Matemática
Matemática e suas Tecnologias
caderno
de
ELABORAÇÃO DE ORIGINAIS
BETO PAIVA – Professor e coordenador pedagógico em escolas de ensino médio e cursos pré-vestibulares há mais de 35 anos.
LEO PAULO DE ASSIS – Graduado em engenharia civil pela Escola de Engenharia de São Carlos-SP da
Universidade de São Paulo (USP).
ODIMAR NAVAS FERRITE – Graduado em matemática pelo Instituto de Biociências, Letras e Ciências
Exatas (Ibilce) da Universidade Estadual Paulista (Unesp) de São José do Rio Preto-SP.
Material integrante do Sistema Ético de Ensino
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PREZADO EDUCADOR,
Ao longo de quase um século, professores e alunos de todo o Brasil têm
mantido com a Editora Saraiva uma parceria efetiva como provedora de soluções didáticas acessíveis e de boa qualidade. Nosso objetivo constante é compartilhar com você a tarefa de garantir o acesso a materiais que contribuam
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Motivados por essa intenção, apresentamos a você este Caderno de Revisão, concebido como ferramenta de reforço e apoio ao período de preparação
dos alunos para as avaliações de final do Ensino Médio, como os vestibulares
e o Enem.
O Caderno de Revisão está organizado em módulos. Cada módulo, que
pode ser ministrado em uma aula, é composto de:
– uma apresentação concisa do conteúdo teórico trabalhado durante o curso;
– atividades inéditas e questões selecionadas de exames vestibulares.
Prático e objetivo, este material reforça os pontos mais importantes trabalhados durante o curso. Sem dúvida, seus alunos vestibulandos encontrarão nele uma
ajuda valiosa para a indispensável revisão de conteúdo que antecede as provas.
Além deste Caderno de Revisão, você encontra em nossas coleções didáticas para o Ensino Médio e seus sites, em nossa biblioteca digital, no portal
Saraiva Educa e em nossos serviços de assessoria didática todo um conjunto de
recursos pensados especialmente para fazer de suas aulas as melhores aulas e
de seus alunos, jovens bem preparados para a nova fase de vida que chega com
o final da Educação Básica.
Um bom trabalho!
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Matemática
Parte 1
MA.01 Fatoração algébrica ............................................................. 4
MA.02 Porcentagem/Aumentos e descontos percentuais ................. 6
MA.03 Equações do 1º e do 2º graus ............................................... 9
MA.04 Funções/Função do 1º grau ................................................. 13
MA.05 Função do 2º grau ............................................................... 18
MA.06 Função composta e função inversa ....................................... 21
MA.07 Função, equação e inequação exponenciais ........................... 24
MA.08 Logaritmo: definição e condição de existência ....................... 27
MB.01 Noções gerais de polígono/Triângulos .................................. 29
MB.02 Ângulos na circunferência .................................................... 32
MB.03 Teorema de Tales/Semelhança ............................................. 35
MB.04 Relações métricas no triângulo retângulo ............................. 38
MB.05 Relações métricas na circunferência ...................................... 41
MB.06 Áreas das figuras planas ....................................................... 44
MB.07 Prisma/Pirâmide .................................................................. 48
MB.08 Cilindro/Cone ..................................................................... 52
MC.01 Trigonometria no triângulo retângulo ................................... 57
MC.02 Lei dos senos e lei dos cossenos ........................................... 60
MC.03 Ciclo trigonométrico/Seno e cosseno ................................... 62
MC.04 Tangente/Outras relações trigonométricas ........................... 66
MC.05 Equação e inequação trigonométricas .................................. 69
MC.06 Adição de arcos e arcos duplos ............................................ 71
MC.07 Fatorial/Número binomial/Triângulo de Pascal .................... 73
MC.08 Binômio de Newton ............................................................. 76
Resolução dos exercícios complementares
79
Parte 2
MA.09 Logaritmo: propriedades e mudança de base ........................ 94
MA.10 Função, equação e inequação logarítmicas ........................... 96
MA.11 Sequência/Progressão aritmética ......................................... 99
MA.12 Progressão geométrica ....................................................... 102
MA.13 Matrizes e determinantes ................................................... 105
MA.14 Sistemas lineares ............................................................... 111
MB.09 Esfera ................................................................................ 116
MB.10 Números complexos: forma algébrica e operações .............. 118
MB.11 Polinômio: teoremas do resto e de D’Alembert ................... 122
MB.12 Polinômio: critérios de divisibilidade .................................. 125
MB.13 Equação polinomial ........................................................... 128
MB.14 Relações de Girard/Teorema das raízes complexas ............. 131
MC.09 Arranjos/Permutações ....................................................... 133
MC.10 Permutações com repetição/Combinações ......................... 136
MC.11 Probabilidade .................................................................... 138
MC.12 Coordenadas cartesianas e distância entre pontos .............. 142
MC.13 Estudo da reta ................................................................... 144
MC.14 Circunferência ................................................................... 149
Resolução dos exercícios complementares
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Módulo
MA.01
3º CASO: DIFERENÇA DE
DOIS QUADRADOS
PRINCIPAIS CASOS DE
FATORAÇÃO
1
a 2 – b2 = (a + b) · (a – b)
4º CASO: TRINÔMIO
QUADRADO PERFEITO
Fatorar significa decompor em fatores, isto é,
transformar uma adição ou uma subtração em uma
multiplicação.
a2 + 2ab + b 2 = (a + b)2
1º CASO: FATOR COMUM
REVISÃO DE PRODUTOS
NOTÁVEIS
2
Se aplicarmos a propriedade distributiva no produto
a(x + y), teremos:
a 2 – 2ab + b 2 = (a – b)2
a · (x + y) = ax + ay
I. (a – b) · (a + b) = a2 – b2
II. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
III. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
IV. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
V. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Além desses, também temos:
VI. Soma de dois cubos:
(a + b) · (a2 – ab + b2) = a3 + b3
VII. Diferença de dois cubos:
(a – b) · (a2 + ab + b2) = a3 – b3
Então:
ax + ay = a · (x + y)
Dizemos que o fator comum foi colocado em evidência.
2º CASO: AGRUPAMENTO
Acompanhe a fatoração da expressão a seguir:
N = ax + ay + bx + by
A expressão N não possui um fator comum, mas, se separarmos as parcelas em grupos, teremos o fator a comum
às duas primeiras parcelas e o fator b comum às duas últimas. Então:
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Fatoração
algébrica
ATIVIDADES
1
Fatore as expressões:
a) 12x2y3 – 16x3y2 + 20x4y
N = a · (x + y) + b · (x + y)
4x2y · (3y2 – 4xy + 5x2)
Nessa nova situação, x + y é um fator comum e, portanto, pode ser colocado em evidência:
N = (x + y) · (a + b)
4
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(a + b)
2
b)
4a · (2a – c) + 3b · (2a – c) = (2a – c) · (4a + 3b)
A=
( a + b)
2
A=
(x2)2 – (y2)2 = (x2 – y2) · (x2 + y2) =
= (x – y) · (x + y) · (x2 + y2)
4
d) m2 + 6mn2 + 9n4
(m + 3n2)2
− 5a − 5b
a+b−5
⇒ A=
c) x4 – y4
− 5a − 5b
a+b−5
⇒ A=
( a + b) ⋅ ( a + b) − 5 ⋅ ( a + b) ⇒
a+b−5
( a + b ) ⋅ ( a + b − 5) ⇒ A = a + b ⇒ A = 19 + 11∴ A = 30
( a + b − 5)
Determine a e b de modo que a – b = 1 e a2 + b2 = 41.
MA.01
b) 8a2 – 4ac + 6ab – 3bc
(a – b)2 = 12 s a2 – 2ab + b2 = 1 s a2 + b2 – 2ab = 1 s
s 41 – 2ab = 1 s 2ab = 40 ∴ ab = 20
a − b = 1 
a = 5 e b = 4
a ⋅ b = 20 
e) 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(3x)3 – 3 · (3x)2 · 2y + 3 · (3x) · (2y)2 – (2y)3 = (3x – 2y)3
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2
a)
b)
c)
d)
1
(PUC-MG) A expressão a3 − 2a2 − a + 2 pode ser escrita na
forma de um produto de três fatores. A soma desses fatores
é igual a:
a2 + 2a − 4
a2 + 2a
3a − 2
3a
E =
2
= (a − 2) · (a2 − 1) = (a − 2) · (a − 1) · (a + 1)
Soma: a − 2 + a − 1 + a + 1 = 3a − 2
Alternativa c
a)
A=
(Vunesp, adaptada) Se x +
1
= λ, calcule, em função de λ,
x
3
Considere os números naturais m e n tais que m2 – n2 = 13.
Determine os possíveis valores de m e n.
4
(FGV-SP, adaptada) Imagine dois números naturais não nulos. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma
de seus cubos. Mostre que D é múltiplo de 6.
5
O valor da expressão:
x 2 y2 x 2 2xy y2
⋅
, para x = 1,25
x+y
x y
e y = – 0,75, é:
a) – 0,25
d) 0,125
b) – 0,125
e) 0,25
c) 0
 a2 b2
 a b

6 A expressão  2 + 2 − 2 :  + − 2 é equivalente a:
b
 b a
a
Sendo a = 19 e b = 11, calcule o valor da expressão A em
cada caso:
A=
a − 1 a + 1 a2 − a + 2
+
−
a +1 a −1
a2 − 1
o valor de x2 + 1 .
x2
a3 − 2a2 − a + 2 = a2 (a − 2) − (a − 2) =
3
Sendo a ≠ 1 e a ≠ −1, simplifique a expressão
4a − 2ab
ab − 2a
− 2a ⋅ (b − 2)
4 a − 2ab
−2ab + 4 a
∴ A = −2
s A=
s A=
a ⋅ (b − 2)
ab − 2a
ab − 2a
a)
a2 − b2
ab
2
d)
2
b)
c)
(a + b )
ab
e)
(a − b )
ab
a2 + b2
ab
a+b
2
(ab)
5
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