POTÊNCIA Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como W P t A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média quando t aproxima-se de zero Unidade de P no SI: W dW P lim J/s = watt (W) t 0 t dt dW dr o segundo termo é a velocidade e P F dt dt P F v Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1a motivação: retirada da água das minas de carvão. A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência: Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW: 1 kWh (103 W)(3600s) 3.6 106 J Exemplo : 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995) Potência do corredor de 100 m rasos: Potência do corredor de maratona: 2,110 4 J P100 2100 W 10s 5,910 6 J Pmar 816 W 26060s ENERGIA POTENCIAL A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Consideramos que um estudante levanta um livro de massa m de uma altura inicial acima do solo, até a uma altura final y 2 y1 O trabalho feito pelo estudante sobre o sistema livro e Terra é W F d (mg e y ) [( y 2 y1 )e y ] mgy2 mgy2 mgy1 O trabalho apresenta uma transferência de energia para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional y2 Definimos a grandeza mgy como a energia potencial gravitacional U g mgy1 U g mgy y1 solo A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J) ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Força gravitacional: r GMm F mg 2 u r onde G é a constante gravitacional universal r r U ( r ) U ( r0 ) F ds F ds F ( r ) dr , pois ds dr r r0 r GMm 2 dr r r0 Tomando a configuração de referência r ds No SI G 6.671011 Nm2 / kg2 r r0 F U (r0 ) 0 : GMm GMm U (r ) 2 dr mgr r r CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA A introdução da energia potencial nos permite gerar um princípio poderoso e aplicável universalmente para a resolução de problemas que são difíceis de resolver utilizando as leis de Newton Do exemplo anterior após termos levantado o livro, se agora soltarmos o livro ele estará sob a influência somente da força gravitacional Quando o livro cai de y 2 para y 1 , o trabalho feito pela força gravitacional é mgy2 Wsobre o livro Fg d (mg e y ) [( y1 y 2 )e y ] mgy2 mgy1 y2 Pelo teorema do trabalho e da energia cinética, o trabalho feito sobre o livro é Wsobre o livro K livro mgy1 y1 solo K livro mgy 2 mgy1 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Para o sistema livro-Terra descrito anteriormente, a Terra desloca-se tão lentamente que praticamente a sua velocidade é nula e a energia cinética do sistema, é devido unicamente à energia cinética do livro K K livro K Terra K K livro K assim K livro K mgy 2 mgy1 (mgy1 mgy 2 ) Agora o nossa energia gravitacional final é inicial é mgy2 U i mgy1 U f e a energia gravitacional Comparando com o sistema livro-Terra que foi onde definimos a energia potencial gravitacional então (mgy1 mgy2 ) (U f U i ) U g K U g escrevemos a equação na forma ( K f K i ) (U f U i ) 0 K f U f Ki U i K U g 0 ou (1) Definimos a soma das energias potencial e cinética como ENERGIA MECÂNICA Emec K U g Assim a equação (1) é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA FORÇA ELÁSTICA Um sistema físico no qual a força varia com a posição um bloco ligado à uma mola Faplicada 0 Fmola Faplicada 0 Fmola F ( x) kx Lei de Hook lei de força para as molas k é uma constante de força (ou constante elástica) Fmola força restauradora o sinal negativo significa que a força exercida pela mola tem sempre direcção oposta ao deslocamento ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA Aplicando W U x x x0 0 para o sistema bloco-mola W F ( x)dx F ( x)dx U [U ( x) U (0)] U ( x) A configuração de referência é x0= 0 e Substituindo a força elástica U (0) 0 F ( x) kx x x U ( x) (kx)dx 0 U ( x) 1 2 kx 2 na integral U ( x) k xdx 0 1 2 kx 2 é a energia potencial elástica A energia mecânica para o sistema bloco-mola Emec K U ( x) constante ou 1 1 2 2 Emec m vbloco m xmola constante 2 2 FORÇA CONSERVATIVA Forças conservativas forças para as quais a energia mecânica é conservada O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajectória, depende apenas das configurações inicial e final Exemplos de forças conservativas • Força gravitacional • Força elástica • Força unidimensional que só dependa da posição: F(x) Conhecendo a energia potencial podemos determinar a força (força conservativa) dW F dr F dx e x Fx dx dU Fx dU dx Exemplo: Para um corpo localizado numa distância y acima de algum ponto de referência, a função energia potencial gravitacional é dada por U g mgy Determinamos a força Fy dU g dy d (mgy) mg dy que é a expressão correcta para a força gravitacional FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS Forças não-conservativas O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajectória Exemplos de forças não-conservativas: Força de atrito e Força de arraste Exemplo 1 Watrito( A B) Fatrito ds Fatrito LAB Watr A B C f atr ds f atr LA B C reta c mgd c mg d / 2 semi-círculo Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo Exemplo 2: O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é a velocidade do bloco em x = 0? 1 2 K mv 0 2 K U 1 U 0 kd 2 2 a) Sem atrito F d 1 2 1 2 k mv kd v d 2 2 m x=0 b) Com atrito F d x=0 E K U Watr c mgd N fa P mg 1 2 1 2 mv kd c mgd 2 2 kd 2 v 2c gd m
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