Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
FICHA DE TRABALHO N.º 1
Resolva os seguintes problemas de aplicação das razões trigonométricas.
Pode consultar o caderno ou o livro e discuti-los com os seus colegas
1. O arbusto da figura tem 1,4 m. Quando os raios do Sol incidem no chão
segundo um ângulo de 40º, o valor, aproximado às décimas, qual é o
comprimento da sombra que o arbusto projecta.
2. Um poste quebrou num temporal. A extremidade superior do poste ficou
a 7 m da base e a parte caída faz um ângulo de 25º com o solo. Calcule
o valor aproximado ao metro da altura do poste antes de partir.
3. O lado de um pentágono regular mede 8 cm. Considere-o inscrito
numa circunferência de centro C.
3.1. Quanto mede o ângulo ACB?
[Pista: que relação há entre os cinco ângulos com vértice em C?]
3.2. Como classifica o triângulo [ABC] quanto aos lados?
3.3. Quanto mede o ângulo CAB?
Considere o triângulo [ABC], com altura [CP].
3.4. Quanto mede a altura deste triângulo?
3.5. Qual é a área do triângulo [ABC]?
3.6. Qual é a área do pentágono?
3.7. Considere agora um pentágono regular em que cada lado mede L.
Seguindo o processo anterior, deduza uma fórmula para a área do
pentágono.
4. A Leonor está de pé, perto de um candeeiro com 4m de altura. Ela só
mede 1,5m mas a sua sombra mede 1,8m. A que distância se encontra a Leonor do
candeeiro?
5. O vento conserva o fio do papagaio sempre esticado. Quando o vento
mudou, o ângulo do fio com a horizontal passou de 60º para 70º e o
papagaio subiu 3m. Qual é o comprimento do fio e a que altura está
agora o papagaio? (dê o resultado com aproximação ao centímetro)
Professora: Rosa Canelas
1
Ano Lectivo 2010/2011
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
FICHA DE TRABALHO N.º 1 – Proposta de resolução
1. O arbusto da figura tem 1,4 m. Quando os raios do Sol incidem no chão segundo um ângulo
de 40º, o valor, aproximado às décimas, qual é o comprimento da sombra que o arbusto
projecta.
Comece por fazer uma figura e nela verifique o
que quer calcular: o comprimento da sombra que
1,4 m
o arbusto projecta é x.
Para obtermos x vamos utilizar a tangente de 40º
40º
tg ( 40º ) =
x
1,4
1,4
⇔x=
⇔ x ≃ 1,7m
x
tg ( 40º )
Então o comprimento da sombra é aproximadamente 1,7m.
2. Um poste quebrou num temporal. A extremidade superior do poste
ficou a 7 m da base e a parte caída faz um ângulo de 25º com o solo.
Calcule o valor aproximado ao metro da altura do poste antes de partir.
Comece por fazer uma figura e nela verifiquemos o que queremos
calcular: A altura do poste antes de quebrar é
a + b.
a
b
Para obtermos a vamos utilizar a tangente de 25º e para calcular b
vamos utilizar o co-seno de 25º.
25º
tg ( 25º ) =
7m
a
⇔ a = 7tg ( 25º )
7
cos ( 25º ) =
7
7
⇔b=
b
cos ( 25º )
Então a altura do poste é a + b = 7tg ( 25º ) +
7
⇔ a + b ≃ 11m
cos ( 25º )
3. O lado de um pentágono regular mede 8 cm. Considere-o inscrito
numa circunferência de centro C.
3.1. o ângulo ACB mede
360º
= 72º
5
3.2. O triângulo [ABC], quanto aos lados, é isósceles porque tem
Professora: Rosa Canelas
2
Ano Lectivo 2010/2011
dois lados iguais ao raio da circunferência.
3.3. O ângulo CAB mede
180º −72º
= 54º
2
Considere o triângulo [ABC], com altura [CP].
3.4. A altura deste triângulo é o cateto oposto ao ângulo de 54º no
triângulo rectângulo [APC]. Como sabemos que AP = 4 cm
podemos utilizar a tangente de 54º:
tg ( 54º ) =
CP
⇔ CP = 4tg ( 54º ) ⇔ CP ≃ 5,5
4
3.5. A área do triângulo [ABC] vai ser
A=
8 × ( 4tg ( 54º ) )
2
⇔ A ≃ 22 cm2
3.6. A área do pentágono é cinco vezes a área de cada triângulo logo A pent = 5 × 22 = 110 cm2
3.7. Consideremos agora um pentágono regular em que cada lado mede L. Seguindo o
processo anterior, podemos concluir que o ângulo da base do triângulo mede 54º e
AP =
L
2
pelo que
tg ( 54º ) =
CP
L
⇔ CP = tg ( 54º ) . A área de cada triângulo é
L
2
2
L

L ×  tg ( 54º ) 
L2 tg ( 54º )
2


A=
⇔A=
e finalmente deduzimos uma fórmula para a área do
2
4
pentágono: A pent = 5 ×
L2 tg ( 54º )
4
⇔ A pent =
5L2 tg ( 54º )
4
4. A Leonor está de pé, perto de um candeeiro com 4m de altura. Ela só mede 1,5m mas a sua
sombra mede 1,8m. A que distância se encontra a Leonor do candeeiro?
Façamos uma figura que nos ajude a responder à pergunta.
Desta figura podemos tirar duas expressões para a tangente de
4m
x
1,8 m
1,5 m
d
x e da igualdade entre essas duas expressões podemos obter o
valor de d – distância da Leonor ao candeeiro.
tg ( x ) =
1,5
4
e tg ( x ) =
logo
1,8
1,8 + d
1,5
4
=
⇔ 1,5 (1,8 + d) = 4 × 1,8 ⇔ 2,7 + 1,5d = 7,2 ⇔ 1,5d = 4,5 ⇔ d = 3
1,8 1,8 + d
A Leonor está a 3 m do candeeiro.
Professora: Rosa Canelas
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Ano Lectivo 2010/2011
5. O vento conserva o fio do papagaio sempre esticado. Quando o vento
mudou, o ângulo do fio com a horizontal passou de 60º para 70º e o
papagaio subiu 3 m. Qual é o comprimento do fio e a que altura está
agora o papagaio? (dê o resultado com aproximação ao centímetro)
Mais uma vez vamos começar por fazer uma
figura que simule a situação, não esquecendo
c
c
x+3
x
60º
70º
de pensar que o fio tem o mesmo tamanho (c) antes e depois da
mudança do vento. Queremos calcular c e x e só sabemos dois
ângulos vamos então escolher as razões trigonométricas que
envolvem o que queremos e os ângulos que temos:
x

sen ( 60º ) = c
 x = c sen ( 60º )
 x = c sen ( 60º )
⇔
⇔
⇔

3 + x = c sen ( 70º )
3 + c sen ( 60º ) = c sen ( 70º )
sen ( 70º ) = x + 3

c
 x = c sen ( 60º )

 x = c sen ( 60º )
 x = c sen ( 60º )
⇔
⇔
⇔
3

c ≈ 40,72
c ( sen ( 70º ) − sen ( 60º ) ) = 3
c = sen ( 70º ) − sen ( 60º )

 x ≈ 35,27

c ≈ 40,72
Concluímos então que o comprimento do fio é aproximadamente 40,72 m e o papagaio está
no fim a uma altura que é aproximadamente 38,27 m que é o valor de x + 3 .
Professora: Rosa Canelas
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Ano Lectivo 2010/2011