Fatoração e Produtos Notáveis
1. (G1 - cftmg 2014) Simplificando a expressão

1
 16x6  x 2 y 4  48x5  3xy 4 

2
2
2x y  xy  x2  3x







   y  4x 
  x y 

obtém-se
a) 2x – y.
b) 4x + y.
c) x2 – y.
d) 4x + y2.
2. (G1 - ifce 2014) O valor da expressão:  a  b    a  b  é
2
2
a) ab.
b) 2ab.
c) 3ab.
d) 4ab.
e) 6ab.
3. (Upf 2014) Quando a e b assumem quaisquer valores positivos, das expressões a seguir,
a única que não muda de sinal é:
a) a2  ab
b) a2  b2
c) b  b
d) a2  3a
e) a2  2ab  b2
4. (G1 - cftmg 2014) O valor numérico da expressão
intervalo
a) [30,40[
b) [40,50[
c) [50,60[
d) [60,70[
682  322 está compreendido no
5. (G1 - ifce 2014) Sejam x, y  , com x  y  16 e xy  64. O valor da expressão
x y
 é
y x
a) – 2.
b) – 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
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6. (Uepb 2014) Dado x 
1
1
é igual a:
 13, o valor de x 2 
x
x2
a) 171
b) 169
c) 167
d) 130
168
e)
13
7. (G1 - col.naval 2014) Seja x um número real tal que x 
3
3
 9. Um possível valor de x 
x
x
α . Sendo assim, a soma dos algarismos " α " será:
11
12
13
14
15
é
a)
b)
c)
d)
e)
8. (G1 - utfpr 2013) Se y 
x
(x  2y)2  4 x
 é equivalente a:
, x  0, a expressão
2
4y  2
y
a) 2x.
b) 2y.
c) 0.
1
d) x.
2
1
e) y.
2
9. (G1 - cftmg 2013) Considere as simplificações abaixo.
3 3
I.
II.
III.
IV.
x  4x2
2
x  2x

1  4x
, para x 
x2
 2,0
4x2  16  2x  4 , para x 
x2
x
 , para x 
x2 2

 2

4 x2  6x  9  2 x  3 , para x 
As igualdades corretas são
a) I e III.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e IV.
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10. (Ufsj 2013) Considerando os polinômios
P1  x 2  4
P2  x3  8
P3  x 2  4x  4
e sabendo que MDC significa Máximo Divisor Comum e MMC, Mínimo Múltiplo Comum, é
CORRETO afirmar que
a) MDC P1,P2,P3    x  2
b) MDC P1,P2 ,P3    x  2
2
c) MMC P1,P2,P3    x  2
4
d) MMC P1,P2,P3    x  2
 x  23
4
2
2
11. (G1 - cftrj 2013) O único par de números naturais m e n que satisfaz a igualdade m – n =
17 é tal que
a) seu produto é 72
b) sua soma é 18
c) seu quociente é 17
d) sua diferença é 2
5
12. (Fgv 2013) Se x2 
1
x2
1

 14, com x  0, então  x   é igual a
x

a) 22  72
b)
c)
73
23  72
d) 210
e) 710
13. (G1 - cftmg 2013) Simplificando a expressão
x3  1
x2  x

x2  2x  1
x2  x
para x 
 1, 0, 1
obtém-se
a) x.
b) x2.
c) x – 1.
d) x2 – 1.
14. (Espm 2012) Considerando-se que x = 97312, y = 39072 e z = 2  xy, o valor da expressão
x  y  z é:
a) 6792
b) 5824
c) 7321
d) 4938
e) 7721
15. (G1 - cftmg 2012) Ao fatorar a expressão 210xy + 75x2y + 147y, obtém-se
a) 3(7x + 5)2.
b) 3y(5x + 7)2.
c) 3(5x – 7)(5x + 7).
d) 3y(7x – 5)(7x + 5).
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2
16. (G1 - ifba 2012) Se x e y são números reais positivos, a expressão
 x2  y2 

 1
 2xy 


simplifique a expressão.
17. (G1 - ifce 2012) Considerando-se x  1 e y  0, ao simplificar a expressão
x
x  y 1

, obtém-se
x  1 y ( x  1)
y 1
a)
.
y
y
b)
.
y 1
x 1
c)
.
x
x
d)
.
x 1
e)
x2
.
x 1
18. (G1 - cftmg 2012) Ao simplificar a expressão y 
x3  4x 2  4x  16
x2  6x  8
, em que
x  2 e x  4, obtém-se
a) x.
b) x – 2.
c) x + 2.
d) x + 4.
19. (G1 - ifal 2012) A expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x2 + 2x – 4) equivale a
a) 3x2 – 2x + 1.
b) x2 – 6x + 1.
2
c) (2x + 1) .
2
d) (x – 3) .
e) (x – 2)2 – (x + 1)2.
20. (G1 - ifce 2012) Para cada número real positivo m, a expressão
1 
1 

(m1/2  m1/2 )2  1 
 1 
 é igual a
m 
m

a) m1/2.
b) m + 1.
c) m + 2.
d) m + 3.
e) m + 1/m.
21. (G1 - ifce 2011) Se x  y  2 e x2  y2  3 , então x3  y3 vale
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
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22. (Unesp 2011) Transforme o polinômio P  x   x5  x2  x  1 em um produto de dois
polinômios, sendo um deles do 3º grau.
23. (Ifsul 2011) Se a2x  3, o valor da expressão A 
a3x  a3x
a x  a x
é:
7
5
5
b)
3
7
c)
3
4
d)
3
a)
24. (G1 - cftmg 2011) Simplificando a expressão numérica 123  456   123  455  encontra2
2
se
a) 0.
b) 1.
c) 12.345.
d) 246.911.
25. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Sabendo que y   2010   2000  2000  1990  , o valor de
2
y
107
2
é igual a
a) 8
b) 16
c) 20
d) 32
26. (G1 - ccampos 2011) Qual, dentre as opções abaixo, equivale a
32 2 ?
a) 3  2
b) 1,5  2
c) 1  2
d) 2  2
27. (G1 - col.naval 2011) Considere o sistema abaixo nas variáveis reais x e y, sendo a e b
reais.
375y 2 x  125y3  375yx 2  125x3  125b

y 2  x 2  2yx  a2

Nessas condições, qual será o valor de (x2 - y2)6?
a) a3b6
b) a8b6
c) a6b2
d) a3b6
e) a4b6
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28. (Espm 2011) Sabendo-se que x  y 1  7 e que x  4y, o valor da expressão x2  y 2 é
igual a:
a) 49
b) 47
c) 45
d) 43
e) 41
29. (G1 - cftmg 2011) Simplificando a expressão
a4  a3b  ab3  b4
a 2  b2
, com a  b , obtém-se
ab
ab
b) a2  ab  b2
c) a  b
a)
d)  a  b 
3
30. (Ufrgs 2010) O quadrado do número
2 3  2 3 é
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Fatorando e simplificando, obtemos

  y 4x 
1
6
2 4
5
4
(16x  x y  48x  3xy ) 
  

(2x 2 y  xy 2 )  (x 2  3x)   x y 

x  [16x5  48x 4  (xy 4  3y 4 )] y 2  4x 2


xy  (2x  y)  x  (x  3)
xy
16x 4  (x  3)  y 4  (x  3)
xy


2
xy  (2x  y)(x  3)
y  4x 2
(x  3)  (16x 4  y 4 )
(x  3)  (2x  y)  (y 2  4x 2 )
(4x 2  y 2 )  (4x 2  y 2 )
(2x  y)  (y 2  4x 2 )


(2x  y)  (2x  y)

2x  y
2x  y.
Resposta da questão 2:
[D]
a  b2  a  b2  a2  2ab  b2  a2  2ab  b2   4ab.
Resposta da questão 3:
[E]
Considerando a e b distintos a expressão a2  2ab  b2  (a  b)2  0 para todo real a e b
distintos. Portanto, ela não muda de sinal.
Resposta da questão 4:
[D]
682  322  (68  32)  (68  32)  100  36  100  36  10  6  60
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Resposta da questão 5:
[E]
Tem-se que
x y x2  y2
 
y x
xy

(x  y)2  2xy
xy

(x  y)2
2
xy
( 16)2
2
64
 42
 2.

Resposta da questão 6:
[A]
x
1
 13
x
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
2
1

2
 x  x   13


1 1
x2  2  x  
 169
x x2
1
x2  2 
 169
x2
1
x2 
 171
x2
Resposta da questão 7:
[E]
2
x
3
3
9
9

 9   x    92  x 2  6 
 81  x 2 
 75
2
x
x

x
x2
x
3
3
9
9

    x      x2  6 
   x2 
6
2
x
x

x
x2
(I)
2
(II)
De ( I ) e ( II ), temos:
  6  75    69 e 6  9  15.
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Resposta da questão 8:
[A]
 x  2y 2  4
4y  2
 x  x 2  4
4.
x
2
2


x
(considerando que y = x/2), temos:
y
x
x
2
4x 2  4
2x.(2x  2)
2 
 2x
2x  2
2x  2
Resposta da questão 9:
[B]
3 3
I. Verdadeira, pois
x  4x2
2
x  2x

x(1  4x) (1  4x)

x.  x  2 
x2
II. Falsa. Se fizermos x = 2, a igualdade será falsa.
III. Falsa. Se fizermos x = 4, a igualdade será falsa.
IV. Verdadeira, pois


4 x2  6x  9  4  (x  3)2  2  x  3
Resposta da questão 10:
[A]
Fatorando os polinômios, temos:
P1  x 2  4   x  2    x  2 

P2  x3  8   x  2   x 2  2x  4

2
P3  x 2  4x  4   x  2 

Logo, o MDC(P1,P2,P3 )  x  2 e o MMC(P1,P2 ,P3 )   x  2   x  2  x2  2x  4
2

Portanto, a alternativa [A] é a correta.
Resposta da questão 11:
[A]
m2 – n2 = 17
(m + n).(m – n) = 17.1
Como 17 é primo temos o seguinte sistema:
m  n  17

 mn 1
Resolvendo o sistema, temos m = 9 e n = 8.
Assim, 9.8 = 72.
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Resposta da questão 12:
[D]
Se x2 
1
x2
 14, com x  0, então
2
1
1

2
x  x   x  2  2


x
 14  2
 16.
Daí, x 
1
 4 e, portanto,
x
5
1

5
10
x  x   4  2 .


Resposta da questão 13:
[A]
x3  1
x2  x

x2  2x  1
x2  x
=
(x  1)  (x2  x  1) (x  1)2
x2  x  1 x  1 x2




x
x  (x  1)
x  (x  1)
x
x
x
Resposta da questão 14:
[B]
Como z  2  xy, segue que
x  y  z  x  2  xy  y  ( x  y)2.
Portanto,
x  y  z  ( x  y )2
 x y
 97312  39072
 9731  3907
 5824.
Resposta da questão 15:
[B]


210xy  75x2 y  147y  3y  25x2  70x  49  3y   5x  7  .
2
Resposta da questão 16:
2
 x2  y2 

 1 
 2xy 


x 4  2x2 .y2  y 4  4x2 y2
4x2 .y2

(x 2  y 2 )2
4x2 .y2

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x2  y2
2xy
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Resposta da questão 17:
[A]
x
x  y  1 yx  x  y  1 x( y  1)  ( y  1) ( y  1).( x  1) ( y  1)





.
x  1 y ( x  1)
y ( x  1)
y.( x  1)
y.( x  1)
y
Resposta da questão 18:
[C]
y
x3  4x2  4x  16
x2  6x  8

x2 (x  4)  4.(x  4) (x  4)  (x 2  4) (x  2)  (x  2)


 (x  2).
(x  2)  (x  4)
(x  2)  (x  4)
(x  2)
Resposta da questão 19:
[D]
2x2 – 4x + 5 – (x2 + 2x – 4) = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
Resposta da questão 20:
[D]
2
(m1/2
2
1
1 
1
2
 1

 
1 
1   2
1/2 2 
2
2
2

  12   1  
m
)  1 
1


m

2.
m
.
m

m







m 
m 

 m




 m  2.m0  m 1  1  m 1  m  3.
Resposta da questão 21:
[B]
Temos que (x  y)2  x2  2xy  y 2  xy 
(x  y)2  (x2  y2 )
.
2
Portanto,
x3  y 3  (x  y)  (x 2  y 2  xy)

(x  y)2  (x 2  y 2 ) 
 (x  y)   x 2  y 2 


2


22  3 
 2  3 


2 
 5.
Resposta da questão 22:
Fatorando P(x) obtemos
P(x)  x 5  x 2  x  1
 x 2 (x 3  1)  (x  1)
 x 2 (x  1)(x 2  x  1)  (x  1)
 (x  1)(x 4  x 3  x 2  1)
 (x  1)[x 3 (x  1)  (x  1)(x  1)]
 (x  1)(x  1)(x 3  x  1)
 (x 2  1)(x 3  x  1).
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Resposta da questão 23:
[C]
Sabendo que a2x  3, vem
3
A
a3x  a3x
a x  a x
 1
(a x )3   x 
a 

1
ax  x
a
1 
 x 1   2x
 a  x   a  1  2x 
a 
a 

1
x
a  x
a
1
 a2x  1  2x
a
1
 3  1
3
7
 .
3
Resposta da questão 24:
[D]
123  4562  123  4552  123  456  123  455 .123  456  123  455 
 246 911.1  246 911
Resposta da questão 25:
[B]
y  2000.(20102  19902 )
y  2000.(2010  1990).(2010  1990)
y  2000.4000.20
y  16.107
Logo,
y
107

16.107
107
 16 .
Resposta da questão 26:
[C]
3  2 2  2  2. 2  1 


2 1
2
 2 1
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Resposta da questão 27:
[C]
Fatorando as equações do sistema, obtemos:
2
3
2
3
375y x  125y  375yx  125x  125b

 2
2
2
 y  x  2yx  a
3
3
3
 x  y  3xy(x  y)  b (x  y)  b

.

2
2
2
2
(x  y)  a
(x  y)  a
Portanto,
(x 2  y 2 )6  (x  y)6 (x  y)6
 [(x  y)2 ]3 [(x  y)3 ]2
 (a2 )3 b2
 a6b2 .
Resposta da questão 28:
[E]
Temos que x  4y 
x
 4  xy 1  4.
y
Portanto, sabendo que a2  b2  (a  b)2  2ab, encontramos
x2  y2  (x  y1)2  2xy1  72  2  4  41.
Resposta da questão 29:
[B]
a4  a3b  ab3  b4
a2  b2


a3 (a  b)  b3 (a  b) (a  b).(a3  b3 )


(a  b).(a  b)
(a  b).(a  b)
(a  b).(a2  ab  b2 )
 (a2  ab  b2 )
(a  b)
Resposta da questão 30:
[C]
( 2  3  2  3 )2 =
2
2
2  3  2. 2  3 . 2  3  2  3  2  3  2. 4  3  2  3  6
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