Departamento de Matemática - Secção de Estatı́stica e Aplicações
Probabilidades e Estatı́stica
LEGM, LET, MA, MEC
1o semestre – 2008/09
03/02/2009 – 9 horas
2o Exame/2o Teste
Duração: 3 horas/1 hora e 30 minutos
• Se pretende fazer o exame deve resolver todos os grupos.
• Se pretende fazer o 2o teste deve resolver apenas os grupos III e IV. Nesse caso as cotações passam
a ser o dobro das indicadas.
• Justifique convenientemente todas as respostas.
Grupo I
6.0 valores
1. Um saco contém bolas brancas e bolas pretas, pelo menos uma de cada cor, num total de seis. Tiram-se,
simultaneamente e ao acaso, quatro bolas do saco. Seja X a variável aleatória que representa o número
de bolas brancas saı́das nas quatro bolas retiradas. Sabendo que X toma exclusivamente os valores 3 e 4:
(a) Indique o número de bolas brancas e o número de bolas pretas que estão inicialmente no saco.
Explique claramente o seu raciocı́nio.
(0.5)
(b) Calcule a função de probabilidade de X.
(0.5)
(c) Determine E(X) e V ar(X).
(0.5)
2. Um ferry boat efectua o transporte de pessoas e automóveis entre duas localidades situadas na margem de
um rio. O número máximo de passageiros admitidos a bordo é 500 e o de automóveis é 50. Admita que os
pesos (em kg) de um passageiro (X) e de um automóvel (Y ) têm distribuições normais, X ∼ N (60, 122 ) e
Y ∼ N (1500, 2002 ), respectivamente. (Se tiver que admitir condições adicionais para responder a alguma
das alı́neas, deve indicar claramente essas condições.)
(a) Numa viagem com lotação esgotada (ou seja, com todos os lugares de passageiros e automóveis ocupados), qual a probabilidade da carga total ser maior que 108 toneladas (carga máxima permitida)?
(2.0)
Nota: se não resolveu a alı́nea (a) admita, para resolver as alı́neas (b) e (c), que o resultado de (a)
é 0.0165.
(b) Calcule a probabilidade de, em 10 viagens sucessivas com lotação esgotada, acontecer que no máximo
se observe uma dessas viagens em que a carga total excede a carga máxima permitida.
(1.0)
(c) Considerando ainda uma sequência de viagens com lotação esgotada, determine:
(1.5)
- A probabilidade de a primeira viagem com carga superior à carga máxima permitida acontecer
antes da décima viagem da sequência.
- O número esperado de viagens a realizar até encontrar a primeira viagem com carga superior
à carga máxima permitida.
Grupo II
4.0 valores
Na produção de painéis de cimento-madeira podem ocorrer defeitos dos tipos I e II. Considere as variáveis
aleatórias, X e Y , representando a existência (ou não) de defeitos de cada tipo num painel escolhido ao
acaso: X = 1 indica que o painel tem defeitos do tipo I e X = 0 que não tem esse tipo de defeitos; do
mesmo modo, Y = 1 indica que o painel tem defeitos do tipo II e Y = 0 que não tem esse tipo de defeitos.
Sabe-se que P (X = 1) = q, P (Y = 1|X = 0) = p0 e P (Y = 1|X = 1) = p1 (com 0 < q, p0 , p1 < 1).
(a) Admitindo que q = 0.08 e p0 = 0.3, p1 = 0.8, calcule P (X ≤ Y ).
(1.0)
(b) Escreva (em função de q, p0 e p1 , desconhecidos) a função de probabilidade conjunta de (X, Y ),
bem como as funções de probabilidade marginais de X e Y .
(2.0)
(c) Obtenha (em termos de q, p0 e p1 ) uma condição necessária e suficiente para a independência entre
X e Y.
(1.0)
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Grupo III
5.0 valores
1. O gerente de uma agência de reparação de um dado equipamento electrónico afirma que 10% das
reparações efectuadas se referem a avarias devidas a má utilização do equipamento. Para estudar esta
situação foram seleccionados aleatoriamente 200 processos de reparação, os quais, analisados detalhadamente, revelaram que em 15 desses casos a avaria foi consequência directa de má utilização.
(a) Determine o estimador de máxima verosimilhança da proporção de reparações que são devidas a
má utilização e averigue se esse estimador é centrado.
(1.5)
(b) Teste ao nı́vel de significância de 1% se a amostra sustenta ou não a hipótese formulada pelo gerente.
Determine ainda o valor-p do teste e comente.
(1.5)
2. Um novo jogo de um casino envolve o lançamento de 3 dados usuais. O jogador recebe um prémio
directamente proporcional ao número total de seis obtidos num lançamento dos 3 dados. Suponha que
um jogador jogou 101 vezes e registou os seguintes resultados:
No de seis por lançamento
No de vezes que ocorreu
0
48
1
35
2
15
3
3
(a) O jogador suspeita que os dados não são equilibrados. Com base na amostra dada o que pode
concluir sobre a suspeita do jogador (ao nı́vel de significância de 5%)?
(1.5)
(b) Acha que o casino terá deliberadamente viciado os dados? Justifique.
(0.5)
Grupo IV
5.0 valores
Há razões para crer que existe uma relação linear entre a massa corporal (X), em Kg, e a força muscular
(Y ), em unidades adequadas. A observação de 62 indivı́duos, com massa corporal entre 27 e 70 Kg,
conduziu à seguinte recta de regressão dos mı́nimos quadrados
d|x] = −13.971 + 3.016x,
E[Y
x ∈ [27, 70].
(a) Qual é o significado do coeficiente numérico 3.016?
(0.5)
(b) Em face da natureza das variáveis em estudo e da informação fornecida no enunciado, como interpreta o facto da ordenada na origem ser negativa?
(0.5)
(c) Sabendo que a estimativa da variância do estimador do coeficiente angular (ou declive) é igual a
1.2 diga se as observações efectuadas nos 62 indivı́duos revelam evidência suficiente para confirmar
a suspeita de que a força muscular está relacionada de modo linear com a massa corporal. Indique
o pressuposto fundamental (para além dos pressupostos considerados para determinar a recta de
regressão dos mı́nimos quadrados) que é necessário assumir para responder a esta questão.
(1.5)
(d) Obtenha uma estimativa do valor esperado da força muscular de indivı́duos com massa corporal
de 50 Kg. Sabendo que a estimativa da variância do erro associado ao modelo é σ̂ 2 = 6185 e que
x̄ = 50 Kg, determine um intervalo de confiança a 95% para aquele valor esperado.
(1.5)
d|x] = −13.971 + 3.016x, para estimar o valor esperado
(e) Um aluno usou a equação de regressão E[Y
da massa corporal de indivı́duos com força muscular igual a 100 unidades.
(1.0)
- Reproduza o valor obtido pelo aluno.
- Acha este procedimento correcto? Explique claramente a sua opinião.
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