Instituto Politécnico de Viseu
Escola Superior de Tecnologia
Probabilidades e Estatı́stica
Departamento: Matemática
Curso: Engenharia do Ambiente
Ano: 2o
Prova: Exame
Ano Lectivo: 2009/2010
Época: Recurso
Duração: 2 horas e 30 minutos
Semestre: 1o
17/02/2010 - 9h00m
1. Num estudo de mercado para caracterizar os hábitos de utilização da internet, foi recolhida
informação através de um questionário a 123 utilizadores da internet de uma determinada região.
Da amostra recolhida retiraram-se os seguintes dados, relativamente ao tempo de utilização
semanal da internet (em horas):
Mulheres
Homens
No de utilizadores
65
58
Média observada
27.2
29
Variância observada
20
16
1.1. Utilizando um intervalo, com 95% de confiança, verifique se para algum dos sexos o tempo
médio de utilização semanal da internet é superior.
1.2. Considere a seguinte afirmação: “Em média, há uma maior utilização da internet pelo sexo
masculino do que pelo sexo feminino, sendo esta discrepância superior a 2 horas semanais.”
Indique as hipóteses adequadas para avaliar a veracidade da afirmação anterior.
1.3. Admita que o tempo de utilização semanal da internet segue uma distribuição lognormal
com média 15.72 horas e desvio padrão 5.66 horas. Qual a percentagem de utilizadores
cujo tempo de utilização semanal é superior a 16 horas?
1.4. Pretende saber-se se há diferenças reais entre as três classes sociais (Baixa, Média e Alta)
relativamente ao tempo médio semanal de utilização da internet, e se podemos identificar
uma das classes sociais como sendo aquela onde realmente o tempo médio de utilização
da internet é maior comparativamente com as outras duas. Admitindo que se verificam
os pressupostos necessários, responda a estas questões, ao nı́vel de significância de 0.05,
utilizando os dados seguintes:
Baixa
Média
Alta
No de utilizadores
40
30
53
Média observada
7.88
19.09
19.72
Desvio padrão observado
1.42
1.66
1.42
SSE=263.10
2. Um indivı́duo que trabalha em Coimbra, mas reside na margem Sul do Mondego, tem diariamente duas possibilidades de se dirigir ao local de trabalho: o autocarro ou o carro próprio. Ele
gosta muito de ir de autocarro, pelo que escolhe o autocarro em 90% das vezes. Quando vai
de autocarro, ele chega atrasado 85% das vezes, enquanto que se utilizar o carro próprio esta
percentagem é de 80%.
2.1. Qual a probabilidade do indivı́duo chegar atrasado ao trabalho?
2.2. Em dois meses de trabalho (40 dias), qual a probabilidade do indivı́duo chegar atrasado
em 30 ou 31 dias?
Instituto Politécnico de ViseuEscola Superior de Tecnologia
Prova: Exame
Época: Recurso
Ano Lectivo: 2009/2010
Disciplina: Probabilidades e Estatı́stica
17/02/2010 - 9h00m
2.3. Seja X uma variável aleatória que representa o tempo (medido em unidades de 10 minutos)
que o individuo demora a chegar ao trabalho se for de autocarro.
f (x) =
2
3
−
x
,
4.5
0,
0 ≤ x ≤ 3;
caso contrário.
Calcule a probabilidade de ele demorar entre 10 e 20 minutos.
2.4. Seja Y a variável que representa o número de autocarros que passam por hora perto do local
de trabalho do indivı́duo. Sabe-se que Y segue uma distribuição de Poisson com variância
igual a 3.
2.4.1. Determine a probabilidade de, em meia hora, passarem menos de 3 autocarros.
2.4.2. Qual a probabilidade de em dois dias passarem entre 140 e 150 autocarros?
3. Um ministério governamental tem um serviço de reparação das máquinas montadas nas suas
instalações. O serviço regista diariamente os pedidos de reparação, sendo as reparações realizadas
no dia seguinte. Em 18 dias foram registados o número de pedidos (X) e o tempo em minutos
(Y) gasto com as reparações. Admita que as duas variáveis estão relacionadas de acordo com o
modelo de regressão linear Y = β0 + β1 X + , e que as estimativas dos mı́nimos quadrados de
β0 e β1 são respectivamente -2.33 e 14.74.
3.1. Indique a estimativa do acréscimo da média do tempo de reparação quando o número de
máquinas a reparar aumenta de uma unidade e estime o tempo gasto com as reparações
quando o número de pedidos é igual a 5.
3.2. Teste a hipótese nula de β1 ser igual a 14. Use α = 0.05 e considere que SSE = 0.802,
18
X
x2i = 439 e x = 4.5
i=1
3.3. Verifique se o tempo em minutos (Y) gasto com as reparações segue uma distribuição
normal com média igual a 18.47 minutos e desvio padrão igual a 5.06 minutos. Use um
nı́vel de significância de 0.01 e considere as observações: 18, 10, 19, 10, 13, 20, 18, 21, 14,
23, 15, 27, 16, 20, 22, 21, 15 e 20.
3.4. Admita que o tempo, em minutos, que decorre entre dois pedidos consecutivos é uma
variável aleatória com distribuição normal. Registaram-se 11 observações desse tempo e
obteve-se uma variância de 6.2727. Teste a hipótese do desvio padrão do tempo que decorre
entre dois pedidos consecutivos ser de 2.6 minutos (use α = 0.05).
Pergunta
Cotação
1.1
1.4
1.2
0.5
1.3
1.7
1.4
3.5
2.1
1.2
2.2
1.2
2.3
1.1
2.4.1
1
2.4.2
1.8
3.1
0.7
3.2
1.9
3.3
2.5
3.4
1.5