A seção de choque diferencial de Rutherford
Qual é o ângulo de deflexão quando a partícula passa por um centro de força
repulsiva? Nesse caso, quando tratamos as trajetórias sob a ação de forças centrais proporcionais ao inverso do quadrado da distância, vimos que a trajetória
é dada por
a e2 − 1
r =
,
−1 + e cos θ
onde
=
L2
mK
1+
2L2 E
.
mK 2
a e2 − 1
e
r
e
=
Note que, agora, E > 0, já que K = q1 q2 > 0 e que r vai a infinito quando θ se
aproxima dos valores
1
θ± = ± arccos
.
e
A partir da direção original de aproximação da partícula, digamos θ− , a nova
direção torna-se θ+ . Caso não houvesse um centro espalhador na origem, a
partícula não passaria pela origem, mas por uma reta a uma distância s da
origem e continuaria ao longo dessa reta paralela à assíntota de equação polar
dada por
1
θ = π + θ− = π − arccos
.
e
No entanto, por causa do centro de força repulsiva, a direção final é dada por
1
θ = θ+ = arccos
.
e
A magnitude da deflexão é dada pelo chamado ângulo de deflexão Θ, que nada
mais é do que o valor absoluto da variação angular da trajetória final da partícula
devida à ação repulsiva do centro de força:
1
Θ = π − 2 arccos
.
e
A figura abaixo ilustra esses ângulos.
1
Essa fórmula é equivalente a
π Θ
cos
−
=
2
2
1
1
=q
,
2E
e
1 + 2L
mK 2
isto é,
sen
Θ
2
1
q
.
2E
1 + 2L
2
mK
=
A energia total inicial é dada pela energia cinética inicial, já que a partícula
vem do infinito e, portanto, lá, só temos energia cinética:
E
=
1
K
1
2
m |ṙ0 | +
≈ mv02 ,
2
r0
2
onde
v0
= |ṙ0 | ,
para simplificar a notação. O momentum angular inicial é dado por
L =
mr0 × ṙ0 = m |r0 × ṙ0 | ẑ = m |r0 | v0 senβẑ,
2
onde β é o ângulo entre os vetores posição e velocidade iniciais. O parâmetro
de impacto, s, é definido como
|r0 | senβ
s =
e, portanto,
L =
|L| = msv0 .
A figura acima ilustra o parâmetro de impacto s. Com isso,
−1/2 −1/2
Θ
m2 s2 v02 mv02
1
2L2 E
sen
=
1
+
,
= q
= 1+
2E
2
mK 2
mK 2
1 + 2L
mK 2
isto é,
sen
Θ
2
=
1+
m2 s2 v04
K2
−1/2
.
Em um experimento de espalhamento, a quantidade mensurável é a seção de
choque diferencial. Seja dN o número de partículas que são espalhadas dentro
de um intervalo do ângulo de deflexão entre Θ e Θ + dΘ, por unidade de tempo.
Esse número deve ser proporcional à intensidade do feixe incidente, I, dada
pelo número de partículas que chegam na região do espalhamento por unidade
de área e por unidade de tempo, e deve ser proporcional a dΘ. Em termos
matemáticos, podemos escrever
dN
∝
IdΘ,
isto é,
dN
dΘ
∝ I.
A constante de proporcionalidade deve ter unidades de área por ângulo de deflexão. Logo, seja dσ/dΘ essa constante de proporcionalidade. Assim:
dN
dΘ
=
I
dσ
.
dΘ
Para cada ângulo de deflexão existe um valor do parâmetro de impacto, como
podemos ver da expressão
−1/2
Θ
m2 s2 v04
sen
=
1+
.
2
K2
Logo, para uma pequena variação do ângulo de deflexão, dΘ, corresponde uma
variação do parâmetro de impacto, ds. Para calcular essa correspondência, vamos diferenciar ambos os membros da equação acima:
"
−1/2 #
m2 s2 v04
Θ
= d 1+
,
d sen
2
K2
3
isto é,
1
cos
2
Θ
2
1
dΘ = −
2
−3/2
2m2 v04
m2 s2 v04
sds,
1+
K2
K2
ou seja,
cos
Θ
2
dΘ
= −sen
3
2m2 v04
sds,
K2
2m2 v04
sds.
K2
Θ
2
ou ainda,
dΘ
= −tg
Θ
2
sen
2
Θ
2
Note que o sinal de menos indica que dΘ < 0 se ds > 0, como fica evidente da
figura acima.
As partículas que serão espalhadas com ângulos de deflexão entre Θ e Θ+dΘ
devem ter parâmetros de impacto entre s e s + ds. Aqui, estarei considerando
dΘ > 0 e, assim, ds < 0. Consideremos a área transversal do feixe incidente, A.
A figura a seguir ilustra o feixe incidente.
Então, IA é o número total de partículas que estão no feixe incidente e
que chegam, por unidade de tempo, na região de espalhamento. Desse número,
apenas aquelas partículas que tiverem parâmetro de impacto entre s e s + ds
serão espalhadas dentro do intervalo de ângulo de deflexão entre Θ e Θ+dΘ. Da
área total, A, do feixe incidente, somente as partículas que passarem através da
4
área 2πs |ds| do anel serão espalhadas com a deflexão que estamos considerando.
Essa área está para a área total assim como o número de partículas espalhadas
está para o número total incidente:
2πs |ds|
A
=
dN
I
2πs |ds|
dN
,
IA
isto é,
=
como
dN
dΘ
=
I
dσ
,
dΘ
segue que
dσ
dΘ
=
=
2π
dN
|ds|
= 2πs
.
IdΘ
dΘ
Logo,
dσ
dΘ
1
tg
Θ
2
sen2
Θ
2
2m2 v4 .
0
K2
Mas,
tg
Θ
2
sen
2
Θ
2
sen3
=
cos
Θ
2
Θ
2
e
senΘ
=
2sen
Θ
2
cos
Θ
2
,
isto é,
cos
Θ
2
=
senΘ
.
2sen Θ
2
Portanto,
dσ
dΘ
=
2π
Θ
2
4
2m2 v0 sen3 Θ
2
K 2 cos
= 2π
K 2 senΘ
4m2 v04 sen4
isto é,
dσ
dΘ
=
2π
q1 q2
2mv02
5
2
senΘ
.
sen4 Θ
2
Θ
2
,