Verificação Experimental das Fórmulas de Fresnel
A. Ferreira (67893), A. Patrı́cio (67898), M. Prata (67933), T. Coutinho(67957)
LCET, Engenharia Fı́sica Tecnológica 2o ano,
IST, Av. Rovisco Pais 1049-001 Lisboa, Portugal
(Dated: 19 de Maio de 2011)
Nesta actividade, determinámos a reflectância e a transmitância de um feixe laser(radiação monocromática no domı́nio do vı́sivel com λ = 632.8 nm, sujeita a polarizações paralela e perpendicular.
Variando o ângulo de incidência da radiaçao sobre a superfı́cie de separação, a reflectância e
transmitância são calculadas com base nas fórmulas de Fresnel.
O ı́ndice de refracção do polı́mero foi calculado com base no ângulo de Brewster e o no ângulo
crı́tico de reflexão total.
1.
DESCRIÇÃO E PROCEDIMENTO
EXPERIMENTAL
O meio mais refringente usado nesta actividade experimental
consiste num semi-cilindro de polı́mero colocado no centro de
um goniómetro com gónio, o qual está acoplado a um sistema de
posicionamento de um laser e um detector de radiação, de forma
a que um feixe de luz incidente atinja a superfı́cie de separação
ar-polı́mero com um ângulo de incidência variável:
Para cada ângulo de incidência, medimos duas intensidades I1
e I2 no detector principal e I3 no auxiliar. As leituras são feitas
de forma alternada(na ordem I1 , I2 e I3 ) e rápida, de forma
a que a intensidade de referência seja aproximadamente igual
à intensidade média no intervalo de tempo da medição. São
também realizadas aproximadamente num pico/vale(no tempo)
de intensidade de forma a ser a variação temporal minima.
A intensidade(relativa/adimensional) do raio reflectido/transmitido é, assim, calculado pela expressão:
I=
I1 + I2
2I3
(1)
No término da experiência, retirámos o semi-cilindro do goniómetro e fizémos incidir o feixe laser directamente sobre o detector. Deste modo, medimos a intensidade do feixe incidente.
Efectuámos ainda a medição de dois ângulos de Brewster bem
como de um ângulo crı́tico de reflexão total na passagem do meio
mais refringente para o menos refringente, de modo a podermos
estimar o valor do ı́ndice de refracção η2 do semi-cilindro de
polı́mero para o comprimento de onda λ = 632.8 nm.
Relativamente ao cálculo dos valores teóricos, usámos as fórFigura 1: Foto-esquema da montagem experimental.
mulas de Fresnel presentes em [3] e os valores experimentais para
O feixe laser(Hélio-Neon) usado emite radiação com compri- a reflectância R e transmitância T foram obtidos pelos quocienmento de onda λ = 632.8 nm, cuja radição pode ser polarizado tes entre as intensidades relativas medidas para cada ângulo e a
intensidade de referência.
linearmente com um polarizador acoplado à lente do feixe.
Trabalhámos com um detector de estado sólido, não sensı́vel
à polarização da radiação incidente, que possui uma cabeça de
medida e um corpo de processamento do sinal.
2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Devido à existência de uma polarização, inerente ao funcionamento do laser, variável no tempo, foi necessário implementar
Medimos a intensidade relativa da radiaçao I com o feixe em
um detector auxiluar que permitisse ler uma intensidade de re- incidência directa no detector, valores registados na tabela I.
ferência I3 proveniente da uma reflexão parcial num momento
anterior à incidência no semi-cilindro. Desta forma, reduzimos
Polarização
I1 a
I3
I2
I
a contribuição da polarização variável.
Perpendicular
0.2090 ± 0.0005
0.0304 ± 0.0005
0.2100 ± 0.0005
6.89 ± 0.12
Paralela
0.2269 ± 0.0005
0.0460 ± 0.0005
0.2272 ± 0.0005
4.94 ± 0.12
Polarizámos o feixe laser na perpendicular e paralelamente
ao plano de incidência e, para cada direcção da polarização(do a Medida adimensional, visto ser obtida por comparação a um valor de
campo eléctrico), realizámos dois conjuntos de medidas, uma referência do próprio detector.
com o feixe incidente oriundo de um meio mais refringente (fig.
Tabela I: Intensidade da radiação directa incidente.
2a)) e outra de um meio menos refringente(fig. 2b )).
As medições relativas a cada uma das séries de medidas atrás
referidas, dada a sua extensão e a limitação de espaço, não se
expõem aqui de forma directa. Para acessar à totalidade dos
dados experimentais, bastará aceder ao url em [5].
Registámos também os dois ângulos de Brewster e crı́tico para
cada uma das condições de incidência presetes na tabela II.
(a)
(b)
Figura 2: Duas situações de incidência.
Em cada uma das séries de medidas, variámos o ângulo de
incidência desnte 0o a 85o , em intervalos igualmente espaçados
de 5o e medimos a intensidade dos feixes reflectido e refractado.
Ângulo
Brewster
Brewster
Critico
a Erro
Sup.Incidência
Polı́mero-Ar
Ar-Polı́mero
Polı́mero-Ar
Âng.Inferior(o )
34.0
55.6
42.0
Âng.Superior(o )
34.7
56.4
42.7
Âng.Médio(o )a
34.3 ± 0.3
56.0 ± 0.5
42.3 ± 0.3
médio obtido por registo dos limites de detecção para cada ângulo.
Tabela II: Valores registados para cálculo de η2 .
3.
3.1.
ANÁLISE DE RESULTADOS
Determinação do Índice de refracção η2 do polı́mero.
Para determinação da reflectância e transmitância do feixe
lase na passagem pelas superfı́cies de separação ar-polı́mero e
polı́mero-ar a partir das leis de Fresnel, determinámos o ı́ndice
de refracção do polı́mero com base nos ângulos de Brewster θb e
de reflexão total θc apresentados na tabela II.
Este cálculo foi feito com base nas fórmulas da óptica largamente conhecidas que se seguem
η2 = tan(θb )
η2 = cot(θb )
η2 = cosec(θc )
(2)
(3)
(4)
sendo a fórmula 2 referente à transição ar-polı́mero(fig.2b)) e
a fórmula 3 referente à transição polı́mero-ar(fig.2a)).
Os valores obtidos de η2 para cada ângulo bem como o seu
valor médio apresentam-se na tabela III.
Ângulo
Brewster
Brewster
Critico
Sup.Incidência
Polı́mero-Ar
Ar-Polı́mero
Polı́mero-Ar
η2
1.46 ± 0.02
1.48 ± 0.02
1.48 ± 0.01
Figura 3: Polarização perpencidular e incidência na face plana.
η2medio
1.48 ± 0.01
Tabela III: Valores determinados para o ı́ndice de refracção η2 .
Note-se que, apesar do valor obtido para η2 com base no ângulo de Brewster para a superfı́cie Polı́mero-Ar ser inferior aos
restantes dois valores, a diferença entre estes é suficientemente
pequena para o erro experimental praticamente a cobrir. Assim,
decidimos daqui em diante adoptar para o ı́ndice de refracção o
valor médio aqui obtido.
3.2.
Verificação das Leis de Fresnel
Realizado o cálculo do ı́ndice de refracção experimental para
o polı́mero, pudémos então determinar os valores experimentais
da transmitância e reflectância para as diferentes condições de
incidência e polarização do feixe laser, de acordo com as fórmulas
?? e ??, e compará-los com os teóricos.
Abaixo analisamos cada uma das direcções de polarização.
3.2.1.
Figura 4: Polarização perpencidular e incidência na face curva.
Polarização Perpendicular
No caso da polarização perpendicular ao plano de incidência,
comparámos os valores experimentais da reflectância R e transmitância T com os teóricos.
Este estudo gráfico comparativo apresenta-se nas figuras 3 e
4.
Também foi interessante para a análise a representação gráfica
da soma R + T em função do ângulo de incidência e para cada
condição de incidência, que se concretiza nas figuras 5 e 6.
Estes resultados gráficos permitem-nos tirar várias conclusões
que serão aprofundadas na conclusão.
Relativamente à face plana, notamos claramente que a adequaçao dos dados às fórmulas de Fresnel usadas é bastante superior no caso da reflectância R, sendo que a adequação de T à
teoria é inicialmente boa passando a diminuir com o aumento do
ângulo de incidência. Tal poderá justificar-se quer pela não pontualidade da fonte, quer pela existência de múltiplas reflexões no Figura 5: Soma R + T relativa à Face Plana e Polarização Perpendiinterior do polı́mero, fenómenos de absorção e imperfeições do cular.
mesmo.
Não sendo pontual, o feixe laser alargou quando atravessou
a fronteira entre ar e polı́mero, o que atribuiu ao feixe uma largura muito superior àquela que o detector consegue captar.
2
T com os teóricos, tal como na alı́nea anterior.
O estudo gráfico comparativo análogo mostra-se nas figuras 7
e 8.
Figura 6: Soma R + T relativa à Face Curva e Polarização Perpendicular.
Este efeito amplificou-se com o aumento do ângulo de incidência
o que, em parte, explica a ‘descida’ nos valores de T com o ângulo
de incidência.
O mesmo não aconteceu tão notoriamente com R, pelo que a
diminuição de R face ao previsto teoricamente com o aumento
do ângulo de incidência é apenas muito ligeira.
Esta ligeira diferença deve-se sobretudo a à existência de outros fenómenos ópticos não considerados nas fórmulas de Fresnel
usadas para análise, como fenómenos de absorção e de reflexões
internas(bem observáveis ao realizar a experiência). Fenómenos
de absorção, conseguir visualizar o ‘rastro’ do laser é um bom indicador, poderão justificar um desvio sistemático em relação ao
previsto teoricamente. A existência de imperfeições, por outro
lado, poderá ter um papel importante no aumento das perdas
de energia reflectida e transmitida com o aumento do ângulo de
incidência, uma vez que este aumento angular amplifica o efeito
das imperfeições já existentes.
O gráfico R+T = f (θi ) ilustra claramente as perdas de energia
existentes no processo e a análise efectuada.
Para a face curva, a adequação dos dados de R aos teóricos
tambem é superior à dos dados de T , mas apenas nos 5 primeiros
pontos experimentais de R.
Verificamos que a diferença entre o valor teórico e experimental de T se mantém aproximadamente constante(aumenta
ligeiramente com o ângulo de incidência) para todos os pontos
experimentais com excepção do último. A diferença entre valores experimentais e teóricos justifica-se para este caso de forma
idêntica à indicada para R na face plana, sendo que agora existe
um factor de absorção no polı́mero bastante superior ao quase
inexistente no caso da reflectância na face plana.
Relativamente à reflectância, observamos que, apesar de numa
fase inicial a diferença entre a curva teórica e os pontos experimentais ser pequena, isto se deve ao pequeno valor dos pontos
experimentais. Porém, após a passagem pelo ângulo crı́tico θc
verificamos que continua a ocorrer um padrão de diminuição
de R com o ângulo de incidência com uma diferença à teoria
um pouco superior ao dobro da diferença entre teoria e valores
práticos para T . Isto pode tentar justificar-se notando que o
feixe laser percorre o dobro do trajecto relativamente ao caso da
transmissão.
Figura 7: Polarização paralela e incidência na face plana.
Figura 8: Polarização paralela e incidência na face curva.
A representação gráfica da soma R + T em função do ângulo
de incidência e para cada condição de incidência, apresenta-se
nas figuras 9 e 10.
Relativamente à face plana, vemos novamente que a adequaçao dos dados às fórmulas de Fresnel usadas é superior no caso
da reflectância R, mas agora a adequação de T à teoria já não é
inicialmente boa, passando a existir uma diferença entre teoria
e prática pouco variável. Como anteriormente, esta diferença
diminui abruptamente para valores do ângulo de incidência superiores a 50/60 o . Tal poderá justificar-se pelos mesmos motivos atrás apontados para o caso da polarização perpendicular,
excepto o facto de existir uma diferença inicial entre teoria e experiência pouco variável com o ângulo de incidência, que poderá
dever-se a uma maior absorção/papel das impurezas par esta
polarização.
Novamente se observa uma ligeira diminuição de R face à
3.2.2. Polarização Paralela
curva teórica.
Em geral, também para esta direcção de polarização a soma
Para a polarização paralela ao plano de incidência, compará- R + T diminuiu com o ângulo de incidência, novamente pelos
mos os valores experimentais de reflectância R e transmitância motivos atrás apontados.
3
de aumento das perdas com o ângulo de incidência.
4.
ANÁLISE SUMÁRIA E CONCLUSÕES
Em geral, os resultados experimentais adequaram-se às previsões teóricas, pelo que, sendo possı́vel prever teoricamente os
resultados experimentais ou, pelo menos, a sua variação qualitativamente idêntica, podemos dizer que a validade das fórmulas
de Fresnel foi comprovada.
O sucesso da experiência assenta na semelhança entre a evolução de valores teóricos e experimentais para as diferentes polarizações e orcondições de incidência observadas.
No entanto, estes resultados são positivos apenas qualitativamente, dado que os desvios à exactidão são muitas vezes bastante
consideráveis, nomeadamente nos resultados relativos à transmitância T , que se apresentam normalmente abaixo da curva
teórica.
Esta subestimação de valores poderá ser explicada por não
considerarmos na análise teórica a não pontualidade do feixe e a
existência de fenómenos de abosrção e de múltiplas reflexões internas. A aproximação do feixe por uma onda plana não deverá,
à partida, constituir factor de erro mensurável.
O facto deo feixe não ser pontual e de alargar na fronteira entre
os dois meios impossibilita uma correcta medição da intensidade
transmitida para valores do ângulo de incidência sucessivamente
mais próximos de 90o .
Tal facto não ocorre tão visivelmente com a intensidade do
feixe reflectido, uma vez que este não resulta da transmissão
numa superifice entre meios opticamente distintos.
Outros factores que contribuem para a diferença entre os valores teóricos e experimentais são essencialmente fenómenos ópticos como a absorção, existência de imperfeições e múltiplas
reflexões internas no polı́mero. Tais factores fazem com que a
intensidade medida seja inferior à esperada. Os resultados experimentais parecem indicar que estes fenómenos são mais significativos no caso da polarização paralela ao plano de incidência.
A análise da soma R + T , consequentemente da conservação
da energia, veio a confirmar as hipóteses anteriores, na medida
em que a energia ‘medida’ experimental não se conservou, sendo
necessário considerar os factores de perdas atrás mencionados.
Esta actividade experimental poderia ser melhorada com a
utilização de um semi-cilindro de polı́mero que se garanta ter
uma forma mais próxima da ideal e que possua um polimento
adequado(menos rugosidades e imperfeições). Por outro lado,
verificámos claramente que este apresentava sujidades na sua
superfı́cie, as quais poderiam ser evitadas com uma simples limpeza pre-experiência com produto adequado.
Por outro lado, sugere-se um tratamento de erros que sobrestime os erros de medição. De facto, o cálculo de erros aqui
efectuado baseou-se na escala digital do detector mas, porém, o
erro experimental é bastante superior ao introduzido por esta,
uma vez que o método de medição usado exige uma rapidez de
anotação dos valores muito elevada, com o prejuı́zo da variação
entre I1 e I2 ser demasiado elevada para ser aceitável, uma vez
que a variação ciclica da polarização do feixe laser faz também
variar ciclicamente a intensidade da radiação incidente para a
polarização em estudo.
Seria também interessante verificar se os desvios à teoria, e
consequentemente os valores experimentais evoluiam de igual
forma para um polı́mero com as mesmas dimensões e acabamento semelhante, mas com diferente ı́ndice de refracção. Tal
consolidaria possivelmente as conclusões aqui retiradas.
Figura 9: Soma R + T para a incidência na Face Plana e Polarização
Paralela.
Figura 10: Soma R + T para a incidência na Face Curva e Polarização
Paralela.
Para a face curva, os resultados são semelhantes aos análogos
para a polarização perpendicular, excepto numa vizinhança do
ângulo de Brewster θb . Verificamos que nesta vizinhança que
não se detecta um máximo visivel de intensidade experimental
como previsto por teoria. Tal facto poderá justificar-se pela evidência experimental de que não é detectável um ponto, tal como
previsto teoricamente, em que a intensidade do feixe reflectido
é nula. Apenas se detecta um mı́nimo de intensidade pois o
feixe é não pontual e o semi-cilindro tem imperfeições quer de
forma quer de rugosidades. A inexistência deste máximo vı́sivel
de intensidade é ainda em parte devido à atenuação do feixe no
interior do polı́mero.
Apesar do pequeno número de pontos usados, o gráfico de variação de R+T com o ângulo de incidência indica uma tendência
[1] D.J.Griffiths,Introduction to Electrodynamics, 3a ed., Reed College
[2] J. L. Figueirinhas, Aula de apresentação sobre as Fórmulas de
Fresnel.
[3] J.L.Figueirinhas, http://www.ciul.ul.pt/~figuei/fresnel.pdf
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Transmittance, Transmittance
Article @ Wikipedia
[5] https://spreadsheets.google.com/spreadsheet/ccc?key=
0Amew-ACrohMOdEhSb0xYcWNrc2g1ZElKMXF1SFdDQlE&hl=pt_
PT&authkey=CLezx78P, Dados Experimentais
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