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4. Amostragem de Sinais Contínuos no
Tempo
4.1. Amostragem Periódica
x[n]  xc nT  ,    n  
Conversor
Contínuo/Discreto
xc(t)
C/D
x[n]
T
T: Período de amostragem [s]
1
fs 
T Frequência de amostragem [Hz]
2
Frequência de amostragem [rad/s]
s 
T
1
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A implementação de um conversor C/D é um conversor A/D
Ideal.
-Precisão infinita – Infinitos números de bits
-Quantização em passos lineares
-Sem efeitos secundários devido ao circuito de sample&hold
-Sem limitações quanto à taxa de amostragem
A operação de amostragem ideal é irreversível:
Pois vários sinais contínuos podem dar origem
a um mesmo sinal amostrado.
2
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Representação matemática da conversão C/D:
Figura pag 142
x[n] Sinal Discreto xs(t) sinal contínuo
3
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4.2. Representação da Amostragem no Domínio Frequência
Trem de impulsos: s(t ) 

  (t  nT )
n  
Sinal amostrado por trem de impulsos
xs (t )  xc (t )  s(t )
xs (t )  xc (t ) 
xs (t ) 

  (t  nT )
n  

 x (nT ) (t  nT )
n  
c
4
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Propriedades da Transformada de Fourier contínua:
Transformada do trem de impulsos é
também um trem de impulsos:

2
F
s(t )    (t  nT )  S ( ) 
T
n  
Onde:  s 
2
T
T 2T
t[s]
s
k  
2
T
...
-2T -T
 (  k )
S()
s(t)
...

-2s
-s
2
T
s
2s
[rad/s]
5
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F
Teorema da convolução: x(t ).y(t ) 

assim:
UFPR
X ( ) *Y ( )
xs (t )  xc (t )  s(t )
X s ( ) 
Logo:
1
2
-
1
2
 2
X c ( ) * 
T

 (  k s )

k  


1 
X s ( )   X c (  k s )
T k 
2
Onde:  s 
T
6
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p/ sinal xc(t) limitado em
frequência:
Nota-se que se:
s   N   N
 s  2 N
Não haverá superposição
de espectros.
Caso: s  2 N
Distorção por superposição de
espectros, ou Recobrimento,
ou Efeito Aliasing.
7
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Reconstrução perfeita por filtragem
passa-baixas ideal:
8
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Ex.: Amostragem de um
sinal cossenoidal:
9
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Teorema de Nyquist(1928) ou
Teorema de Shannon(1949) ou
Teorema da Amostragem
“Seja um sinal xc(t) limitado em frequência tal que
Xc()=0 para ||>N. Então xc(t) é unicamente
determinado pelas suas amostras xc(nT), n=0,1,2,…
se:
 s  2T  2 N ”
10
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Relação entre X() e Xs().
Sabemos que:
xs (t ) 

 x (nT ). (t  nT )
c
n  
Aplicando a transformada de Fourier:
X s ( ) 
Como:

 j .nT
x
(
nT
).
e
c
n  
x[n]  xc (nT )
E sabendo a DTFT:
X () 

 j.n
x
[
n
].
e

n  
Logo:
X s ( )  X () T
11
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
1
Já vimos que: X s ( ) 
X c (  k s )

T k 
Logo:
-
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2
s 
T
1 
X ()   X c  T  2Tk 
T k 
Pode-se pensar como uma normalização da frequência
Onde =s é normalizada em =2
Este efeito é diretamente relacionado com a normalização
que ocorre no tempo, onde o período T é normalizado em
1 amostra.
12
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Exemplo:
xc (t )  cos(4000t )
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Amostrado a fs=6kHz.
T=1/6000 s=12000
Frequência analógica 0=4000 rad/s ou f0=2kHz amostrada
a fs=6kHz, é equivalente a frequência digital:
1
2
 0   0T  4000 .

rad / amostra
6000
3
13
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4.3. Reconstrução de sinais limitados em frequência
A partir de x[n] podemos obter xs(t), sinal trem de impulsos
contínuo ponderados por x[n], como:
xs (t ) 

 x[n]   (t  nT )
n  
Se aplicarmos este sinal à entrada de um filtro
contínuo PB ideal Hr(), com resposta ao impulso

hr(t), então teremos:
xr (t )  hr (t ) *  x[n]   (t  nT )
n  
xr (t ) 
xr (t ) 

 x[n]  h (t ) * (t  nT )
n  
r

 x[n]  h (t  nT )
n  
r
14
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Filtro de Reconstrução Hr():
•Largura de Banda c entre N e (s-N)
•Ganho T
Se o sinal foi amostrado sem aliasing,
s 
c 

p/ qualquer sinal de entrada basta:
2
Resposta ao impulso hr(t) será: hr (t ) 
Notar que:
T
sin  t / T 
 t /T
hr (0)  1
hr (nT )  0 , n  1,  2,  3, ...
15
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16
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Logo podemos calcular:
xr (t ) 
-
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
 x[n]  h (t  nT )
n  
r
sin t  nT  / T 
xr (t )   x[n] 
 t  nT  / T
n  

Assim: se x[n]=xc(nT)
xr(mT)=xc(mT)
m inteiro
Pontos de amostragem são perfeitamente reconstruídos.
Vendo o gráfico de:
sin t  nT  / T 
x[n] 
 t  nT  / T
17
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Fig. Pag 152
Vendo o gráfico de:
xr (t ) 


x[n] 
n  
sin t  nT  / T 
 t  nT  / T
Logo o filtro passa-baixas ideal, interpola os impulsos
do sinal xs(t) para obter o sinal contínuo xr(t).
Vimos que xr(mT)=xc(mT),
se não houver aliasing: xr(t)=xc(t)
como se pode notar pela análise espectral.
18
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Podemos esquematizar um conversor
Discreto/Contínuo ideal como:
Fig. Pag 152
A partir de:
Obtemos:
xr (t ) 
X r ( ) 

 x[n]  h (t  nT )
r
n  

 jnT
x
[
n
].
H
(

).
e

r
n  

X r ( )  H r ( ).  x[n].e  jTn
n  
Logo:
X r ( )  H r ( ). X    T
19
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4.4. Processamento Discreto de Sinais Contínuos
xc(t)
Sistema
Discreto
C/D
x[n]
T
D/C
yr(t)
y[n]
 Não necessariamente iguais 
T
P/ sinal xc(t) limitado em frequência:
x[n]  xc (nT ) 
F
1 
X ()   X c  T  2Tk 
T k 
sin t  nT  / T 
yr (t )   y[n] 
 t  nT  / T
n  

Yr ( )  H r ( ).Y () T
F



T .Y ()  T ,   T


0 outros
20
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4.4.1. Sistemas Discretos LTI.
Temos a reposta em frequência efetiva do sistema
total dado por:
s


H () T , |  | T  2
H eff ( )  
s

|  | T  2

0,
Condições:
•Sistema discreto LTI
•Sinal de entrada limitado em frequência
•Respeitado o teorema da amostragem
21
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4.4.2. Invariância ao Impulso
xc(t)
xc(t)
yc(t)
hc(t)
Hc()
h[n]
H()
C/D
x[n]
T
D/C
yr(t)= yc(t)
y[n]
T
Sistema invariante ao impulso:
h[n]  T .hc (nT )
H ()  H c  T  T , |  | 
22
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4.6. Mudança da taxa de amostragem usando
Processamento Discreto
Tendo:
x[n]  xc (nT )
Muitas vezes precisamos:
x'[n]  xc (nT' )
CD/MD: 44.1kHz
DAT: 48kHz
Broadcast: 32kHz
Modos:
• reconstruir xc(t) e re-amostrar a T’ segundos
Problemas: A/D, D/A, filtros
• Processar x[n] diretamente
23
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4.6.1. Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro
xd [n]  x[nM ]  xc (nMT)
Compressor da taxa de amostragem:
x[n]
Período de
amostragem T
M
xd[n]=x[nM]
Período de
amostragem T’=MT
A redução da taxa de amostragem: downsampling
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Análise do espectro
25
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Análise do espectro
Com aliasing e filtro
26
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Decimador: sistema que reduz a taxa de amostragem
por um fator M
Decimação: Processo de filtragem PB de freq. corte /M
seguida de um compressor
Espectro se expande do fator M.
27
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4.6.2. Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro
xi [n]  x[n / L]  xc (nT / L) n  0, L,2L,...
Aumento da taxa de amostragem: upsampling
Expansor :
 x[n / L] , n  0, L,2L,...
xe [n]  
0 , outros
4
x[n]
3
xe [n] 
2
1

 x[k ]. [n  kL]
0
0
k  
1
2
3
4
5
6
4
x[n]
L
xe[n]
xe[n]
3
2
1
Período de
amostragem T
Período de
amostragem T’=T/L
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
28
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Análise do espectro
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Interpolador: sistema que aumenta a taxa de amostragem
por um fator L
Interpolação: Processo de expansão seguido de filtragem
PB de freq. corte /L
Espectro se replica nas frequências 2/L.
Filtrando-se PB apenas o espectro centrado
em 2k equivale a interpolar as amostras faltantes.
Interpolação linear, spline, etc... Aproximações p/ PB ideal.
30
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4.6.3. Mudando a taxa de amostragem por um fator
Não-inteiro.
31
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4.7. Processamento Multi taxa.
Os interessados devem dar uma lida e tentar entender.
Aplicação: Codificação em Sub-bandas (MP3)
análise por banco de filtros, etc.
Base p/ transformada wavelet.
32
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4.8. Processamento Digital de Sinais Analógicos
Até então, analisou-se sistemas ideais:
•Sinais limitados em freq.
•Conversores C/D,D/C
•Filtragens PB ideal
Sistema Real:
33
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4.8.1. Filtro Anti-Aliasing
Geralmente procura-se usar a menor taxa de
amostragem possível de modo a minimizar
os requerimentos do processador digital.
Logo: Sinal de entrada precisa ser limitado em frequência.
Ex.: Voz inteligível : até 4kHz
porém possui freq. até da ordem de 20kHz.
Ex.2: Sinal limitado + Ruído de alta frequência.
P/ evitar aliasing é necessário limitar a largura de
banda do sinal de entrada.
34
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Filtro antialiasing ideal: PB ideal de freq. fs/2
Filtros analógicos reais:
Corte não é abrupto, precisam começar a atenuar
freqüências menores que fs/2.
Filtros com cortes abruptos são mais complexos
>n. de componentes, > custo.
Geralmente possuem fase extremamente
não-linear. (Chebychev e Cauer), principalmente
próximo à freq. corte na banda de passagem.
Possíveis soluções:
1) Usar filtro ativo simples seguido de um
filtro a capacitor chaveado de alta ordem.
35
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2) Amostragem em oversampling seguida de filtragem
digital
36
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Sinal limitado +
Ruído em alta freq.
Filtro analógico
simples
Amostragem em T/M
Filtragem digital
Decimação M
37
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4.8.2. Conversão Analógico-Digital
C/D : Precisão infinita
A/D: dispositivo que converte tensão ou corrente
em um código binário.
Conversão tem precisão finita
Não é instantânea: Necessita sample&hold
38
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Quantização:
39
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40
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4.8.3. Análise do Erro de Quantização
Passo de quantização:

2X m X m
 B
B 1
2
2
Fundo de Escala: Xm
Número de Bits: B+1
Erro de quantização:
Segue que:
e[n]  xˆ[n]  x[n]
  / 2  e[n]   / 2
Erro de quantização pensado
como ruído aditivo:
41
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P/ se levantar um modelo estatístico do erro
Assume-se que:
•A sequência de erro e[n] é uma amostragem de um
processo randômico estacionário (suas característica
estatísticas não se alteram como tempo).
•O erro e[n] é descorrelacionado com o sinal x[n]
•As variáveis randômicas do processo de erro são
descorrelacionadas (o erro é um processo ruído branco)
• A função distribuição de probabilidade do erro
é uniforme sobre o range do erro de quantização
Em geral são boas aproximações para sinais x[n] naturais
(voz, música, vídeo, etc...), e pequenos passos de quantização.
42
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Ex.:
x[n]  0.99cos(n / 10)
3 bits (B=2)
e[n] /p 3 bits
e[n] /p 8 bits
43
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P/  pequeno podemos modelar a probabilidade do
Sinal de erro como:
2
1

2
2


e
Variância: e  / 2  de 

12
/2
P/ B+1 bits e fundo de escala Xm temos:
2 B
2
2
X
m
 e2 
12
44
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Relação Sinal-Ruído:
  x2 
 12  2 2 B  x2 

SNR  10 log10  2   10 log10 
2
Xm
e 


 Xm 

SNR  6.02B  10.8  20 log10 
 x 
Logo: a SNR aumenta 6.02 dB p/ cada bit
x é o desvio padrão ou o valor RMS de x[n]
Assim esta equação não é válida se o sinal x[n] saturar
o quantizador, isto é |x[n]|>Xm.
Se a amplitude do sinal x[n] tem uma distribuição gaussiana
Apenas 0.0064% das amostras terão amplitudes > 4 x .
Fazendo: x =Xm/4 consegue-se SNR6.B-1.25
Quantos bits são necessários p/ 90dB? Qualidade de CD.
45
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4.8.4. Conversão D/A
xDA (t ) 
xDA (t ) 

X
n  
m
.xˆ B [n].h0 (t  nT )

 xˆ[n].h (t  nT )
n  
0
x[n]  e[n]
46
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Logo:
x0 (t ) 
-
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
 x[n].h (t  nT )
n  

e0 (t ) 
0
 e[n].h (t  nT)
n  
0
xDA (t )  x0 (t )  e0 (t )
Análise em frequência, fazendo a DTFT de x0(t):
X 0 ( ) 

 x[n].H
n  
0
( ).e
 jnT
X 0 ( )  X ()  T .H 0 ( )
47
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Onde:
H 0 ( ) 
2.sin(T / 2)

-
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.e  jT / 2
P/ reconstruir o sinal precisamos filtrar PB
o sinal X0() com um filtro PB ideal compensado:
48
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Voltando a analisar um sistema onde:
-Saída do filtro de antialiasing e o de reconstrução
são limitada em fs/2
-Sistema é LTI
Então podemos escrever que a saída será: yˆ r  ya (t )  ea (t )
Onde:
~
Ya ( )  H r ( ).H 0 ( ).H () T .H aa ( ).X c ( )
Considerando o ruído de quantização gerado pelo A/D
É um ruído branco de variância  e2  2 / 12 demonstra-se:
2
~
Pea ( )  H r ( ).H 0 ( ).H () T . e2
Espectro de potência do Ruído.
49
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Assim, a resposta em frequência efetiva do sistema é:
~
H eff ( )  H r ( ).H 0 ( ).H () T .H aa ( )
Obs.: As compensações podem ser embutidas
no processamento digital do sinal, H().
Obs.2: O sistema H() pode inserir ruído de
quantização também.
Ruído interno ao sistema digital.
50