Módulo 5
SISTEMA DE PARTÍCULAS:
Momento linear,
Centro de Massa,
Colisões
J.A.M. Simões
M.A.T. de Almeida
M.F. Barroso
Física:
SIMPLES —> COMPLEXO
1, 2, ..., “N” partículas —> Sistemas macroscópicos
1 partícula:


p  mv
2a lei de Newton:
 RES
F

dp

dt
1 partícula:
 RES dp
F 
dt


p  mv
2 partículas:
EXEMPLO 1:
patinete + professora

vP i  0

vM i  0

vP f

vM f
2 partículas:
EXEMPLO 1: patinete + professora
v 0
 Pi
vM i  0

vP f

vM f
FM
tem po
FP
(1)
(2 )


dp M
FM (t ) 
dt


dp P
FP (t ) 
dt
DIFÍCIL RESOLVER, POIS
 NÃO CONHECEMOS
FM, P
MAS


FP (t )   FM (t )
2 partículas:

v 0
 Pi
vM i  0
EXEMPLO 1: patinete + professora

vP f



PTOTAL  p M  pP

dPTOTAL
0
dt
NO CASO:

vM f

PTOTAL  CONSTANTE
antes = depois


0  0  mP v P  mM v M


mP v P   mM v M
2 partículas:
EXEMPLO 2:
colisão de duas partículas que se movem
sobre uma mesa sem atrito
vídeo (PhysDem-Mech-VI-1)
OBSERVAÇÕES:
a) referencial inercial
b) caráter vetorial
1 dimensão: 1 equação com 2 incógnitas
2 dimensões: 2 equações (2 componentes do momento) com 4
incógnitas (4 componentes das 2 velocidades finais)
c) o momento linear é sempre conservado?
NÃO!!!
?
CONSERVAÇÃO DE MOMENTO LINEAR ?
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA?
EXEMPLO 3: HALTERE

P1

T1

 T1

 EXT 
dp 1  
 P1  T1  F1  F1( 2 )
dt


 EXT 
dp 2 
 P2  T2  F2  F2(1)
dt




 
dp BARRA
  T1   T2  PBARRA   T1  T2  0
dt
   
m2
m1



T2

P2

 T2
 TOTAL
 EXT
dP
 FTOTAL
dt
APENAS QUANDO A RESULTANTE DAS FORÇAS
EXTERNAS FOR NULA TEREMOS O MOMENTO
LINEAR TOTAL CONSERVADO !
?
CONSERVAÇÃO DE MOMENTO LINEAR ?
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA?
EXEMPLO 1 NOVAMENTE

vP f
EiMEC  0
E
MEC
f

vM f
1
1
2
 mM v M  mp v p2  0
2
2


E CINETICA
SISTEMA  W todas as forças  WINT  WEXT  0
CONSERVAÇÃO DE MOMENTO LINEAR ?
?
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA?
EXEMPLO 4: EXPLOSÃO
m1

p1
m2
m1  4 m2
 EXT
F  0


p 1  p 2
2
1
E CIN f  5 m 2 v 22
2
E CIN 
1 2
p
2m

p2

v1
1
1
1
v 
E 1  m1v 12  4m 2  2   E 2
2
2
4
 4 
E CIN i  0
vídeo – PhysDemMech-VI-6-b

v2

1

v2
v1 
4

F1 
d1
E
CIN
4 E CIN 1  E CIN 2

F2
d2
 W1  W2  0
?
CONSERVAÇÃO DE MOMENTO LINEAR ?
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA?
EXEMPLO 5: COLISÃO
E
CIN
vídeo – PhysDemMech-VI-6-d
 WFORÇAS INTERNAS
CONCLUSÃO:
 TOTAL
 EXT
dP
 F
dt
ECIN  WTODAS AS FORÇAS  W INT  W EXT
O CENTRO DE MASSA
 TOTAL
 EXT
dP
 F
dt
“PARECE” A 2A LEI DE NEWTON PARA UM PONTO,
MAS NÃO É.



m1r1  m2 r2
R CM 
m1  m 2

2
d R CM  TOTAL
M
 FEXT
dt
definição de posição do centro de
massa de duas partículas
(demonstrar no quadro!)
vídeo – PhysDemMech-VI-2
(movimento do cm)
O CENTRO DE MASSA



m1r1  m2 r2
R CM 
m1  m 2
 TOTAL



m1 v 1  m 2 v 2 P
VCM 

m1  m 2
M
 TOTAL



m1a 1  m 2 a 2 FEXT
A CM 

m1  m 2
M

 TOTAL
MA CM  FEXT
REDISCUTIR FILME


A CM  g

A CM  0
O CENTRO DE MASSA

 TOTAL
MA CM  FEXT
 TOTAL
SE
FEXT  0
ENTÃO

A CM  0
“FORÇAS INTERNAS NÃO ALTERAM O
MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA”
EXEMPLO: PATINETE SEM ATRITO
O REFERENCIAL DO CENTRO DE MASSA

r1 *

r1

R CM



1
R CM  m1r1  m 2 r2 
M

r2 *



1
R * CM  m1r * 1 m2 r * 2   0 ! ! !
M

r2


m1r * 1 m2 r * 2  0

m2 
r *1  
r *2
m1


m1v * 1 m2 v * 2  0
SÓ VALE NO REFERENCIAL DO C.M.!!
m
2m
m
m
NO C.M. O MOMENTO TOTAL É SEMPRE
NULO!!!
LOOP - FIM