SISTEMA DE PARTÍCULAS


P  MVCM

dP  EXT
F
dt

 EXT
MACM  F
e o resto da descrição deste movimento?
SISTEMA DE PARTÍCULAS


P  MVCM

dP  EXT
F
dt

 EXT
MACM  F
e o resto da descrição deste movimento?
sistema
?
=
cm

interno
+
cm



P  MVCM  PCM
0
1
2
T  MVCM
 TCM
2
animação
SISTEMA DE PARTÍCULAS
ROTAÇÕES
Torque de uma força
em torno de um ponto O
 
r  F  r F sen kˆ
ˆ
k


r

r
O
 

0  r  F
kit rotações

F

F //

F



F  F  F//

F
    
r  F  r  F  F// 
 
 r  F  r F kˆ
Momento angular de uma partícula
em torno de um ponto O
kˆ

O

r

v

v
  
l0  r  p

 
 
l0  r  p  m r  v
 m r v  kˆ
SISTEMA DE PARTÍCULAS
objeto em movimento circular
Exemplo

v


r

kˆ

ω  ω kˆ
  res
 

 O  r  F  m r  a  m ra sen0  0

O  0

 
 
l O  r  p  m r  v  m r v sen90 kˆ  m r (  r )kˆ

2 
lO  m r 
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Exemplo

d
kˆ
objeto em movimento uniforme

v

r
  res

O  r  F  0

O  0
  
 
lO  r  p  m r  v  m v d kˆ

lO  m v d kˆ  constante
SISTEMA DE PARTÍCULAS
" Lei de Newton da rotação da partícula"
  
l0  r  p
 

0  r  F



dl 0 d   dr   dp
 r  p    p  r 
dt dt
dt
dt
O é observador inercial 

dl 0 
   res
 vmv  r F
dt
0


p  mv
  
lO  r  p

dp  RES
F
dt

dl 0   res  res
 r  F  0
dt

dp  res
F
dt

dlO  res
 O
dt
SISTEMA DE PARTÍCULAS
o momento angular e o torque dependem do ponto em
relação ao qual são calculados...
 res
ˆ
F  F res 
 z
 l'
v



r


r


lO  m r 2 
O

'O  0
O'

 l'
v

O  0

l 'O  constante
z

O
O'
o momento angular não tem direção constante
- ele gira em torno de z
- ele “precessa”
SISTEMA DE PARTÍCULAS
se o momento angular varia, e

dl 0 
 0
dt
então deve existir um torque resultante...
 res
ˆ
F  F res 
 z
 l'
v



r

O
O'

'O  0
F res  m 2 
 

' 0  r  F

'0   h F vˆ
h '0   h m 2  vˆ

l 'O  constante
mas
a componente z do momento angular é fixa...

 
r    hk

 
l '0  r  p 
 

ˆ
  p  hk  p 
 
 l ' z  l '
lz = m  v = m  2 
SISTEMA DE PARTÍCULAS
componente z do momento angular...
 z
 l'
v 


r
lz =  mv = m  2 

lz =  mv = m  2 
O
massa x distância ao eixo ao
quadrado
momento de inércia
O'
"da partícula" em
relação ao eixo z
lz
l'

I = m2
l’z = I 
SISTEMA DE PARTÍCULAS
p= mv
lz = I 
momento linear  momento angular
F= ma
z
= I
força  torque
m
I = m2
massa  momento de inércia
 
dp
res
F
dt

dlO  res
 O
dt
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Sistema com duas partículas
1

F1EXT
2
  
L  l1  l 2
  
  1   2
1

F1( 2 )

F2 ( 1 )
 EXT
F2
2



dL dl1 dl 2  


 1   2
dt dt dt
 EXT 



 1  r1  F1
 r1  F1( 2 )
 EXT 



 2  r2  F2
 r2  F2 ( 1 )
 
    EXT   EXT  
1  2  r1  F1  r2  F2
 r1  F1( 2)  r2  F2(1)

   EXT  INT
1   2    
 EXT  EXT  EXT   EXT   EXT
  1   2  r1  F1  r2  F2
 
 INT  INT  INT  
  1   2   r1  F1( 2 )  r2  F2(1) 
 
 r1  r2  F1( 2 )  0
 INT
 0
terceira lei “forte”

dL  EXT

dt
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Lei de Conservação do Momento
Angular de um sistema de partículas

dLo  EXT
N 

i
 o
LO   lO
dt
i 1
Lei de Conservação do Momento
Linear de um sistema de partículas

dP  EXT
F
dt
 N 
P   pi
i 1
Lei de Conservação da Energia de
um sistema de partículas
N

E   Ti  U iext  U int
i 1

n~ c
int
E  W
n~ c
ext
W
 INT
 INT
F
 0,   0, W INT ?
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Se o eixo de rotação é fixo...
lembrando da discussão para o caso de uma partícula...

z

v

l'

v




r
 = distância ao eixo
I = m2
lz = I 
O'
1
2
  
l1  r1  p1
  
l 2  r2  p2
l1 z  m1  1 
2
l2z  m2  2 
2


 m1  1  m 2  2 
0


z


2
2
Lz  m1  1   m 2  2  
2
Lz  I 
2
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Lei de conservação do momento angular
para um sistema de partículas

dL  EXT

dt
torque total das forças
externas agindo sobre o

sistema:  EXT
Rotação em torno de um eixo z fixo
Lz  I 

dLz d
d
 I z   I z
dt
dt
dt
I   m 
massas
2


EXT
z
 Iz 
exemplos:
latinhas giratórias
ventilador na bacia
cadeira giratória
filme (2)
SISTEMA DE PARTÍCULAS
sistema
!
=
cm

interno
+
cm



P  MVCM  PCM
1
2
T  MVCM  TCM
2




L  MRCM  VCM  LCM