FNT
AULA 7
NÚMEROS COMPLEXOS
NÚMEROS COMPLEXOS
DEFINIÇÃO
QUANDO A CORRENTE ALTERNADA PASSOU A SER UTILIZADA, NO FINAL
DO SÉCULO XIX, SURGIU A NECESSIDADE DE MODELAR
MATEMATICAMENTE OS CIRCUITOS E EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS
RESPECTIVOS, A FIM DE SE ANALISAR O SEU COMPORTAMENTO E
VIABILIZAR O SEU DESENVOLVIMENTO.
OS NÚMEROS COMPLEXOS SURGIRAM PARA EXPLICAR, POR
EXEMPLO, RAÍZES QUADRADAS DE NÚMEROS NEGATIVOS QUE NÃO
TINHAM SENTIDO, OU SEJA:
-9 ???
NÚMEROS COMPLEXOS
PARA DAR SENTIDO A ESSAS RAÍZES, FOI NECESSÁRIO AMPLIAR O
CONCEITO DE NÚMERO, OU SEJA:
-9 =
9 (-1) =
9 .
(-1) = 3
(-1)
COMO SENDO O NÚMERO QUE SE
REPRESENTA POR j
ACEITA-SE, ENTÃO,
O SÍMBOLO
(-1)
DENOMINADO UNIDADE IMAGINÁRIA
A UNIDADE IMAGINÁRIA É DEFINIDA PELA
CONDIÇÃO j² = -1
NÚMEROS COMPLEXOS
PORTANTO
j=
(-1) É A UNIDADE IMAGINÁRIA
A SOMA a + jb DE UM NÚMERO REAL COM UM IMAGINÁRIO PURO
DENOMINA-SE NÚMERO
COMPLEXO, SENDO a E
b NÚMEROS REAIS
DIZ-SE QUE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA z = a + jb ESTÁ NA
FORMA CARTESIANA OU RETANGULAR E PODE SER
REPRESENTADO EM UM PLANO ORTOGONAL, NO QUAL O EIXO
HORIZONTAL É O EIXO DOS NÚMEROS REAIS E O EIXO VERTICAL,
O EIXO DOS NÚMEROS IMAGINÁRIOS
NÚMEROS COMPLEXOS
EIXO
IMAGINÁRIO
z(a,b)
b
a
EIXO REAL
REPRESENTAÇÃO
NO PLANO
CARTESIANO DO
NÚMERO Z = a + jb
NÚMEROS COMPLEXOS
IMPORTANTE
P
b
z
Ɵ
O
a
OP =
O SEGMENTO OP REPRESENTA
GRAFICAMENTE O MÓDULO DO
NÚMERO COMPLEXO z
E
O ÂNGULO Ɵ É CHAMADO DE
ARGUMENTO
a² + b² =
sen Ɵ = b
z
z
cos Ɵ = a
z
tg Ɵ = b
a
NÚMEROS COMPLEXOS
COM ESSES NOVOS ELEMENTOS, PODE-SE REPRESENTAR O
NÚMERO COMPLEXO z = a + jb
NA FORMA: z = z . ( cos Ɵ + j sen Ɵ ) QUE É CHAMADA DE
FORMA POLAR
ONDE a = z . cos Ɵ E b = z . sen Ɵ
DE FORMA SIMPLIFICADA,
A FORMA POLAR É ESCRITA
z= z
z
b
z
Ɵ
Ɵ
O
a
NÚMEROS COMPLEXOS
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO z = a + jb É DADO
POR
z
E DEFINIDO POR z = a – jb (na forma cartesiana)
OU POR
z = z
-Ɵ
TRANSFORMAÇÃO DA FORMA
CARTESIANA EM POLAR
SE z = a + jb É A FORMA CARTESIANA, NA FORMA POLAR z = z Ɵ
DEVE-SE CALCULAR
z
=
a² + b²
E
Ɵ = arctg b
a
EXEMPLOS
a) z1 = 5 – j10
z
=
5² + (-10)² =
125
= 11,18
Ɵ = arctg -10 = arctg (-2) = - 63,43º
5
z1 = 11,18
- 63,43º
TRANSFORMAÇÃO DA FORMA
CARTESIANA EM POLAR
b) z2 = - 2 + j3
z
=
(-2)² + 3² =
13
= 3,606
Ɵ = arctg 3 = arctg (-1,5) = - 56,31º
-2
z2 = 3,606
- 56,31º
c) z3 = 4 + j4
z=
4² + 4²
= 5,66
Ɵ = arctg 4 = arctg (1) = 45º
4
z3 = 5,66 45º
TRANSFORMAÇÃO DA FORMA
POLAR EM CARTESIANA
SE z = z
Ɵ
É A FORMA POLAR, NA FORMA CARTESIANA DEVESE CALCULAR z = a + jb
a = z . cosƟ
b = z . senƟ
EXEMPLOS
a) z1 = 10
60º
a = z1 . cosƟ = 10 . cos60º = 5
z1 = 5 + j8,66
b = z1 . senƟ = 10. sen60º = 8,66
b) z2 = 50
-90º
a = z2 . cosƟ = 50 . cos(-90º) = 0
b = z2 . senƟ = 50. sen(-90º) = -50
z2 = 0 – j50
OBTENÇÃO DO CONJUGADO
EXEMPLOS
a) z1 = 5 – j4
z1 = 5 + j4
a) z2 = 10
z2 = 10
60º
- 60º
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1) A FORMA a + jb de z = 1 + j2 é:
1-j
z = 1 + j2 . 1 + j = 1 + j + j2 + j²2 = 1 + j3 + (-1).2 = -1 + j3
1–j
1+j
1 + j – j - j²
1 – (-1)
2
Portanto: -1 + j3
2
2
2) NO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS z = 1 + j VALE?
1-j
z = 1 + j . 1 + j = 1 + j + j + j² = 1 + j2 + (-1) = j2 = j
1 – j 1 + j 1 + j – j - j²
1 – (-1)
2
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
3) ESCREVER O NÚMERO COMPLEXO z = 3 + j4 na forma a + jb
2+j
Resp: z = 10 + j 5
3
3
4) QUAL É O VALOR DE m PARA QUE O PRODUTO DE ( 2 + jm). (3 + j)
SEJA IMAGINÁRIO PURO?
(2 + jm). (3 + j) = 6 + j2 + j3m + j²m = 6 + j2 + j3m – m = (6 - m) + j(2 + 3m)
Para que seja um imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero.
Nesse caso: 6 - m = 0, onde m = 6
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
1 . SOMA E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
REALIZAR COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA CARTESIANA
a) SOMAR OS NÚMEROS COMPLEXOS z1 = 5 + j10 E z2 = 15 – j25
z1 + z2 = 5 + j10 + 15 – j25 = (5 +15) + j(10 - 25),
portanto z1 + z2 = 20 – j15
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
b) OBTER z1 – z2 COM z1 = 18
55º E z2 = 19
a = z1 . cosƟ = 18 . cos 55º = 10,324
b = z1 . senƟ = 18 . sen 55º = 14,745
a = z2 . cosƟ = 19 . cos 46º = 13,199
b = z2 . senƟ = 19 . sen 46º = 13,667
z1 - z2 = 10,324 + j14,745 – (13,199 + j13,667)
z1 – z2 = (10,324 – 13,199) + j(14,745 -13,667),
portanto z1 – z2 = -2,875 + j1,078
46º
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
REALIZAR COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLAR
a) MULTIPLICAR OS NÚMEROS COMPLEXOS z1 = 5 + j12 E z2 = 3 –
j4,5
z1 = 5 + j12 = 13
67,38º
z2 = 3 – j4,5 = 5,408
z1 . z2 = 13
-56,31º
67,38º . 5,408
z1 . z2 = 70,304
11,07º
-56,31º = (13 . 5,408)
67,38 + (-56,31)
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
b) DIVIDIR OS NÚMEROS COMPLEXOS z1 = 26,926
z2 = 36,056 56,31º
z1 = 26,926
-68,20º = 0,747
z2
56,31º
36,056
-68,20º - 56,31º
-68,20º E
= 0,747 -124,51º
EXERCÍCIOS
1) TRANSFORME PARA A FORMA POLAR OS SEGUINTES NÚMEROS
COMPLEXOS:
A) z1 = 6,1 + j13
B) z2 = 0,5 – j0,67
C) z3 = -2 – j3
D) z4 = -5 – j4
E) z5 = -j5
2) TRANSFORME PARA A FORMA CARTESIANA:
A) z1 = 3,5
C) z3 = 3,8
15°
90°
E) z5 = 1967 - 90°
B) z2 = 0,7
D) z4 = 7,35
F) z6 = 245
- 20°
112°
198°
EXERCÍCIOS
3) DADOS:
PEDE-SE
4) DADOS:
PEDE-SE