Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II FICHA DE TRABALHO N.º 1 Resolva os seguintes problemas de aplicação das razões trigonométricas. Pode consultar o caderno ou o livro e discuti-los com os seus colegas 1. O arbusto da figura tem 1,4 m. Quando os raios do Sol incidem no chão segundo um ângulo de 40º, o valor, aproximado às décimas, qual é o comprimento da sombra que o arbusto projecta. 2. Um poste quebrou num temporal. A extremidade superior do poste ficou a 7 m da base e a parte caída faz um ângulo de 25º com o solo. Calcule o valor aproximado ao metro da altura do poste antes de partir. 3. O lado de um pentágono regular mede 8 cm. Considere-o inscrito numa circunferência de centro C. 3.1. Quanto mede o ângulo ACB? [Pista: que relação há entre os cinco ângulos com vértice em C?] 3.2. Como classifica o triângulo [ABC] quanto aos lados? 3.3. Quanto mede o ângulo CAB? Considere o triângulo [ABC], com altura [CP]. 3.4. Quanto mede a altura deste triângulo? 3.5. Qual é a área do triângulo [ABC]? 3.6. Qual é a área do pentágono? 3.7. Considere agora um pentágono regular em que cada lado mede L. Seguindo o processo anterior, deduza uma fórmula para a área do pentágono. 4. A Leonor está de pé, perto de um candeeiro com 4m de altura. Ela só mede 1,5m mas a sua sombra mede 1,8m. A que distância se encontra a Leonor do candeeiro? 5. O vento conserva o fio do papagaio sempre esticado. Quando o vento mudou, o ângulo do fio com a horizontal passou de 60º para 70º e o papagaio subiu 3m. Qual é o comprimento do fio e a que altura está agora o papagaio? (dê o resultado com aproximação ao centímetro) Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 2010/2011 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II FICHA DE TRABALHO N.º 1 – Proposta de resolução 1. O arbusto da figura tem 1,4 m. Quando os raios do Sol incidem no chão segundo um ângulo de 40º, o valor, aproximado às décimas, qual é o comprimento da sombra que o arbusto projecta. Comece por fazer uma figura e nela verifique o que quer calcular: o comprimento da sombra que 1,4 m o arbusto projecta é x. Para obtermos x vamos utilizar a tangente de 40º 40º tg ( 40º ) = x 1,4 1,4 ⇔x= ⇔ x ≃ 1,7m x tg ( 40º ) Então o comprimento da sombra é aproximadamente 1,7m. 2. Um poste quebrou num temporal. A extremidade superior do poste ficou a 7 m da base e a parte caída faz um ângulo de 25º com o solo. Calcule o valor aproximado ao metro da altura do poste antes de partir. Comece por fazer uma figura e nela verifiquemos o que queremos calcular: A altura do poste antes de quebrar é a + b. a b Para obtermos a vamos utilizar a tangente de 25º e para calcular b vamos utilizar o co-seno de 25º. 25º tg ( 25º ) = 7m a ⇔ a = 7tg ( 25º ) 7 cos ( 25º ) = 7 7 ⇔b= b cos ( 25º ) Então a altura do poste é a + b = 7tg ( 25º ) + 7 ⇔ a + b ≃ 11m cos ( 25º ) 3. O lado de um pentágono regular mede 8 cm. Considere-o inscrito numa circunferência de centro C. 3.1. o ângulo ACB mede 360º = 72º 5 3.2. O triângulo [ABC], quanto aos lados, é isósceles porque tem Professora: Rosa Canelas 2 Ano Lectivo 2010/2011 dois lados iguais ao raio da circunferência. 3.3. O ângulo CAB mede 180º −72º = 54º 2 Considere o triângulo [ABC], com altura [CP]. 3.4. A altura deste triângulo é o cateto oposto ao ângulo de 54º no triângulo rectângulo [APC]. Como sabemos que AP = 4 cm podemos utilizar a tangente de 54º: tg ( 54º ) = CP ⇔ CP = 4tg ( 54º ) ⇔ CP ≃ 5,5 4 3.5. A área do triângulo [ABC] vai ser A= 8 × ( 4tg ( 54º ) ) 2 ⇔ A ≃ 22 cm2 3.6. A área do pentágono é cinco vezes a área de cada triângulo logo A pent = 5 × 22 = 110 cm2 3.7. Consideremos agora um pentágono regular em que cada lado mede L. Seguindo o processo anterior, podemos concluir que o ângulo da base do triângulo mede 54º e AP = L 2 pelo que tg ( 54º ) = CP L ⇔ CP = tg ( 54º ) . A área de cada triângulo é L 2 2 L L × tg ( 54º ) L2 tg ( 54º ) 2 A= ⇔A= e finalmente deduzimos uma fórmula para a área do 2 4 pentágono: A pent = 5 × L2 tg ( 54º ) 4 ⇔ A pent = 5L2 tg ( 54º ) 4 4. A Leonor está de pé, perto de um candeeiro com 4m de altura. Ela só mede 1,5m mas a sua sombra mede 1,8m. A que distância se encontra a Leonor do candeeiro? Façamos uma figura que nos ajude a responder à pergunta. Desta figura podemos tirar duas expressões para a tangente de 4m x 1,8 m 1,5 m d x e da igualdade entre essas duas expressões podemos obter o valor de d – distância da Leonor ao candeeiro. tg ( x ) = 1,5 4 e tg ( x ) = logo 1,8 1,8 + d 1,5 4 = ⇔ 1,5 (1,8 + d) = 4 × 1,8 ⇔ 2,7 + 1,5d = 7,2 ⇔ 1,5d = 4,5 ⇔ d = 3 1,8 1,8 + d A Leonor está a 3 m do candeeiro. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 2010/2011 5. O vento conserva o fio do papagaio sempre esticado. Quando o vento mudou, o ângulo do fio com a horizontal passou de 60º para 70º e o papagaio subiu 3 m. Qual é o comprimento do fio e a que altura está agora o papagaio? (dê o resultado com aproximação ao centímetro) Mais uma vez vamos começar por fazer uma figura que simule a situação, não esquecendo c c x+3 x 60º 70º de pensar que o fio tem o mesmo tamanho (c) antes e depois da mudança do vento. Queremos calcular c e x e só sabemos dois ângulos vamos então escolher as razões trigonométricas que envolvem o que queremos e os ângulos que temos: x sen ( 60º ) = c x = c sen ( 60º ) x = c sen ( 60º ) ⇔ ⇔ ⇔ 3 + x = c sen ( 70º ) 3 + c sen ( 60º ) = c sen ( 70º ) sen ( 70º ) = x + 3 c x = c sen ( 60º ) x = c sen ( 60º ) x = c sen ( 60º ) ⇔ ⇔ ⇔ 3 c ≈ 40,72 c ( sen ( 70º ) − sen ( 60º ) ) = 3 c = sen ( 70º ) − sen ( 60º ) x ≈ 35,27 c ≈ 40,72 Concluímos então que o comprimento do fio é aproximadamente 40,72 m e o papagaio está no fim a uma altura que é aproximadamente 38,27 m que é o valor de x + 3 . Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 2010/2011