
16) (verdadeira) 81log9 3  92log 9 3  9log9 9  91  9
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 7 de 7