Teoria da Demanda
Tratamento Algébrico
Os consumidores maximizam sua utilidade dada uma
restrição orçamentária
Supondo a seguinte função de utilidade
U ( X , Y )  log X  logY
A função utilidade marginal do bem X será
U ( X , Y )  (log X  log Y ) 1


X
X
X
O consumidor irá tentar maximizar sua função de utilidade,
(1)
Maximizar U ( X , Y )
sujeito a restrição orçamentária
PX X  PY Y  R
(2)
Para maximizar uma função sujeita a uma restrição
utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange
A equação a seguir representa o lagrangiano do problema
  U ( X , Y )   ( PX X  PY Y  R)
(3)
Note que escrevemos a restrição orçamentária como
PX X  PY Y  R  0
Diferenciando  em relação a X , Y e
derivadas a zero, encontramos

 UM X ( X , Y )  PX  0
X

 UM Y ( X , Y )  PY  0
Y

 PX X  PY Y  R  0


e igualando as
(4)
As três equações anteriores podem ser reescritas da seguinte
forma
UM X  PX
UMY  PY
PX X  PY Y  R
pois assim poderemos encontrar os valores ótimos de X e Y
Cada mercadoria será consumida até o ponto em que a
utilidade marginal de seu consumo seja um múltiplo  de
seu preço
A seguir apresentamos o princípio da utilidade marginal
  UM X ( X , Y ) PX  UMY ( X , Y ) PY
(5)
que significa que a utilidade marginal de cada mercadoria
dividida por seu respectivo preço é a mesma,
(6)
UM X ( X , Y ) UMY ( X , Y )  PX PY
Considerando um nível fixo de utilidade U*, a curva de
indiferença correspondente a tal nível de utilidade é
U ( X ,Y )  U *
A variação total na utilidade deve ser igual a zero, assim
UM X ( X , Y )dX  UMY ( X , Y )dY  dU*  0
(7)
Reordenando os termos, temos
 dY dX  UM X ( X , Y ) UMY ( X , Y )  TMSYX
(8)
TMSYX é a taxa marginal de substituição de Y por X, que
representa a razão entre utilidades marginais do consumidor,
e é igual a razão entre os preços
Agora vamos diferenciar a função de utilidade em relação a
renda para encontrar a utilidade marginal da renda
dU dR  UM X ( X , Y )(dX dR)  UMY ( X , Y )(dY dR)
(9)
Como um incremento na renda deve ser dividido entre X e Y
dR  PX dX  PY dY
(10)
substituindo a equação 5 na equação 9
dU dR  PX (dX dR)  PY (dY dR)   ( PX dX  PY dY ) dR
(11)
e substituindo a equação 10 na equação 11
dU dR   ( PX dX  PY dY ) ( PX dX  PY dY )  
(12)
Exemplo
Vamos supor uma função de utilidade de Cobb-Douglas,
que pode ser escrita das seguintes formas
U ( X , Y )  a log( X )  (1  a) log(Y )
U ( X , Y )  X aY 1a
Dada a restrição orçamentária usual, escrevemos o lagrangiano
  a log(X )  (1  a) log(Y )   ( PX X  PY Y  R)
Diferenciando  em relação a X , Y e
derivadas a zero, encontramos
 X  a X  PX  0
 Y  (1  a) Y  PY  0
   PX X  PY Y  R  0

e igualando as
As duas primeiras condições têm as seguintes implicações
PX X  a 
(13)
(14)
PY Y  (1  a) 
Combinando essas duas com a última condição, que é a
restrição orçamentária, temos
a   (1  a)   R  0
ou
 1 R
Substituindo essa expressão nas equações 13 e 14, obtemos
as funções de demanda
X  (a PX ) R
Y  (1  a) PY R
Dualidade na Teoria do Consumidor
Podemos enxergar de duas formas as decisões de otimização
do consumidor
• escolha da curva de indiferença mais alta
• escolha da linha de orçamento mais baixa
Vamos agora minimizar o custo de um nível de utilidade
MinimizarPX X  PY Y
Considerando a seguinte restrição
U ( X ,Y )  U *
criamos o lagrangiano
  PX X  PY Y   (U ( X , Y )  U * )
(15)
Diferenciando  em relação a X , Y e
derivadas a zero, encontramos

e igualando as
PX  UM X ( X , Y )  0
PY  UMY ( X , Y )  0
U ( X ,Y )  U *
Resolvendo as duas primeiras equações obtemos
  PX UM X ( X , Y )  PY UMY ( X , Y )  1 
Pelo fato de também ser verdadeiro que
UM X ( X , Y ) UMY ( X , Y )  TMSXY  PX PY
a escolha dos valores para X e Y que minimizem o custo
deve ser no ponto em que a linha de orçamento tangencie a
curva de utilidade U*, que é o mesmo ponto que maximiza
a utilidade com restrição de renda
Agora vamos utilizar a forma exponencial da função de
utilidade de Cobb-Douglas, para provar que as funções de
demanda resultantes serão as mesmas
Dada a restrição de utilidade, obtemos o lagrangiano
  PX X  PY Y  X aY 1a  U * 
Diferenciando  em relação a X , Y e
derivadas a zero, encontramos
(16)

e igualando as
PX   aU* X
PY   (1  a)U * Y
Multiplicando a primeira equação por X e a segunda por Y, e
somando ambas, temos
PX X  PY Y  U *
Sendo R o gasto minimizador de custo, teremos que   R U *
Efetuando a substituição nas equações anteriores, obtemos
X  aR PX
Y  (1  a) R PY
que são as mesmas funções de demanda obtidas anteriormente!
Efeito Renda e Efeito Substituição
Denotamos a variação de X que resulta de uma variação de
uma unidade no preço de X, mantendo a utilidade constante,
por
X PX
U U *
Assim, a variação total de X resultante da variação em PX é
dX dPX  X PX
U U *
 (X R)(R PX )
A partir da restrição orçamentária usual, sabemos que por
diferenciação obtemos
R PX  X
Substituindo esta expressão na equação 17 obtemos a
equação de Slutsky
dX dPX  X PX
U U *
 X (X R)
onde o primeiro termo representa o efeito substituição e o
segundo, o efeito renda
Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição