Escola EB2,3/S Vieira de Araújo
Prova Escrita de Matemática A
Duração 90 minutos
11º Ano
16 de Novembro de 2009
Versão 1
Grupo I
Para cada uma das seguintes questões identique a opção correcta. Cada questão tem a cotação
de 9 pontos. Respostas ilegíveis ou duplicadas serão cotadas com 0 pontos.
1. Na gura está respresentado um triângulo [ABC] com dois ângulos de amplitude α e um ângulo de
amplitude β .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?
(A) cos β = sin (2α)
(B) cos β = cos (2α)
(C) cos β = − sin (2α)
(D) cos β = − cos (2α)
Os ângulos β e 2α são suplementares, i.e., β = π − 2α.
possuem cossenos simétricos, a opção (D)é a correcta.
Como ângulos suplementares
2. Na gura está respresentado o círculo trigonométrico e um triângulo [OP R] .
O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.
O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OP R] é sempre isósceles.
Sendo α a amplitude, em radianos de ROP , qual das expressões seguintes dá a área do triângulo
[OP R] , em função de α?
(A) cos α. sin α
(B) 2. cos α. sin α
(C)
(D)
1+sin α. cos α
2
(1+cos α). sin α
2
Se denotarmos por M o ponto médio de [OR], temos que A[OP R] =
1
OR×M P
2
.
ˆ OR = 2 × OM = 2 × cos α
ˆ M P = sin α
Assim a área é A (α) =
2 cos α×sin α
2
= cos α. sin α
3. Duas amplitudes cujo o seno é simétrico do seno de
(A) − π8 e
(B)
7π
8
7π
8
π
8
e − 7π
8
são:
(C)
9π
8
e
17π
8
(D) − π8 e
9π
8
A opção correcta é a (D)
4. Um ponto P do plano ca determinado quando se conhece a distância P à origem O do referencial, e o
ângulo β de lado origem Ȯx e lado extremidade ȮP .
As coordenadas (x, y) do ponto P , quando ȮP = 2 e β =
√
√ (B) − 3; 1
√ (D)
(A) 1; − 3
(C) −1; 3
√
2π
3
são:
3; −1
1
As coordenadas
do
ponto
P são (r cos θ; r sin θ), i.e., 2 cos 2π
; 2 sin 2π
.Como cos 2π
3
3
3 = −2
√
√
3
e sin 2π
3 = 2 , as coordenadas de P são −1; 3 , opção (C).
5. Qual das seguintes armações é verdadeira?
(A) No 3º Quadrante existe um ângulo cujo o co-seno é igual ao seno.
(B) Existe um ângulo no 4º Quadrante cujo o seno é 0.5.
(C) Se
3π
4
≤ x ≤ π , o seno de x é menor do que o co-seno de x.
(D) Se tan x =
0.5
0.6 ,
então sin x = 0.5 e cos x = 0.6.
A opção correcta é a (A)
Grupo II
Responda a cada uma das seguintes questões apresentando todos os cálculos que tiver de efectuar,
expondo o seu raciocínio de forma clara.
1. O triângulo[ABC] é isósceles onde AB = AC .
1.1. Mostre que a área do triângulo é dada pela expressão
2
A (α) =
AC
× sin α
2
A altura h do triângulo é tal que sin α =
para a área do triângulo será portanto
h
,ou
AB
seja, h = AB×sin α.
2
A (α) =
AC × AB × sin α
AC
=
× sin α
2
2
2
A expressão
1.2. Usando o resultado anterior, mostre que a área de um polígono regular de n lados, inscrito numa
circunferência de raio 1, tem área
n
× sin
2
2π
n
Utilize esse resultado para calcular a área de um dodecágono inscrito numa circunferência de raio
1 cm.
Um polígono regular com n lados é constituido por n triângulos isósceles.
Cada triângulo tem área
12
2
× sin 2π
n , já que:
ˆ os lados iguais de cada triângulo têm comprimento 1 (raio da circunferência);
ˆ cada ângulo ao centro tem amplitude 2π
n .
Consequentemente a área dos n triângulos, ou seja do polígono, é n2 × sin 2π
n .
No caso particular de um dodecágono temos
12
2π
π
1
× sin
= 6 sin = 6 × = 3 cm2
2
12
6
2
2. Sabendo que
ˆ sin
3π
2
ˆ cos
π
2
+ x = m−4
2
√m−2
−x = 2
determine m.
√
Simplificando cada uma das identidades, obtemos cos x = − m−4
e sin x = m−2
. Podemos
2
2
relacionar ambas as razões trigonométricas com a Fórmula Fundamental da Trigonometria.
⇔
sin2 x + cos2 x = 1
√
2 2
m−4
m−2
+ −
=1
2
2
m − 2 m2 − 8m + 16
+
=1
4
4
2
m − 7m + 14 = 4
⇔
m2 − 7m + 10 = 0
⇔
m=2∨m=5
⇔
⇔
Para m = 2, temos cos x = 1 e sin x = 0.
Assim, ambas as soluções são válidas.
3. Mostre que
sin
π
2
Para m = 5, temos cos x = − 21 e sin x =
√
3
2 .
+ x × cos 5π
sin (π − x) × sin (2π − x)
2 +x
=
cos (π + x)
sin (π + x)
Podemos simplificar os membros separadamente, ou optar por simplificar toda a expressão
simultaneamente.
sin π2 + x × cos 5π
sin (π − x) × sin (2π − x)
2 +x
=
cos (π + x)
sin (π + x)
cos (x) × (− sin (x))
sin (x) × (− sin (x))
⇔
=
− cos (x)
− sin (x)
⇔
sin x = sin x
3
4. Dois amigos a Ana e o Carlos, encontram-se distanciados e 80 metros,
observando um balão como mostra a gura.
A Ana observa o balão segundo um ângulo de elevação de 83◦ enquanto o
Carlos observa o balão segundo uma elevação de 88◦ .
Determine a altura a que se encontra o balão no momento da observação.
Nota: A altura dos amigos é desprezável.
Denotando por h a altura a que se encontra o balão e por x o comprimento AP , obtemos
(
tan 83 = hx
h
tan 88 = 80−x
(
tan 83 × x = h
⇔
tan 88 × (80 − x) = h
(
tan 83 × x = tan 88 × (80 − x)
⇔
−
(
tan 83 × x + tan 88 × x = tan 88 × 80
⇔
−
(
(tan 83 + tan 88) × x = tan 88 × 80
⇔
−
(
tan 88×80
x = (tan
83+tan 88)
⇔
−
(
x ≈ 62.286
⇔
h ≈ 62.286 × tan 83
(
x ≈ 62.286
⇔
h ≈ 507.275
O balão encontra-se a, aproximadamente, 507.28 metros de altura.
5. Considere a função real de variável real
2
f (x) = sin2 (3x) + (cos (3x) − 1) − 1
5.1. Prove que f (x) = 1 − 2 cos (3x) ,para todo x ∈ R.
Vamos simplificar a expressão dada:
f (x) =
2
sin2 (3x) + (cos (3x) − 1) − 1
2
=
sin2 (3x) + cos (3x) − 2 cos (3x) + 1 − 1
2
sin2 (3x) + cos (3x) − 2 cos (3x)
=
1 − 2 cos x
=
5.2. Determine os zeros de f pertencentes ao intervalo [0; π].
f (x) = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
1 − 2 cos (3x) = 0
1
cos (3x) =
2
π
cos (3x) = cos
3
π
3x = ± + 2kπ, k ∈ Z
3
π 2kπ
x=± +
,k ∈ Z
9
3
4
Dando valores a k ,
π
π
∨x=
9
9
5π
7π
x=
∨x=
9
9
k=0 ⇒
x=−
k=1 ⇒
As soluções, no intervalo [0; π],são
π 5π
9, 9
e
7π
9 .
5.3. Resolva a condição f (x) < 2.
Vamos começar por resolver a identidade:
f (x) = 2
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
1 − 2 cos (3x) = 2
1
cos (3x) = −
2
2π
cos (3x) = cos
3
2π
3x = ±
+ 2kπ, k ∈ Z
3
2π 2kπ
x=±
+
,k ∈ Z
9
3
A representação gráfica de f (x) é:
Donde a solução geral da inequação é − 2π
9 +
FIM
5
2kπ 2π
3 ; 9
+
2kπ
3
, k ∈ Z.